7-3 Jednoduché kyvadlo

7-1 Youngov modul pružnosti; 7-2 Jednoduchý kmitavý pohyb; 7-3 Jednoduché kyvadlo; 7-4 Jednoduchý otočný kmitavý pohyb; 7-5 Rezonancia;
Úlohy

7-2 Jednoduchý kmitavý pohyb

7-3 Jednoduché kyvadlo

Jednoduché kyvadlo (inými slovami matematické kyvadlo ) je bezrozmerné teleso s hmotnosťou $m$ zavesené na nehmotnú tyč, alebo vlákno. V praxi sa dá k tomu dosť dobre priblížiť použitím malej hmotnej kovovej guličky zavesenej na tenkej pevnej niti. Na obrázku 7.3 môžeme vidieť takéto kyvadlo: hmotnosť gule je $m$ a dĺžka nite je $l .$ Na obrázku vidíme situáciu, keď sme guličku vychýlili z rovnovážnej polohy, niť uzatvára so zvislým smerom uhol $φ .$ Tiaž $m g$ guličky môžeme rozdeliť na dve zložky: $m g \cos φ$ napína priamo niť a nemá vplyv na pohyb guličky; zložka $m g \sin φ$ je kolmá na niť a guličku urýchľuje smerom k rovnovážnej polohe. Vodorovné vychýlenie guličky od rovnovážnej polohy je $l \sin φ .$ Vidíme, že tu čo je konštanta, nakoľko hodnoty $m,$ $g$ a $l$ sú nemenné. Z toho plynie, že účinkujúca sila je úmerná veľkosti výchylky a pohyb je jednoduchý kmitavý pohyb. (Výchylku sme brali ako $l \sin φ,$ teda merali sme ako vodorovnú odchýlku; účinkujúca sila $F$ je ale v skutočnosti kolmá na vlákno a nie je vodorovná ani s $x .$ Práve z toho dôvodu pohyb kyvadla nie je jednoduchý kmitavý pohyb úplne presne, ale pokiaľ $φ$ je malý⁴, rozdiel je zanedbateľný.)

$F ∕ x = m g \sin φ ∕ (l \sin φ) = m g ∕ l,$

Odvoďme rovnicu pre dobu kmitu $T$ kyvadla. Nakoľko

$\begin{array}{rcl} f & = & \frac{1}{T}, \\ \frac{F}{x} & = & \frac{4 π^{2} m}{T^{2}}, \end{array}$

tj.

$\frac{m g}{l} = \frac{4 π^{2} m}{T^{2}}$

a takto

$T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}} .$

V tomto vzťahu je skrytých veľa zaujímavostí, ktoré sa oplatí si všimnúť, a je poučné porovnať so vzťahom popisujúcim dobu kmitu telesa kmitajúceho na pružine. V rovnici pre kyvadlo nevystupuje dokonca ani hmotnosť kyvadla; keby jeho hmotnosť bola väčšia, jeho tiaž (gravitačná príťažlivosť) by bola väčšia v rovnakej miere, a pohyb by sa vôbec nezmenil. Ako vidíme, pri kmitavom pohybe na pružine nevystupuje gravitačné zrýchlenie, vystupuje však v rovnici pre kyvadlo. Kývavý pohyb kyvadla zabezpečuje gravitačná príťažlivosť; na zmenu $g$ sa môže nazerať, ako by sme závažie rozkmitali na pružine s inou tuhosťou. Doba kyvu kyvadla je dlhšia na Mesiaci, frekvencia je menšia, lebo $g$ je na Mesiaci menšie. Na meranie napríklad malých odchýlok hodnôt $g$ v rôznych miestach Zeme sa používajú zvláštne kyvadlá.

⁴Uhol $φ$ meriame v radiánoch a „jeho malosť“ znamená, že jeho veľkosť je výrazne menší ako jeden radián, matematicky zapísané $| φ | ≪ 1 rad .$

7-4 Jednoduchý otočný kmitavý pohyb