Úlohy 02

2.1. (2-2)Doska s tiažou 350 N je položená so svojim stredom na oske tak, že je vybalansovaná. Ako silou smerujúcou smerom hore pôsobí oska na dosku?

2.2. Oceľovú tyč s tiažou 470 N zavesíme na jej strede na hák. Akou silou smerujúcou hore pôsobí hák na tyč?

2.3. Dosku z úlohy 2.1 používajú dve deti ako húpačku. Dievčatko s tiažou 295 N sedí 3 m osky a chlapec s tiažou 360 N sedí na druhej strane, vo vzdialenosti 2,5 m od osky.
(a) Zostane húpačke v rovnováhe? (Inými slovami: sú momenty síl počítané vzhľadom na osku a pochádzajúce od oboch detí rovnako veľké a opačne orientované?)
(b) Aká je celková veľkosť sily smerujúcej hore, s ktorou pôsobí oska na dosku?

2.4. Opravár zavesí na oceľovú tyč z úlohy 2.2 dve vedrá. Jedno z vedier má tiaž 800 N a je zavesené vo vzdialenosti 3,5 m od háku, druhé vedro s tiažou 560 N je zavesené na druhej strane, 5,0 m od háku.
(a) Zostane vedrami zaťažená tyč v rovnováhe? (Inými slovami: sú si momenty síl pochádzajúce od oboch vedier rovnako veľké a opačne orientované vzhľadom na hák?)
(b) Aká veľká je sila smerujúca smerom hore, ktorou pôsobí hák na tyč?

2.5. Vypočítajme momenty síl pôsobiacich na dosku z úlohy 2.3 vzhľadom na bod, kde sedí chlapec. Je pravda, že vzhľadom na tento bod je ∑ ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> M = 0?

2.6. Vypočítajme momenty síl pôsobiacich na tyč z úlohy 2.4 v mieste, kde je zavesené vedro s tiažou 800 N. Je pravda, že na vzhľadom na tento bod je ∑ ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> M = 0?

2.7. (2-3) 6 m dlhá a stenčujúca sa tyč má tiaž 240 N; tyč je v rovnováhe, pokiaľ sa zavesí 2 m od jedného z jeho koncov. Dvaja (chytiac tyč na jednom a druhom konci) ho nadvihnú. Akú silu musia vyvinúť na koncoch?

2.8. Nerovnorodá oceľová tyč má dĺžku 18 m a tiaž 2000 N. Ťažisko tyče sa nachádza 8 m od jedného konca. Pod oba konce tyče dáme kliny. Aká váha zaťažuje jednotlivé kliny?

2.9. Stenčujúcu sa tyč dĺžky 8 m zavesíme na jej koncoch na dve pružinové váhy. Jedny váhy ukazujú 60 N, druhé 150 N. Kde je ťažisko tyče?

2.10. Nákladné auto sa postaví na vozovkové váhy len prednými kolesami, ktoré ukážu 18 kN. Nákladné auto sa otočí a keď na váhach je len jeho zadná náprava, tie ukážu 31 kN. Kde je ťažisko nákladného auta? (Vzdialenosť medzi prednou a zadnou nápravou sú 4 m.)

2.11. Rybár chce zmerať váhu veľkej ryby, ktorú sa mu podarilo chytiť. Má dve pružinové váhy, ktoré ukazujú len do 100 N, ryba je však ťažšia. Zoberie preto jednu ľahkú palicu, ktorej dĺžka je 1 m a jej dva konce zavesí na pružinové váhy, rybu zase zavesí na palicu. Na váhach sa dá odčítať 60 N a 80 N.
(a) Koľko váži ryba?
(b) V ktorej časti palice je ryba zavesená?
(c) Čo ukážu jednotlivé váhy, ak rybu zavesíme vo vzdialenosti 1/3 dĺžky palice od konca?

2.12. Stenčujúca sa trstinová palica je dlhá 6 m a jej váha je 100 N. Zavesená 2,5 m od jej hrubšieho konca zostane v rovnováhe. Aké veľké závažie musíme zavesiť na jej tenší koniec, aby zostala v rovnováhe zavesená presne v strede?

