8-5 Stojaté vlny

8-5 Stojaté vlny

Predpokladajme, že koniec lana na obrázku 8.4 je upevnený k stene, preto séria vĺn sa od tohto konca odráža späť. Lano teraz prenáša súčasne dve série vĺn: rukou vyvolané vlny zľava doprava, a vlny odrazené od steny, zprava doľava. Aby sme mohli určiť čo sa vlastne udeje, vyšetrime prípad, keď v nejakom bode lana sa čelne stretnú dva jednoduché impulzy postupujúce proti sebe.

Ak lano udrieme zdola nahor, úder sa objaví hore, ako deformácia a prebehne po lane až po stenu, kde sa odrazí a objaví sa dole. V okamihu, keď vlna sa odrazí, udrieme na lano znova tým istým spôsobom, ako predtým. Na obrázku 8.5 vidíme, že odrazená vlna B a novo vytvorená vlna A bežia proti sebe.

Je prekvapujúcou vlastnosťou, že rôzne vlny v tom istom prostredí dokážu cez seba preniknúť bez zmeny tvaru, bez deformácie vlny. Toto môžeme vidieť na obrázku 8.5 od b až po f, ktoré zachytávajú rýchly časový sled stretnutia dvoch vĺn.

Na obrázku 8.5a sa dvojica vĺn blíži k sebe, na 8.5b sa už dotýkajú, ale ešte vzájomne neinterferujú, neskladajú. Na obrázku 8.1c do seba vlny už nabehli: prerušovaná čiara ukazuje, že kde by vlny boli, keby boli postupovali nerušene ďalej; plnými čiarami je znázornený skutočný tvar lana, tj. vektorový súčet dvoch interferujúcich vĺn. Obrázok 8.5d ukazuje stav, keď vlny sú si vzájomne svojím opakom, a keďže vďaka ich symetrickému tvaru je jedna druhej presným opakom, lano je dokonalo vystreté. Nezabudnime, že na tomto obrázku je síce lano priame, je však v pohybu: časť nachádzajúca sa naľavo od stredu sa pohybuje smerom dole, kým časť nachádzajúca sa od stredu napravo sa pohybuje smerom hore. Kinetická energia čiastočiek lana už o okamih neskôr vytvára situáciu znázornenú na obrázku 8.5e, a tu zrovna tak ako predtým, plnými čiarami nakreslené lano je vektorovým súčtom prerušovanými čiarami nakreslených jednotlivých vĺn: ukazuje sa, že vlny prešli

nerušene jedna cez druhú. Na obrázku 8.5f sú vlny už zase oddelené od seba a postupujú tak, akoby k zrážke ani nedošlo.

Pozrime si znova sériu obrázkov a všimnime si, že stred lana (v polovici medzi koncami lana), napriek tomu, že cez neho sa prehnali obidve vlny sa vôbec nepohol zo svojho miesta. Ako je možné, že cez lano prešla vlna, keď jedna jeho časť sa pohybu vôbec nezúčastnila? Na túto opodstatnenú a dosť nepríjemnú otázku môžeme odpovedať len to, že vlny cez stred lana vôbec neprešli! Vlna D obrázku 8.5f nie je pokračovaním vlny A obrázku 8.5a, ale je to vlna B, ktorá sa odrazila od stredu lana tak, akoby ten bol pevným múrom. Podobne C nie je vlna B prešlá stredom lana, ale je odrazom vlny A. Toto sa zdá byť prijateľnou odpoveďou, lebo A ťahá čiastočky stredu lana rovnakou silou smerom hore, ako B smerom dole, dôsledkom toho, tento bod sa zdá byť z pohľadu vĺn pevný, nepreniknuteľný, ako mohutný múr.

Dokonalý odraz na obrázku 8.5a je možný len vtedy, pokiaľ dvojica vĺn má presne rovnaký tvar a veľkosť. Pokiaľ A a B nie sú dokonale rovnaké, potom sa stred predsa len máličko pohne, a potom C je čiastočne odrazom A, čiastočne tá časť B, ktorej sa podarilo „prekĺznuť“ cez stred. Komplikovanou matematickou analýzou sa dá ukázať, že C nikdy nemôže byť presne taký, ako B. Napriek tomu, že vznik C je podstatne zložitejší proces, než postup nejakej vlny, zdá sa, že je nerušeným pokračovaním B.

