7-4 Jednoduchý otočný kmitavý pohyb

7-4 Jednoduchý otočný kmitavý pohyb

Pojem kmitavého pohybu sa dá rozšíriť jednoduchým spôsobom, aby zahŕňal aj otáčavý pohyb. Rovnicu,

F x = 4π2f2m,

ktorú sme spoznali pri priamočiarom kmitavom pohybe, môžeme zapísať analogickým spôsobom pre otáčavý pohyb ako

M φ = 4π2f2IaleboM φ = 4π2I T2 ,

kde M je moment otáčania, φ merané v radiánoch je otočenie vzniklé pod vplyvom momentu otáčania M, kým I je moment zotrvačnosti vzhľadom na os otáčania. Z toho dostávame

T = 2πIφ M aleboT = 2π I M∕φ .

Na obrázku 7.4 je torzné kyvadlo, ktoré je tvorené veľmi tenkou, ľahkou tyčou, cez stred ktorého je prevlečený tenký drôt, alebo kremíkové vlákno, na ktorom je zavesená. Na oboch koncoch tyče sú guličky s hmotnosťou m. Ak tyč pootočíme a tým vychýlime z rovnovážnej polohy, skrútenie kremíkového vlákna vyvolá vo vlákne moment otáčania úmerný uhlu vychýlenia, preto guličky na konci tyče budú vykonávať, pozdĺž obvodu kružnice s polomerom l, harmonický kmitavý pohyb medzi dvomi krajnými polohami. Skoro všetky mechanické náramkové hodinky, a tiež niektoré hodiny, pracujú s takýmito kyvadlami.

Torzné kyvadlo používame tiež k určeniu gravitačnej konštanty G. Na obrázku 7.4 je vidieť, že v blízkosti guličiek s hmotnosťou m, v tej istej vodorovnej rovine, sú umiestnené hmotnosti M tak, že gravitačná príťažlivosť medzi hmotnosťami M a m kyvadlo trošku skrúti, vychýli z rovnovážnej polohy. Toto stočenie meriame s veľkou presnosťou a pokiaľ poznáme „tuhosť“ nosného vlákna (hodnotu M∕φ, torznú konštantu), potom je možné vypočítať moment otáčania a tak aj gravitačnú príťažlivosť medzi hmotnosťami M a m. „Tuhosť“ vlákna zmeriame tak, že odstránime hmotnosti M a meriame dobu kmitu torzného kyvadla pri malých vychýleniach.

Ak napríklad na 20 cm dlhej tyči sú dve 10 gramové guličky a doba kmitu je 20 minút, potom „tuhosť“ vlákna spočítame nasledovne: moment zotrvačnosti kyvadla (ľahkú tyč neberieme do úvahy) je I = 2ml2, tj. I = 2(10 g)(10 cm)2 = 2000 g⋅cm2 = 2 × 10−4 kg⋅m2. Doba jedného kmitu je T = 20 × 60 s = 1200 s. Jednoduchým dosadením

M φ = 4π2 × 2 × 10−4 12002 = 5,48 × 10−9 N⋅m/rad

Inými slovami, ku skrúteniu vlákna o 1 radián (približne 57°) treba moment otáčania 5,48 × 10−9 N⋅m.