Úlohy 06

6.1. (6-1) Mladík s hmotnosťou 80 kg stojí vedľa mladej dievčiny s hmotnosťou 50 kg tak, že vzdialenosť ich ťažisiek je 0,5 m. Aká veľká je medzi nimi gravitačná príťažlivosť?

6.2. Loď s hmotnosťou 2 ⋅ 104 ton je zakotvená vo vzdialenosti 50 m od druhej lode, ktorej hmotnosť je 4 ⋅ 104 ton (spomínaných 50 m je vzdialenosť ich ťažisiek). Akou veľkou gravitačnou silou na seba pôsobia?

6.3. Akým zrýchlením bude padať predmet smerom k Zemi, ak ho vyhodia z vesmírnej lodi vo vzdialenosti 1,92 × 105 km od Zeme (takže v polovičnej vzdialenosti Zem-Mesiac)?

6.4. Akým zrýchlením bude padať k Zemi predmet vyzdvihnutý do výšky 6370 km (to je presne polomer Zeme) nad povrch Zeme?

6.5. Aký je rozmer koeficientu G (konštanty vystupujúcemu v gravitačnom zákone, iným menom gravitačnej konštanty) v sústave jednotiek CGS?

6.6. Aká je číselná hodnota G v sústave jednotiek CGS?

6.7. (6-2) Zoberme dve dostatočne vzdialené čísla (napr. 4 a 16). V akom pomere sú k sebe ich aritmetický a geometrický priemer?

6.8. Zoberme dve dostatočne blízke čísla (napr. 24 a 25). V akom pomere sú k sebe ich aritmetický a geometrický priemer?

6.9. (a) Koľko práce by bolo treba, aby sme vyzdvihli z povrchu Zeme predmet s hmotnosťou 104 kg do výšky polomeru Zeme? (b) V akom pomere je táto hodnota k tej evidentne nesprávnej hodnote, ktorú by sme obdržali z chybného predpokladu, že gravitačné zrýchlenie je konštantné a rovné hodnote na povrchu Zeme?

6.10. (a) Koľko práce by bolo treba, aby sme z povrchu Zeme vyzdvihli predmet s hmotnosťou 1000 kg do výšky polomeru Zeme? (b) V akom pomere je táto hodnota k hodnote, ktorú by sme obdržali za predpokladu, že gravitačné zrýchlenie je konštantné a rovné hodnote na povrchu Zeme?

6.11. (a) Akú veľkú prácu musíme vykonať k premiestneniu telesa hmotnosti 1 gram z povrchu Zeme do nekonečna? (b) Ak sa dohodneme, že potenciálna energia v nekonečnu bude nulová, aká bude jej hodnota pre dané teleso na povrchu Zeme?

6.12. (a) Aká práca je potrebná k tomu, aby sme 2 kilogramové závažie odniesli z povrchu Zeme do nekonečna? (b) Podľa dohody považujeme potenciálnu energiu v nekonečnu za nulovú. Aká bude potenciálna energia 2 kilogramového závažia na povrchu Zeme?

6.13. Úniková rýchlosť z povrchu Zeme je 11,2 km/s. (a) Aká by bola úniková rýchlosť, pokiaľ by sa hmotnosť Zeme zdvojnásobila, ale jej rozmery by sa nezmenili? (b) Aká by bola úniková rýchlosť, keby sa polomer Zeme zdvojnásobil, jeho hmotnosť by sa ale nezmenila? (6-3)

6.14. Úniková rýchlosť počítaná na povrchu Zeme je 11,2 km/s. (a) Aká by bola jej hodnota, keby hmotnosť Zeme vzrástla na 9 násobok, ale jeho rozmery by sa nezmenili? (b) Aká by bola úniková rýchlosť, pokiaľ by polomer Zeme vzrástla na 4 násobok, ale jej hmotnosť by sa nezmenila?

6.15. Aká je úniková rýchlosť na planéte X, ktorej hmotnosť 16 násobkom hmotnosti Zeme a jej priemer je 9 násobkom priemeru Zeme?

6.16. Hmotnosť Marsu je 0,108 násobkom hmotnosti Zeme a jeho polomer je 0,532 násobkom polomeru Zeme. Aká je úniková rýchlosť na povrchu Marsu?

6.17. Aká je obežná rýchlosť družice blízko povrchu planéty X z úlohy 6.15?

6.18. Aká by bola orbitálna rýchlosť umelej družice Marsu blízko jeho povrchu? (Pozri úlohu 6.16.)

6.19. Aká je rýchlosť umelej družice pohybujúcej sa po kružnici vo výške 1600 kilometrov nad povrchom Zeme? (Zoberme túto vzdialenosť za 1/4 polomeru Zeme.)

6.20. Aká je rýchlosť družice po kružnicovej dráhe vo výške polomeru Zeme nad povrchom Zeme?

6.21. (6-4) Merkúr má silne eliptickú dráhu. V perihéliu (najbližší bod dráhy k Slnku) 45,9 × 106 km je jeho rýchlosť 56 km/s. Afélium (najvzdialenejší bod dráhy od Slnka) je 69,5 × 106 km. Aká je jeho rýchlosť tu?

6.22. Od 21-ho marca do 22-ho septembra sa Zem pootočí okolo Slnka na svojej dráhe o 180°. Nájdime počet dní potrebných na túto otočku, tj. pol obehu. Rozhodnime na základe tohto údaju, či v zime, alebo v lete je Zem bližšie k Slnku.

6.23. Mars má dva mesiace. Väčší, Deimos, obieha okolo Marsu v priemernej vzdialenosti 6,9 polomeru Marsu od stredu Marsu a doba obehu je 30 hodín. Obežná doba menšieho z mesiacov je približne 7,6 hodín. V akej vzdialenosti je Phobos od stredu Marsu vyjadrenej v polomeroch Marsu?

6.24. Aká je doba obehu umelej družice okolo Zeme, ak obieha okolo Zeme vo vzdialenosti polovičnej vzdialenosti Zem-Mesiac, tj. 192000 km?

6.25. Aký by bol polomer dráhy umelej družice obiehajúcej okolo Marsu, ktorej doba obehu by bola 20 hodín? (Výsledok udajme v jednotkách polomeru Marsu - pozri úlohu 6.23)

6.26. Zem má komunikačné družice, pomocou ktorých je možné zabezpečiť prenos vysielania medzi kontinentmi. Pri pohľadu Zeme sa tieto satelity zdanlivo nepohybujú, stoja skoro nehybne nad daným bodom rovníku Zeme. (a) Aká je ich doba obehu okolo Zeme? (b) Aký je približne polomer ich dráhy? (c) Približne v akej výške sa nachádzajú nad zemským povrchom?