Podobným rozborom môžeme vyšetriť pohyb lana aj v tom prípade, keď, keď po ňom bežia v opačnom smere dve série vĺn, dve vlnenia. Na obrázku 8.6a vidíme dve sínusové vlnenia: tenká plná čiara znázorňuje vlnenie bežiace zľava doprava, prerušovaná čiara vlnenie odrazené od steny, vlnenie postupujúce zprava doľava. Všimnime si, že ani jedna čiara nie je totožná s hrubou plnou čiarou, ktorá znázorňuje lano: odchýlka každého bodu lana je súčtom výchylok oboch vlnení. Na obrázku 8.6a je tento súčet všade nulový, takže hrubá čiara, ktorá znázorňuje samotné lano, je dokonalá priamka. (Niektoré body však majú rýchlosť, ktorá smeruje hore, iné zase rýchlosť ktorá smeruje dole.) Obrázok 8.6b ukazuje situáciu, keď prvá vlna sa už pohla trošku doprava , kým odrazená vlna trošku doľava. Ak postupujeme od bodu k bodu a v každom bode sčítame obidve výchylky, tj. zostrojíme výslednicu oboch vlnení, obdržíme hrubú čiaru, ktorá je pozíciou lana, o niečo neskôr, než v začiatočnom okamihu. Ďalšie obrázky znázorňujú situáciu vždy nasledujúcu o zlomok sekundy neskôr, s pôvodnou a odrazenou vlnou postúpenými vždy o trošku ďalej, kým hrubá čiara je vždy ich výslednicou, okamžitý skutočný tvar lana v každom okamihu.

Pozdĺž lana sú však body, ktoré sa pohybu vôbec nezúčastnia. Tieto body nazývame uzlové body (cudzím slovom: nodus, mn.č. nody, značené na obrázku ako N). Z obrázku sa dá vyčítať, že susedné uzlové body sú od seba na vzdialenosť polovičky vlnovej dĺžky. Medzi uzlovými bodmi sú body, ktorých amplitúda je dvakrát taká veľká, ako amplitúda pôvodnej vlny: tieto body sú kmitne (cudzím slovom antinodus, mn.č. antinody, ich značenie na obrázku je A). Vzdialenosť medzi dvomi susednými kmitňami je tiež λ∕2. Ak sa pozeráme na vibrujúce lano obrázku 8.6, pohyb pozdĺž lana, pohyb vlnenia v nijakom smere nebadáme, ako v prípade jednoduchej vlny, ktorá prebehne lanom: vidíme medzi uzlovými len oscilačný pohyb smerom hore a dole okolo rovnovážnej polohy (rovného lana). To opodstatňuje pomenovanie týchto vĺn: stojaté vlny.

Nakoľko lano alebo drôt pripevnený k stene sa nemôže pohybovať v tomto bode, je tento bod zákonite uzlový bod. Pokiaľ lano na obrázku 8.6 pevne uchytíme v ľubovolnom uzle, stojatá vlna bude kmitať ďalej medzi miestom upevnenia a stenou. Každý strunový hudobný nástroj pracuje na tomto princípe.

Na obrázku 8.7 kmitá struna napnutá medzi dvomi pevnými bodmi. Ak brnkneme do struny, pozdĺž struny sa začnú šíriť vlnenia všetkých možných vlnových dĺžok. Väčšina týchto vlnení nie je vo fáze s ostatnými, interferujúc so svojou vlastnou odrazenou vlnou vyhasnú. Ich energia sa však nestratí, ale prenesie na tie vlnenia, ktorých vlnovú dĺžku určujú body upevnenia. Najväčšia možná vlnová dĺžka (alebo najmenšia frekvencia, nakoľko f = v∕λ, a rýchlosť šírenia vĺn je rovnaká pre každú vlnu) zodpovedá takzvaným základným kmitom (alebo základnému tónu - pozri obrázok 8.7a). Ostatné možné kmity sú takzvané vyššie harmonické (alebo vyššie harmonické tóny). Na strunových nástrojoch struna kmitá súčasne nie len na základnom tóne, ale aj na viacerých vyšších harmonických.