2.13. (2-4) Vyhľadajte z tabuliek, alebo nájdite pomocou kalkulátoru nasledujúce hodnoty: (a) sin ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> 23°; (b) tg ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> 87°; (c) cos ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> 60°; (d) tg ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> 30°; (e) sin ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> 60°; (f) cos ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> 43°.

2.14. Vyhľadajte z tabuliek nasledujúce hodnoty: (a) cos ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> 19°; (b) sin ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> 58°; (c) tg ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> 27°; (d) sin ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> 37°; (e) tg ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> 11°; (f) cos ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> 71°.

2.15. Vektor dĺžky 20 jednotiek sa odchyľuje od severu smerom na východ o 30°. Vypočítajte pomocou trigonometrických metód
(a) veľkosť zložky ukazujúcu na sever, (b) veľkosť zložky ukazujúcu na východ.

2.16. Mesto A sa nachádza od mesta B vo vzdialenosti 34 km 18°v juhozápadnom smere. Aká veľká je (a) južná zložka vzdialenosti, (b) západná zložka vzdialenosti.

2.17. Sú dané tri vektory: A = 5 jednotiek, A→ ukazuje smerom na sever; B = 10 jednotiek, B→ ukzauje 30°smerom na juhovýchod; C = 10 jednotiek C→ ukazuje 45°smerom na severovýchod. (a) Zvoľte veľkosť jednotiek vhodným spôsobom, a sčítajte trojicu vektorov graficky aspoň v dvoch rôznych poradiach (napríklad takto R→ = A→ + B→ + C→ a R→ = C→ + A→ + B→). (b) Rozložte trojicu vektorov na severo-južné a východo-západné komponenty a sčítajte príslušné zložky pre určenie severo-južnej a východo-západnej zložky vektora R→.

2.18. Sú dané tri vektory: α = 10 jednotiek a α→ ukazuje 15°smerom na juhovýchod, β = 25 jednotiek a β→ ukazuje 37°smerom na severovýchod, γ = 20 jednotiek a γ→ ukazuje 18°smerom na juhozápad. (a) Sčítajte graficky túto trojicu vektorov dvomi spôsobmi (napríklad R→ = α→ + β→ + γ→ a R→ = β→ + γ→ + α→.) (b) Rozložte trojicu vektorov na severo-južné a východo-západné zložky: ich sčítaním obdržíme príslušné zložky vektoru R→.

2.19. (2-5) Aký veľký je vektor R→ v úlohe 2.17 a aký má smer?

2.20. Aký veľký je vektor R→ v úlohe 2.18 a aký má smer?

2.21. Dva traktory ťahajú kmeň stromu. Kvôli terénu sa jeden z nich pohne smerom 45°na severovýchod, druhý 60°smerom na juhovýchod. V akom smere sa pohne kmeň stromu, a aká sila na neho pôsobí, ak predpokladáme, že ťažná sila každého z traktorov je 30 kN?

2.22. Častica s elektrickým nábojom sa pohybuje v priestore, v ktorom na ňu pôsobia dve elektrické polia súčasne: jedna z nich (A→) pôsobí na časticu silou veľkosti 3,2 × 10−16 newtonov v smere 27°na juhovýchod, druhá (B→) silou veľkosti 1,2 × 10−15 newtonov v smere 38°na severovýchod. Aká veľká je výslednica síl pôsobiacich na časticu, a ktorým smerom ukazuje?

2.23. Na obrázku 2.1a na strane § visí závažie s tiažou 1200 N na konci tyče, a tyč je upevnená podľa obrázku pomocou lana. (a) Akou silou je napínané lano?
(b) Aká veľká sila stláča tyč? (Tiaž tyče je zanedbateľne malá.)

