Úlohy 05

5.1. (5-1) Koleso má 12 špicov rozdelených rovnomerne po obvode. Koľko radiánov má uhol uzatváraný susednými špicami?

5.2. O aký uhol meraný v radiánoch sa otočí Zem za čas, než je poludnie v Greenwich a v Denver? (Greenwich sa nachádza na zemepisnej dĺžke 0° a Denver na západnej zemepisnej dĺžke 105°.)

5.3. (a) Aká je uhlová rýchlosť otáčania sa Zeme meranej v radiánoch za hodinu? (b) Využitím získaného výsledku vypočítajme obvodovú rýchlosť nejakého bodu na rovníku, ak priemer Zeme je 12760 km.

5.4. (a) Aká je uhlová rýchlosť obehu Zeme okolo Slnka v jednotkách radián za hodinu? (b) Využitím získaného výsledku vypočítajme rýchlosť Zeme po jeho dráhe, ak priemerná vzdialenosť Zeme od Slnka je 1,5 × 108 km.

5.5. Kotúčová brúska s priemerom 24 cm má 2400 otočiek za minútu. (a) Aká je jej uhlová rýchlosť v jednotkách radián za sekundu? (b) Aká je obvodová rýchlosť brúsky v cm/s?

5.6. Centrifúga s priemerom 10 cm má 30000 otočiek za minútu. (a) Udajme uhlovú rýchlosť v rad/s-ách. (b) Aká je obvodová rýchlosť centrifúgy?

5.7. Brúska v úlohe 5.5 dosiahne otáčky 2400 za minútu za 4 sekundy. Aké je priemerné zrýchlenie v rad/s2?

5.8. Centrifúga z úlohy 5.6 dosiahne 30000 otáčok za minútu v priebehu 4 minút. Aké je priemerné zrýchlenie v rad/s2?

5.9. Koleso zrýchľuje rovnomerne so zrýchlením 60 rad/s2. Po koľkých otočeniach dosiahne rýchlosť otáčok 3000 otočiek za minútu, ak sa roztáča z pokoja, ?

5.10. Vŕtačka zubára sa otáča po 2 sekundách rýchlosťou 9000 otočiek za minútu. (a) Aké je jeho priemerné zrýchlenie? (b) Po koľkých otáčkach dosiahne maximálnu rýchlosť?

5.11. (5-2) Aký je moment zotrvačnosti 10 kilogramovej plnej gule s priemerom 30 cm?

5.12. Aký je moment zotrvačnosti plného valca s hmotnosťou 80 kg, ktorého polomer je 60 cm?

5.13. Hmotnosť 2 metrovej tenkej tyče je 8 kg. Aký je jej moment zotrvačnosti počítaný na os prechádzajúcu kolmo tyčou cez jej stred?

5.14. Aký je moment zotrvačnosti tyče z predchádzajúcej úlohy počítanej vzhľadom na os prechádzajúcej kolmo na jeden z koncov tyče?

5.15. Brúska v tvare plného valca má hmotnosť 3 kg a priemer 20 cm. (a) Aký je jeho moment zotrvačnosti? (b) Aký moment sily je potrebný k tomu, aby jeho uhlové zrýchlenie bolo 120 rad/s2? (5-3)

5.16. Kruhová píla (ktorú môžeme považovať za plný veľmi nízky valec) má priemer 24 cm a hmotnosť 2 kg. Aký moment sily je potrebný k uhlovému zrýchleniu 80 rad/s2?

5.17. Kotúč nepravidelného tvaru zrýchľuje pôsobením momentu sily veľkosti 20 N⋅m uhlovým zrýchlením 2 rad/s2. Aký je moment zotrvačnosti kotúča?

5.18. 5 kilogramové koleso nepravidelného tvaru zrýchľuje pri pôsobení momentu sily 2,0 N ⋅m so zrýchlením 10 rad/s2. Aký je moment zotrvačnosti kolesa?

