1-1 - Veľké a malé

Kapitola 1
Naše miesto vo vesmíre

1-1 Veľké a malé

V našom každodennom živote sa stretávame s predmetmi rôznych rozmerov. Niektoré z nich sú ako hora, niektoré zase ako zrnko prachu. Ak tieto hranice prekročíme – či už vkročením do sveta veľmi veľkých, alebo veľmi malých vecí – dokážeme si ich skutočné rozmery predstaviť len s čoraz väčšími problémami.

Telesá, ktoré sú podstatne väčšie ako hory – ako napríklad Zem, Mesiac, Slnko, hviezdy, hviezdne sústavy – tvoria spolu makrokozmos (význam tohto slova gréckeho pôvodu je „veľký svet“). Veľmi malé telesá – ako napríklad baktérie, atómy, elektróny – patria do mikrokozmu („malý svet“). Ak rozmery udáme v bežne prijatých jednotkách ako meter (= 39,37 palcov), alebo centimeter (= 0,01 metra; 2,54 centimetra = 1 palec), potom predmety makrokozmu musíme udať pomocou veľmi veľkých čísiel a predmety mikrokozmu pomocou veľmi malých čísiel. Napríklad priemer Slnka je 1390000000 metra a priemer atómu vodíka je 0,0000000106 centimetra.

Odborníci tieto mimoriadne veľké a mimoriadne malé čísla spravidla zapisujú iným spôsobom, z praktického hľadiska podstatne v jednoduchšom tvare. Priemer Slnka v metroch je také číslo, ktorého začiatok je 139, nasledované siedmimi nulami. Nakoľko tu každej nule zodpovedá násobenie desiatimi, priemer Slnka je 139 × 107 metra, alebo môžeme písať tiež 1,39 × 109 metra. Podobným spôsobom sa dajú zapísať pomocou mocnín 10 aj veľmi malé čísla. Pripomeňme si, že napríklad 10−3 = 1∕103 = 0,001. Týmto spôsobom je priemer atómu vodíka 1,06 × 10−8 centimetra.

Ukážeme ešte niektoré pravidlá, ako narábať s mocninami, aby sme si všimli výhody tejto formy zápisu. Predpokladajme, že musíme vynásobiť 102 číslom 105. Nakoľko 102 = 10 × 10 = 100 a 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100000, súčin týchto dvoch čísiel je 10000000, čo je ale 107. Jednoduchšie to môžeme písať takto 102 × 105 = 107; pri násobení mocnín s rovnakým základom vo výsledku sčítame mocniny. Na základe tejto skúsenosti by sme mohli vytušiť – a je tomu tak –, že pri delení musíme brať rozdiel mocnín. Ľahko sa dá skontrolovať, že 105 delené s 102 je 1000, čo je 103. Predpokladajme ale, že 102 musíme predeliť s 105, čo bude výsledkom teraz? Použitím pravidla delenia mocnín s rovnakým základom, musíme odčítať z 2 číslo 5 a takto 102 : 105 = 10−3, čo je 1∕103, alebo čo je to isté 1∕1000. Ako príklad vypočítajme, koľkonásobne je väčší priemer Slnka od priemeru atómu vodíka. Aby sme takéto prirovnanie mohli urobiť, veľkosť oboch telies musíme udať v rovnakých jednotkách; prepočítajme preto priemer Slnka na centimetre. Nakoľko 1 meter (m) je 100 centimetrov (cm), priemer Slnka je 1,39 × 109 m × 102 cm/m = 1,39 × 1011 cm.

Mohli by sme samozrejme delenie 139000000000 : 0,0000000106 urobiť aj bežným spôsobom, aj keď vyhľadanie presnej polohy desatinnej čiary nie je práve jednoduché; ak však dvojicu čísiel zapíšeme v tvare 1,39 × 1011 a 1,06 × 10−8, delenie sa stáva veľmi priehľadným, lebo pri jednoduchom delení 1,39 : 1,06 môžeme delenie mocnín 10 vykonať samostatne

1,39 × 1011 1,06 × 10−8 = 1,31 × 1011−(−8) = 1,31 × 1019.

Niekedy je účelné a pohodlné používať veľmi veľké, prípadne veľmi malé jednotky. V makrokozme používajú astronómovia veľmi často jednotku svetelný rok. Rýchlosť svetla je 3 × 108 m/s (teda 300000000 metrov za sekundu); svetelný rok je vzdialenosť, ktorú svetlo preletí za jeden rok, teda

3×108 m sec ×3,6×103 sec hod ×24 hod deň ×365deň rok ×1 rok = 9,46×1015 m.

V astronómii sa používa tiež jednotka vzdialenosti parsek¹, čo je rovné vzdialenosti 3,6 svetelných rokov. V mikrokozme vystupuje často jednotka mikrón (značí sa μ, čo je malé grécke písmeno mí) či mikrometer, 1μm = 10−6 m = 10−4 cm; ďalej angström (značí sa ako Å, 1 Å = 10−10 m = 10−8 cm).

Na obrázku 1.1 sme znázornili relatívne pomery predmetov z makrokozmu a z mikrokozmu v tzv. logaritmickom merítku, kde po sebe idúce susedné body (postupujúc zľava doprava) označujú hodnoty delené vždy 104. Zvykli sme si, že vo väčšine grafov delenie osi predstavuje pridávanie tej istej hodnoty. (Takéto stupnice sa nazývajú lineárne stupnice.) V logaritmickej stupnici predstavuje každý diel násobenie tým istým číslom. Na obrázku 1.1 vymenúvame príklady na všetky rozmery od veľkosti elektrónu a elementárnych častíc, ktoré majú priemer okolo jednej stotisíciny angströmu až po vzdialené obrovité zoskupenia galaxií. Veľkosť hlavy človeka je približne v strede medzi veľkosťou atómu a Slnka, alebo atómového jadra a slnečnej sústavy (v oboch prípadoch v logaritmickej stupnici). Podobným spôsobom predstavujeme krajné prípady doby, ktoré popisujú deje na úrovni mikrokozmu a makrokozmu. Pri pojednávaní o histórii ľudstva hovoríme väčšinou o storočiach: geologické obdobia meriame v sto miliónoch rokov, vek vesmíru odhadujeme na 10 miliárd rokov. Doba kmitu počuteľného zvuku (doba medzi dvomi kmitmi) je 10−2 − 10−4 sec. Elektrón obiehajúci okolo jadra v atóme vodíka vykoná jeden obeh za približne 10−16 sec, kým doba kmitu častíc tvoriacich jadro atómu je len 10−22 sec. Porovnanie typických dôb v makrokozme, a v mikrokozme je znázornené tiež na obrázku 1.1. Všimnime si, že doba medzi dvomi údermi nášho srdca je približne v strede medzi vekom našej galaxie a dobou za ktorú elektrón obehne okolo jadra. Z toho všetkého sa zdá, že človek (v logaritmickom merítku) je niekde v strede medzi makrokozmom a mikrokozmom a je schopný rovnako dobre hľadieť do výšin hviezd, ako hľadieť do hlbín atómov.