2.24. Koniec tyče so zanedbateľne malou tiažou drží lano. Závažie zavesené na koniec tyče má tiaž 2000 N a sklon lana je 30°. (a) Akou silou je napínané lano? (b) Aká veľká sila stláča tyč?

2.25. Tyč s tiažou 600 N dĺžky 8 m má rovnomerné rozloženie hmoty (ťažisko teda má v strede). Podľa obrázku 2.1b na strane § je tyč držaná lanom na konci. Tyč je zaťažená závažím s tiažou 800 N, ako ukazuje obrázok (a) Akou silou je napínané lano? (b) Aká veľká je zvislá a vodorovná zložka sily reakcie steny?

2.26. Rovnomerná tyč dĺžky 12 m je vo vodorovnej polohe a má tiaž 1500 N; je upevnená podľa obrázku 2.1b na strane § pre úlohu 2.25. Tyč a lano uzatvárajú uhol 42°. Na tyči visí závažie s tiažou 2000 N vo vzdialenosti 4 m od konca. (a) Aké veľké napätie vzniká v lane? (b) Aké veľké sú zvislé a vodorovné zložky sily reakcie steny?

2.27. Veľká debna má tiaž 1000 N; miesto jeho ťažiska ukazuje obrázok. Akou silou sa musí ťahať lano, aby zadná časť debne sa trošku nadvihlo od podlahy?

2.28. Človek na tom istom obrázku (obrázok 2.2 na strane §) teraz chce nadvihnúť prednú časť debne. Lano vychádza od dna debne smerom hore pod uhlom 45°. Akou veľkou silou musí potiahnuť lano?

2.29. Na teleso, podľa obrázku 2.29, pôsobia tri sily. Toto teleso takto nie je v rovnováhe: musí sa zaviesť ešte jedna sila, aby nastala rovnováha. Aká veľká je táto štvrtá sila, v ktorom smere ukazuje a kde musí pôsobiť?

2.30. Na teleso pôsobia tri sily podľa obrázku 2.30. Teleso bude v rovnováhe len vtedy, ak na neho budeme pôsobiť aj štvrtou silou. Aká veľká je táto sila, v ktorom smere pôsobí, a v ktorom bode musí pôsobiť?

2.31. (2-6) Aby debna s tiažou 1200 N kĺzala po podlahe, musíme na ňu pôsobiť silou veľkosti 250 N vo vodorovnom smere. Aký je koeficient trenia medzi debnou a podlahou?

2.32. Veľmi ťažký stroj postavíme na jeho nové miesto pomocou zdvižného zariadenia, ktoré je schopné tlačiť vo vodorovnom smere. Tiaž ťažkého stroja je 70 kN, koeficient trenia medzi jeho dolnou časťou a podlahou je 0,35. Akú veľkú silu musí zdvižné zariadenie vyvinúť, aby dokázal stroj odtlačiť?

2.33. Bude výsledok experimentu na stanovenie ťažiska golfovej palice pomocou dvoch prstov rovnaký ak na jednu ruku si natiahneme hladké rukavice z hodvábu a na druhú drsnú rukavicu z kože? Prečo?

2.34. Bude výsledok experimentu na stanovenie ťažiska golfovej palice pomocou dvoch prstov rovnaký ak časť golfovej palice na jednej strane od ťažiska zabalíme do jemného drsného papiera a časť na druhej strane ťažiska dokonalo vyleštíme? Prečo?

2.35. Muž sa opiera o stenu s vodorovne predpaženými rukami, ktoré má od oleja. Medzi jeho dlaňami a stenou nie je žiadne trenie. Koeficient trenia medzi podrážkou jeho topánok a podlahou je 0,40. Ťažisko mužovho tela je uprostred medzi jeho ramenami a jeho chodidlami. Aký je ten najmenší uhol α, ktorý môže zvierať podlaha s nakloneným telom muža, aby sa nepošmykol na podlahe?

2.36. Muž stojí v strede 6 m dlhého rebríku, ktorý sa opiera o hladkú zvislú stenu. Koeficient trenia medzi podložkou a nohami rebríka je 0,20. Ako ďaleko od steny môže byť opretý rebrík, aby nezošmykol? (Hmotnosť rebríka je zanedbateľne malý.)