5.19. Vráťme sa k obrázku 5.4. Akú hmotnosť by sme museli zavesiť na lano, aby sme mali konštantný ťah 12 N?

5.20. Závažie akej hmotnosti by sme museli zavesiť na lano obrázku 5.4, aby ním vyvolaná stála sila mala veľkosť 20 N?

5.21. (5-4) Rušeň s hmotnosťou 50 ton prechádza zákrutou o polomeru 250 m rýchlosťou 72 km/h. Akou silou tlačia koľajnice na bok kolies rušňa?

5.22. Vozidlo s hmotnosťou 1400 kg zatáča po kružnici s polomerom 100 m rýchlosťou 60 km/h. Akou veľkou silou pôsobí vozovka na pneumatiky vozidla smerom do stredu oblúka?

5.23. Hmotnosť Zeme je v dobrom priblížení 6 × 1024 kg, priemerný polomer jeho dráhy okolo Slnka je 1,50 × 1011 m. (a) Aká veľká je gravitačná príťažlivosť medzi Zemou a Slnkom? (b) Aká veľká je táto sila v meganewtonoch?

5.24. Hmotnosť Mesiaca je približne 7,4 × 1022 kg, priemerný polomer jeho dráhy okolo Zeme je 3,8 × 105 km. Doba jedného obehu je 27,3 dní. (a) Aká je gravitačná príťažlivosť medzi Zemou a Mesiacom? (b) Aká veľká je táto sila v meganewtonoch?

5.25. Teliesko malej hmotnosti visí na 20 cm dlhom vlákne. Do tohto telieska udrieme a získa tým takú začiatočnú rýchlosť, ktorá je postačujúca k tomu, aby sa pretočila vo zvislej rovine, pričom vlákno bude napnuté aj v jeho najvyššom bode dráhy. Aká veľká musí byť začiatočná rýchlosť v? Než dáme správnu odpoveď, zodpovedajme nasledujúce otázky: (a) Akou minimálnou rýchlosťou vm musí teliesko prejsť cez najvyšší bod dráhy? (b) Aká je v tomto bode kinetická energia telieska? (c) Aká je jeho potenciálna energia? (d) Aká musí byť hodnota Ek + Ep telieska v najnižšom bode kružnice? (e) Aká je potenciálna energia v najnižšom bode? (f) Aká musí byť kinetická energia v najnižšom bode? (g) Aká musí teda byť rýchlosť v najnižšom bode?

5.26. Na určitej planéte Z, kde g = 6 m/s2, visí na vlákne dlhom 30 cm teliesko s malou hmotnosťou. Udrieme do telieska a získa takú začiatočnú rýchlosť v, ktorá je postačujúca k jeho pretočeniu sa vo zvislej rovine, pričom vlákno zostane napnuté aj v najvyššom bode jeho dráhy. Aká musí byť začiatočná rýchlosť telieska? (V prípade nutnosti pozri doplňujúce otázky predchádzajúcej úlohy.)

5.27. Kotúč s priemerom 4 m sa otáča vodorovne (okolo zvislej osi) rýchlosťou, pri ktorej jedno pootočenie trvá 10 sekúnd. Ak na kraj kotúča položíme drevenú kocku, zletí z kotúča, alebo na ňom zostane? (Koeficient trenia je f = 0,10.)

5.28. V zábavnom parku je valcová izba s priemerom 3,6 m. Návštevníci sa opierajú chrbtom o stenu, pričom izba sa začne točiť. Pri určitej uhlovej rýchlosti obsluha odstráni podlahu izby, ale návštevníci zostanú na svojom mieste pritlačení k stene. Akou uhlovou rýchlosťou sa točí izba, ak koeficient trenia medzi návštevníkom a stenou izby je f = 0,30?

5.29. (5-5) Valec s priemerom 12 cm a s hmotnosťou 10 kg sa točí uhlovou rýchlosťou 2 otočky za sekundu. Aká je kinetická energia otáčavého pohybu?

