Úlohy 18

18.1. (18-2)Vo veľtoku, ktorého šírka sú 2 km sa valí voda rýchlosťou 3 km/h. Rýchlosť motorového člnu v stojatej vode je 24 km/h. (a) Za aký čas prekoná motorový čln vzdialenosť medzi brehmi veľtoku tam a späť? (b) Koľko času zaberie cesta po rieke dolu a späť k miestu, ktorý je o 2 km nižšie?

18.2. Čln sa pohybuje po stojatej vode rýchlosťou 12 metrov za sekundu, rýchlosť toku rieky sú 3 metre za sekundu. (a) Za aký čas prepláva čln rieku, tam a späť, ak rieka je široká 3 kilometre? (b) Koľko trvá cesta k bodu o 3 kilometre nižšie a späť?

18.3. Predstavme si zvláštnu rieku, ktorá je široká 10 m a tečie rýchlosťou 30 km/s. Rýchlosť motorového člnu je 3 × 108 m/s. (a) Za akú dobu prejde motorový čln vzdialenosť medzi dvoma brehmi rieky tam a späť? (b) Koľko trvá cesta k bodu o 10 m nižšie po rieke a späť?

18.4. Ukážme, že ak Zem sa pohybuje oproti hypotetickému éteru rýchlosťou 30 km/s, potom rozdiel medzi dobou potrebnou pre prekonanie vzdialenosti „tam a späť“ (krížom) a „hore-dole“ (po prúde) v interferometri predstavuje 5 × 10−9 násobok celkovej doby letu svetla.

18.5. (18-3)Vesmírna loď sa vzďaľuje od Zeme rýchlosťou rovnou polovici rýchlosti svetla. Vystrelí dopredu sondu, ktorá sa od nej vzďaľuje rýchlosťou rovnou polovici rýchlosti svetla. Akou rýchlosťou sa vzďaľuje sonda od Zeme?

18.6. Iontový lúč, vystrelený z vesmírnej lodi dopredu, má rýchlosť 0,9c, kým samotná vesmírna loď sa vzďaľuje od Zeme rýchlosťou 0,6c. Akú rýchlosť iónov nameria pozorovateľ na Zemi?

18.7. Zo zadnej časti vesmírnej lodi úlohy 18.5 nasmerujú naspäť na Zem svetelný lúč. Akú rýchlosť šírenia namerajú pozorovatelia na Zemi u tohto svetelného lúča? (Tu je v = −c.)

18.8. Iontový lúč úlohy 18.6 nasmerujú späť na Zem. Akú rýchlosť iónov namerajú fyzici na Zemi?

18.9. Vesmírna loď sa pohybuje voči Zemi rýchlosťou 0,6c. Dĺžka vesmírnej lodi v pokoji je 100 m. Akú dĺžku vesmírnej lode nameriame, keď preletí popri Zemi?

18.10. Malá planéta s priemerom 10 km preletí v blízkosti Zeme rýchlosťou 0,4c. (Jedná sa len o vymyslenú planétku, skutočné lietajú podstatne menšou rýchlosťou). Aký priemer planétky namerajú astronómovia v smere letu planétky?

18.11. Bezpochyby budú v budúcnosti interkontinentálne lietadlá s dopravnou rýchlosťou 3600 km/h. O koľko bude dĺžka takého lietadla menšia, pri pohľade zo Zeme, ak predpokladáme, že jeho dĺžka v pokoji bude 150 m?

18.12. Predpokladajme, že planétka úlohy 18.10 sa pohybuje rýchlosťou, ktorá je realistickejšia, rýchlosťou 40 km/s. Aké zmenšenie priemeru môžu astronómovia spozorovať v smere letu?

18.13. Pokojová hmotnosť elektrónu je 9,11 × 10−31 kg. Aká je jeho „relativistická“ hmotnosť, keď sa pohybuje rýchlosťou 0,99c?

18.14. Pokojová hmotnosť protónu je 1,67 × 10−27 kg. Aká je jeho „relativistická“ hmotnosť, ak jeho rýchlosť je 0,9c?

18.15. O akú pomernú časť sa zvýši „relativistická“ hmotnosť Zeme (voči pozorovateľovi, ktorý je v pokoji vzhľadom na Slnečnú sústavu), ak jej obežná rýchlosť okolo Slnka je 30 km/s? Aký je tento prírastok hmotnosti v tonách? (mZem = 6 × 1024 kg)

18.16. O akú časť narastie relativistická hmotnosť jednej molekuly, ktorá opúšťa motor rakety rýchlosťou 2500 m/s?

18.17. Priemerná doba života voľného neutrónu (teda nie neutrónu viazaného v jadre atómu) je okolo 1000 sekúnd. Akou rýchlosťou sa musí zväzok neutrónu pohybovať, aby priemerná doba života neutrónov (tvoriacich zväzok) predĺžil na dvojnásobok?

18.18. Priemerná doba života mezónu K+ je okolo 10−8 s. Akou rýchlosťou sa musia pohybovať tieto mezóny, aby ich priemerná doba sa predĺžila o 50 %?

18.19. (18-5)Za akú dobu (meranej na vlastných hodinách) prekoná cyklista vzdialenosť pol kilometra v meste pána Tompkinsa, ak jeho rýchlosť je 15 kilometrov za hodinu? (Vzdialenosť meriame rovnakými blokmi budov: meranej na zemi pripadá na 1 kilometer 16 blokov budov.) Pozn.: rýchlosť svetla v meste pána Tompkinsa je 20 kilometrov za hodinu.

18.20. Akou sa zdá byť dĺžka jedného bloku budov pre cyklistu v úlohe 18.19? (Pre zjednodušenie výpočtov aj tento výsledok udajme v  kilometroch. Pozn.: rýchlosť svetla v meste pána Tompkinsa je 20 kilometrov za hodinu.)

18.21. (18-6)Astronaut sa vydá na výskum Mliečnej dráhy, keď má 30 rokov. Rýchlosť jej kozmickej lodi je 2,4 × 108 m/s. Podľa kalendára na Zemi sa vráti o 50 rokov. Koľko bude mať približne rokov?

18.22. V roku 2010 opustí Zem astronaut na vesmírnej lodi rýchlosťou 0,99c. Podľa svojho presného vlastného kalendára sa vráti o 10 rokov. Ktorý rok sa vtedy píše na Zemi?

18.23. (18-7)Preverme výpočtom číselnú hodnotu spomenutú v kapitole 18-7 týkajúcej sa žiarenia baterky a ekvivalent hmotnosti príslušných kalórií.

18.24. Hmotnosť železného bloku pri 0°C je presne 1000 kg (merné teplo železa je 0,4 kJ/(kg⋅°C)). O koľko vzrastie jeho hmotnosť, keď sa jeho teplota zvýši na 100 °C?

18.25. Atómový reaktor bude podľa plánov vyrábať energiu pri výkone jeden milión watt. Túto energiu dodáva hmotnosť nukleárnej energie. O koľko sa zmenší hmotnosť jedného kilogramu nukleárneho paliva za jeden rok?

18.26. Slnko stráca každú sekundu 4 × 106 ton svojej hmotnosti a jeho ekvivalent vyžiari do okolitého vesmíru. Koľko wattov je výkon Slnka?

18.27. Obežná rýchlosť Zeme je 30 km/s (pozri úlohu 18.15). Aká je kinetická energia Zeme spojená s jeho obehom okolo Slnka (podľa vzťahu Ek = 1 2 mv2)? Aká hmotnosť je ekvivalentná tejto kinetickej energii? Súhlasí tento údaj s riešením úlohy 18.15?