2.37. Po ceste ťaháme za sebou na povrázku tvrdohlavého psa, ktorého tiaž je 60 N. Povrázok uzatvára s vodorovným smerom uhol 40°, koeficient trenia medzi psom a cestou je 0,50. Akou silou musíme ťahať povrázok?

2.38. Debnu s tiažou 2000 N tlačíme po podlahe so stálou rýchlosťou (f = 0,30); sila, ktorou tlačíme uzatvára s vodorovným smerom uhol 37°. Aká veľká je sila, ktorou tlačíme?

2.39. (2-7) Je známe, že hustota vody je skoro presne 1 g/cm3. Koľko to je po prepočítaní na font/stopa kubická?

2.40. Z predchádzajúcej úlohy vieme, že aká je hustota vody vyjadrená v g/cm3, prípadne v jednotkách font/stopa kubická. Prepočítajme do jednotiek font/stopa kubická aj údaje hustoty pre olej a ortuť z úlohy 2.43.

2.41. Hustota medi je 8,90 g/cm3. Aká je hmotnosť hranola z medi s rozmermi 4 cm × 5 cm × 10 cm?

2.42. Železný hranol s rozmermi 6 cm × 12 cm × 15 cm má hmotnosť 8,42 kg. Aká je hustota železa v jednotkách g/cm3?

2.43. Objem merného valca je presne 200,00 cm3, prázdny váži 2,30 N. Aká bude jeho tiaž, ak ho naplníme (a) vodou; (b) olejom (ktorého hustota je 0,82 g/cm3); (c) ortuťou (ktorej hustota je 13,6 g/cm3)?

2.44. (a) Tiaž fľaše je 2,13 N, jej vnútorný objem je 800 cm3. Ak ju naplníme olejom, jej tiaž bude 8,61 N. Aká je merná hustota oleja?
(b) Ak nepoznáme objem fľaše, ako ho môžeme stanoviť jednoducho a presne?

2.45. Aký je tlak vody v N/cm2 na dne 3 m hlbokého bazénu?

2.46. Nádrž hlboká 2,5 m je naplnená olejom s mernou hustotou 9,00 mN/cm3. Aký je tlak oleja na dne nádrže v jednotke mN/cm2?

2.47. Plocha bazénu v úlohe 2.45 je 4 m × 7 m. Aká je celková tlaková sila, ktorá zaťažuje dno bazénu?

2.48. Nádrž v úlohe 2.46 má valcovitý tvar s priemerom 2 m. Aká je celková tlaková sila, ktorá pôsobí na dno nádrže?

2.49. Nádrž s výškou 5 m je do polovice naplnená vodou a nad vodou, až po okraj, sa nachádza olej, ktorého merná hustota je 8,5 mN/cm3. Akým veľkým tlakom pôsobí na dno nádrže táto dvojica kvapalín?

2.50. Tyč vysoká 125 cm je naplnená do výšky 15 cm ortuťou a nad ortuťou až po okraj tetrachlóretylénom (s mernou hustotou 15,9 mN/cm3). Aký je tlak na dne valca?

2.51. Priemer menšieho z piestov hydraulického lisu je 0,5 cm, väčšieho 6 cm. Akú veľkú silu treba vyvinúť na menší piest, aby na väčšom vznikla tlaková sila 20 kN? (2-8)

2.52. V hydraulickom lise je priemer piestu, ktorý nesie záťaž, 9 cm, priemer menšieho piestu – na ktorý pôsobí sila – je 1,5 cm. Akou silou musíme pôsobiť, ak záťaž je 6 ton?

2.53. (2-9) Kameň váži 2,50 N, ponorený do vody však len 1,50 N. (a) Aká je strata váhy? (b) Aká veľká je vztlaková sila pôsobiaca na kameň? (c) Aká je tiaž vody, ktorú kameň vytlačil? (d) Aký je objem tohto množstva vody? (e) Aký je objem kameňa? (f) Aká je merná hustota kameňa?

