9-4 Dopplerov jav

9-1 Šírenie sa zvuku; 9-2 Ultrazvuk; 9-3 Supersonický pohyb a nárazové vlny; 9-4 Dopplerov jav;

9-4 Dopplerov jav

Ktokoľvek môže pozorovať (aj keď mnohí ešte nepozorovali) Dopplerov jav.

Ak trúbiace auto sa k nám blíži veľkou rýchlosťou, pokračujúc vo svojej ceste sa preženie okolo nás, a v tom okamihu pozorujeme náhly pokles vo výške tónu (tj. vo frekvencii zvuku). Zmenu výšky tónu spôsobuje pohyb zdroja zvuku, alebo pohyb pozorovateľa. Tento jav nazývame nazývame Dopplerov jav (Christian Doppler bol rakúsky fyzik, žil v 19-om storočí).

Skúmajme najprv pohybujúci sa zdroj zvuku. Na obrázku 9.1a v čase $t = 0$ zdroj zvuku (auto) vypustí 1. vlnu. Nech rýchlosť zdroja, ktorý sa blíži k pozorovateľovi, je $v_{z} .$ O periódu neskôr, teda o ${T}$ sekúnd neskôr vypustí 2., potom 3., 4. atď. vlnu. Za čas $T$ preletí každá vlna vzdialenosť $vT$ (kde $v$ je rýchlosť zvuku). Zdroj zvuku však za čas $T$ sa priblíži k pozorovateľovi o $v_{z} T,$ preto vzdialenosť medzi dvomi po sebe idúcimi vlnami bude vždy $vT - v_{z} T,$ teda $λ^{'} = T (v - v_{z}) .$ K pozorovateľovi doráža zvuk s frekvenciou

f^{'} = \frac{1}{T^{'}} = \frac{v}{λ^{'}} = \frac{v}{T (v - v_{z})} .

Frekvencia zvuku, ktorý zdroj vydáva je v skutočnosti

f = \frac{1}{T},

ale pozorovateľ počuje vyšší tón, ktorého frekvencia je

f^{'} = f \frac{v}{v - v_{z}} .

Ak sa zdroj vzďaľuje, rovnakými úvahami dospejeme k tomu, že tón, ktorý počuje pozorovateľ, bude nižší, jeho frekvencia bude

f^{'} = \frac{v}{v + v_{z}} .

Na obrázku 9.4b sa pohybuje pozorovateľ, pohybuje sa rýchlosťou $v_{p}$ voči zdroju zvuku, ktorý stojí a vydáva zvuk s vlnovou dĺžkou $λ .$ Relatívna rýchlosť vĺn a pozorovateľa je $v + v_{p},$ preto frekvencia zvuku dorážajúca k sluchu pozorovateľa je

f^{'} = \frac{v + v_{p}}{λ};

skutočná frekvencia zvuku je totiž $f = v ∕ λ$ a tak $λ = v ∕ f .$ Zmenenú frekvenciu môžeme znova vyjadriť pomocou $f$

f^{'} = \frac{v \pm v_{p}}{v ∕ f} = f \frac{v \pm v_{p}}{v}

(horné znamienko $+$ platí pre pozorovateľa blížiaceho sa k zdroju, dolné znamienko $-$ pre pozorovateľa vzďaľujúceho sa od neho). Rovnice, ktoré sme uviedli vyššie, obsahuje nasledujúca rovnica v sústredenej podobe

f^{'} = f \frac{v \pm v_{p}}{v \pm v_{z}} .

K používaniu znamienok $+$ a $-$ v uvedenom vzťahu sú určité pravidlá, ale úplne jednoduchá fyzikálna úvaha urobí tieto pravidlá zbytočnými. Pri približovaní sa (či sa pohybuje zdroj alebo pozorovateľ) zvuk bude vyšší, frekvencia rastie a zo znamienok pred $v_{p}$ a $v_{z}$ treba vybrať to znamienko, ktoré zvyšuje hodnotu udávanú vzorcom (zmenenú frekvenciu). Predpokladajme napríklad, že auto $A$ sa pohybuje veľkou rýchlosťou: $30 m/s$ po diaľnici. Pred ním, v tom istom smere sa pohybuje $B$ ale podstatne pomalšie: rýchlosťou $10 m/s .$ Ešte než ho dobehne, $A$ zatrúbi. Ak frekvencia zvuku je $1000 Hz,$ akú frekvenciu má zvuk, ktorý počuje $B ?$ Napíšme našu rovnicu bez ohľadu na znamienka

f^{'} = 1000 Hz \frac{330 \pm 10}{330 \pm 30} .

Znamienko pred $v_{z} :$ zdroj zvuku (auto $A$ ) sa pohybuje smerom k pozorovateľovi (auto $B$ ); tento pohyb sám o sebe spôsobuje, že frekvencia rastie. Menovateľ zlomku (ktorý obsahuje $v_{z}$ ) musíme preto zmenšiť, tj. číslo 30 musíme odčítať.
Znamienko pred $v_{p} :$ pozorovateľ sa pohybuje dopredu, smerom od zdroja; tento pohyb sám o sebe znižuje frekvenciu vnímaného zvuku. Čitateľ (ktorý obsahuje $v_{p}$ ) sa preto musí zmenšiť, 10 odčítame. Tým dostávame

f^{'} = 1000 Hz \cdot \frac{330 - 10}{330 - 30} = 1067 Hz.

Úlohy 09