06 Dráhy planét a umelé družice

6-1 Newtonov gravitačný zákon

Použime teraz zákon centripetálnych síl na Mesiac, ktorého dráha okolo Zeme má tvar skoro presnej kružnice s priemerným polomerom 384000 kilometrov. Obežná doba Mesiaca okolo Zeme je 27,3 dní, jeho uhlová rýchlosť je teda

ω = 1 obeh 27,3 dní 2π radián 1 obeh 1 deň 24 hodín 1 hodina 3600 s = 2,67 × 10−6 radián/s.

Ako sme povedali

r = 384000 km = 3,84 ⋅ 1010 cm.

Centripetálne zrýchlenie Mesiaca ukazujúce smerom k Zemi je teda

a = rω2 = (3,84 × 108 m)(2,67 × 10−6 rad/s)2 = 2,73 × 10−3 m/s2.

Newton robil podobné výpočty v druhej polovici XVII. storočia a vyslovene povedal (veľmi dôrazne a postaviac sa proti chápaniu a názoru jeho doby), že centripetálne zrýchlenie Mesiaca smerujúce k Zemi spôsobuje tá istá sila, v dôsledku ktorej jablko padá k Zemi so zrýchleným pohybom. Zrýchlenie jablka – g, tj. približne 9,80 m/s2 – je podstatne väčšie, než zrýchlenie, ktoré sme vypočítali pred chvíľkou, podľa Newtona je to ale zapríčinené tým, že príťažlivá sila Zeme so vzdialenosťou klesá. Číselné hodnoty môžeme obdržať za predpokladu, že gravitačná príťažlivosť klesá kvadrátom vzdialenosti (počítajúc od stredu Zeme), teda v dvojnásobnej vzdialenosti je sila štvrtinová, v trojnásobnej jedna devätina atď.

Vzdialenosť jablka od stredu Zeme je 6370 km, a vzdialenosť Mesiaca je 384 000 kilometrov, tj. 60,3 násobok vzdialenosti jablka. Môžeme preto očakávať, že zrýchlenie Mesiaca je 60,32 krát, tj. 3636 krát menšie. Skutočne, zrýchlenie je 9,8∕3636 = 2,70 × 10−3, teda 2,70 × 10−3 m/s2 čo sa veľmi dobre zhoduje s hodnotou 2,73 × 10−3 m/s2, ktorú sme získali čisto z geometrických údajov. (Súhlas by bol ešte lepší, pokiaľ by sme boli zobrali do úvahy skutočné polohy telies, čo sme podstatnú zložitosť výpočtov neurobili. Pri výpočte centripetálneho zrýchlenia Mesiaca sme predpokladali, že Zem stojí a Mesiac obieha okolo neho; v skutočnosti Mesiac aj Zem obiehajú spoločné ťažisko, ktoré sa nachádza približne 4800 kilometrov od stredu Zeme.)

Newton svoju predstavu overil aj na dráhach planét obiehajúcich okolo Slnka a nakoniec zostavil svoj slávny všeobecný zákon gravitácie:

Vo vesmíre pôsobí každá časť hmoty príťažlivou silou na každú inú časť hmoty; táto sila medzi týmito časťami je úmerná hmotnosti týchto častí, a je nepriamo úmerná kvadrátu vzdialenosti medzi nimi.

Vyjadrené rovnicou

F = Gm1m2 r2 .

V dobe Newtona koeficient úmernosti G nevedeli určiť, lebo medzi telesami veľkosti realizovateľnými v laboratóriu je príťažlivá sila veľmi malá. O storočie neskôr Henry Cavendish použil zvláštne váhy, pomocou ktorých dokázal zmerať gravitačnú silu medzi dvomi telesami. Z neskorších a ešte presnejších meraní je hodnota koeficientu G v sústave SI rovná

G = 6,67 × 10−11 m3/(kg⋅s2).

To znamená, že teleso hmotnosti 1 kg vo vzdialenosti 1 m od telesa hmotnosti 1 kg pôsobí na neho silou 6,67 × 10−11 N. Ak poznáme hodnotu G, hmotnosť Zeme už ľahko vypočítame. Príťažlivá sila medzi Zemou a telesom hmotnosti 1 kg je 9,80 N a teleso s hmotnosťou 1 kg je od stredu Zeme vo vzdialenosti 6,37 × 106 m (to je polomer Zeme). Dosaďme tieto hodnoty do našej rovnice

9,8 m/s2 = (6,67 × 10−11 m3/(kg⋅s2))(1 kg) (6,37 × 106 m)2 mZ, mZ = 5,97 × 1024 kg.