2.54. Tiaž kameňa je 7,50 N, ale ak ho ponoríme do vody, potom už len 5,00 N. (a) Aký je objem kameňa? (b) Aká je merná hustota kameňa?

2.55. Kus kovu váži 30,00 N, ponorením do oleja s mernou hustotou 8,0 mN/cm3 však váži len 26,00 N. (a) Aký je objem spomínaného kusu kovu? (b) Aká je merná hustota kovu?

2.56. Kus kovu s tiažou 15,20 N váži po ponorení do tetrachlóretylénu (pozri úlohu 2.50) len 12,02 N. (a) Aký je objem spomínaného kusu kovu? (b) Aká je merná hustota kovu?

2.57. Chceme stanoviť mernú hustotu určitej kyseliny. Sklenená zátka váži na vzduchu 2,50 N, vo vode 1,50 N a v skúmanej kyseline 1,25 N. (a) Aký je objem danej sklenej zátky? (b) Aká je merná hustota skla?
(c) Aká je merná hustota skúmanej kyseliny?

2.58. Chceme určiť mernú hustotu oleja. Zmeriame tiaž kovového predmetu na vzduchu (3,00 N), ponorením do vody (2,00 N) a ponorením do oleja (2,20 N.) (a) Aký je objem kovového predmetu? (b) Aká je merná hustota kovu? (c) Aká je merná hustota oleja?

2.59. Na vode pláva kus dreva (jeho merná hustota je 6 mN/cm3). Aká časť jeho objemu sa ponára pod vodu?

2.60. Drevený predmet pláva v oleji s mernou hustotou 8,0 mN/cm3 a 60% jeho objemu sa ponára pod hladinu oleja. Aká je merná hustota dreva?

2.61. Uprostred bazénu stojí loďka naložená kameňmi a ľudia sediaci v nej hádžu tieto kamene z loďky do bazénu. Čo sa stane s hladinou vody v bazéne? Prečo? (Na jednej vedeckom zasadnutí položili túto otázku Dr. Gamowovi, fyzikovi J.Robertovi Oppenheimerovi a nositeľovi Nobelovej ceny Felixovi Blochovi. Nikto z nich úlohu poriadne nepremyslel a všetci traja dali špatnú odpoveď!)

2.62. Uprostred bazénu stojí loďka naložená ľahkým drevom (merná hustota dreva je menšia, než 10 mN/cm3). Ľudia sediaci v člne vyhadzujú kúsky dreva do bazénu. Čo sa deje s hladinou vody v bazéne? Prečo?

2.63. Aj vzduch (zrovna tak ako každý plyn) sa môže považovať za kvapalinu a na predmety v plynoch sa vzťahuje Archimedov zákon zrovna tak, ako na predmety ponorené do kvapalín s väčšou mernou hustotou. Vztlaková sila vzduchu je väčšinou tak malá, že sa dá zanedbať. Predpokladajme však, že balón s objemom 3000 m3 je naplnený héliom, ktorého hustota je 1,8 × 10−4 g/cm3. (a) vypočítajme silu, ktorou je napínané kotviace lano, predpokladajúc, že hustota vzduchu je 1,3 × 10−3 g/cm3 a tiaž celého zariadenia je 16,00 kN. (b) Akou silou bude kotviace lano napínané, ak namiesto hélia použijeme k naplneniu balónu vodík? (Hustota vodíkového plynu je približne 9,5 × 10−5 g/cm3.)

2.64. Chceli by sme určiť veľmi presne tiaž kocky z umelej hmoty, ktorej dĺžka hrany je 10 cm. Na jednu misku veľmi presných rovnoramenných váh položíme kocku, na druhú medené závažia s celkovou hmotnosťou 2980,2 g (merná hustota medi je 86,000 mN/cm3). Aká je presná tiaž kocky? (Všetky ostatné potrebné údaje nájdete v úlohe 2.63.)