5.30. Guľa s priemerom 10 cm a s hmotnosťou 3 kg sa za jednu sekundu otočí 5 krát. Aká je kinetická energia otáčavého pohybu?

5.31. Aká je koncová rýchlosť telesa na dolnom konci naklonenej roviny v závislosti od výšky naklonenej roviny, ak po nej kĺza bez trenia?

5.32. Aká je rýchlosť gule skotúľajúcej sa po naklonenej rovine bez preklzovania a trenia v závislosti od výšky naklonenej roviny?

5.33. Koleso sa skotúľa dole po naklonenej rovine bez preklzovania a trenia. Aká časť jej kinetickej energie je postupná a aká rotačná?

5.34. Plný valec skotúľa dole po naklonenej rovine bez preklzovania a trenia. Aká časť jej kinetickej energie je postupná a aká rotačná?

5.35. (5-6) Študent stojí na otočnej stoličke a pokiaľ svoje ruky drží pri tele, jeho moment zotrvačnosti je I = 2 kg ⋅m2. Pri tejto pozícii urobí stolička so študentom každú sekundu 1 otočku. Ak študent rozpaží, jeho moment hybnosti vzrastie na I = 4 kg ⋅m2. Akou rýchlosťou sa bude točiť teraz?

5.36. Študent stojí s rozpaženými rukami na otočnej stoličke a jednu otočku urobí za 1,5 sekundy. V tomto postoji je jeho moment zotrvačnosti I = 3 kg ⋅m2. Keď spustí svoje ruky, jeho rýchlosť otáčok vzrastie na 1,5 otočiek. Aká je hodnota I teraz?

5.37. Porovnajme rotačnú kinetickú energiu študenta z úlohy 5.35 v oboch jeho pozíciách. Čím sa dá prípadný rozdiel vysvetliť?

5.38. Sú rotačné kinetické energie študenta v úlohe 5.36 v oboch postojoch rovnaké? Prečo?

5.39. Na spoločnej oske umiestnime dve kolesá. Moment zotrvačnosti kolesa A je 5 × 105 kg ⋅cm2 a urobí 600 otočiek za minútu. Moment zotrvačnosti kolesa B je 2 × 106 g ⋅cm2 a je v pokoji. Pomocou spínača na osi dokážeme spojiť kolesá tak, že sú nútené sa točiť spoločne. (a) Aká bude ich rýchlosť otáčania teraz? (b) Predpokladajme, že spínanie je postupné. Bude výsledok rovnaký ako by sme kolesá zopli naraz? (Predpokladáme, že ložiská sú bez trenia.) (c) Aká bude rotačná kinetická energia pred a po zopnutí kolies? (d) Aký moment sily vyvinul spínač, ak počas jeho činnosti koleso A urobilo oproti kolesu B 10 otočiek?

5.40. Moment zotrvačnosti vesmírnej lodi počítanej na jej stred je 8 × 108 kg ⋅m2. Smer, do ktorého sa orientuje sa dá ovládať pomocou kolesa s ťažkými ráfmi, ktorého hmotnosť je 100 kg a polomer 50 cm. Po akú dobu treba koleso otáčať rýchlosťou 600 otočiek za minútu, aby vesmírna loď sa pootočila o 90°? (Poznamenajme, že to nemá vplyv na smer letu vesmírnej lode!)

5.41. Ak hnacia hriadeľ a hnacie koleso motoru vozidla sa točia z pohľadu šoféra v smere hodinových ručičiek, predok vozidla sa nadvíhne, alebo poklesne, keď vozidlo zatáča doprava?

5.42. Niektoré – dnes už zastaralé – lietadlá mali veľký motor umiestnený pred pilotom a jeho otáčky pozoroval v smere proti hodinových ručičiek. Ak pilot nasmeroval predok lietadla smerom dole, gyroskopický efekt spôsobil vychýlenie doprava, alebo doľava?