7-2 Jednoduchý kmitavý pohyb

7-1 Youngov modul pružnosti; 7-2 Jednoduchý kmitavý pohyb; 7-3 Jednoduché kyvadlo; 7-4 Jednoduchý otočný kmitavý pohyb; 7-5 Rezonancia;
Úlohy

7-1 Youngov modul pružnosti

7-2 Jednoduchý kmitavý pohyb

Ak nejaký ťažší predmet necháme visieť zo stropu na gumenej šnúre, alebo oceľovej pružine a miernym ťahom dostaneme teleso do pohybu, pri ktorom sa bude pohybovať kmitavo hore-dole, zistíme, že tento pohyb má veľmi presnú periódu (dobu kmitu). Dobou kmitu ( $T$ ) takýchto pravidelných opakujúcich sa kmitavých pohybov smerom hore-dole nazývame dobu potrebnú na úplné prejdenie jedného úseku hore-dole; obrátenou hodnotou doby kmitu je frekvencia ( $f$ ), ktorá vyjadruje počet celkových kmitov pripadajúcich na jednotku času²:

T = \frac{1}{f} {T} sekúnd = \frac{1}{{f} hertz} .

Ak pružina, alebo gumená šnúra vyhovuje Hookovmu zákonu, potom závažie vykonáva takzvaný jednoduchý kmitavý pohyb. Taký pohyb vykonáva odrazová doska plaveckej skokanskej veže, rozoznelá struna huslí, alebo závažie kyvadla. Ale takýto jednoduchý harmonický pohyb dopredu-dozadu je aj v pozadí každého vlnenia a to je dôvodom, že s týmto druhom pohybu sa budeme zaoberať trošku viac do hĺbky.

Na obrázku 7.2a vidíme závažie zavesené na pružine; strednú polohu, v ktorej závažie je v pokoji, sme opatrili nápisom „rovnováha“. Stiahnime závažie k „dolnému krajnému bodu“ a uvoľnime: závažie bude vykonávať jednoduchý kmitavý (harmonický) pohyb medzi dolným a „horným krajným bodom“. Dĺžka cesty, po ktorej sa závažie pohybuje je $2 A .$ ( $A$ sa nazýva amplitúda: je to vzdialenosť medzi bodom rovnováhy a ktorýmkoľvek najvzdialenejším bodom pohybu.)

harmonický pohyb — Obr. 7.2:Súvis medzi jednoduchým harmonickým pohybom a rovnomerným pohybom po kružnici. Šípky ukazujú smer príslušných vektorových veličín ( $\vec{v}, {\vec{v}}_{k}, \vec{a}, {\vec{a}}_{k}$ ), do obrázkov sme zapísali len značku ich veľkosti ( $v, v_{k}, a, a_{k}$ ), ktoré sú podstatné pre hľadaný súvis.

Na chvíľu zabudnime na kmitajúce závažie a pozrime sa na geometrický nákres obrázku 7.2b. Priamka $M M^{'}$ je rovnobežná s priamkou pohybu hore-dole, bod $O$ označuje úroveň polohy rovnováhy. Okolo bodu $O$ narysujeme kružnicu s polomerom $A$ (Amplitúda). Predstavme si, že po tejto kružnici sa pohybuje stálou uhlovou rýchlosťou ( $ω$ ) bod (alebo malá častica). Označme tento bod ako $P_{k}$ (index $k$ označuje to, že sa jedná o bod pohybujúci sa po kružnici). Ak meranie času začneme v okamihu, keď bod $P_{k}$ prechádza bodom $E,$ potom uhol $φ$ sa bude rovnať presne $ω t .$ Rýchlosť bodu $P_{k}$ je znázornená vektorom ${\vec{v}}_{k},$ ktorého veľkosť je $v_{k} = A ω .$ Vieme, že bod $P_{k}$ má aj centripetálne zrýchlenie, a to sme znázornili vektorom ${\vec{a}}_{k};$ zrýchlenie ukazuje do stredu kružnice a jeho veľkosť je $a_{k} = A ω^{2} .$

Predstavme si iný bod, bod $P,$ ktorý sa pohybuje pozdĺž priamky $M M^{'}$ presne tak, ako závažie zavesené na pružine. Jeho vzdialenosť od stredu nech je $x$ . Jeho rýchlosť $\vec{v}$ a zrýchlenie $\vec{a}$ nie je nič iné, ako priemet vektorov ${\vec{v}}_{k}$ a ${\vec{a}}_{k}$ na priamku $M M^{'}$ (inými slovami, ich zložky rovnobežné s priamkou $M M^{'}$ ), kým priemet $P_{k}$ sa v každom okamihu zhoduje s polohou $P,$ takže určuje $x .$ (Premietnutie na priamku $M M^{'}$ sa deje pomocou kolmíc: napríklad vychádzajúc z bodu $P_{k}$ narysujeme kolmicu k $M M^{'},$ a kde táto kolmica pretne priamku $M M^{'},$ tam je priemet bodu $P_{k},$ bod $P .$ Vektory premietame aj so „šípkami“, ako to ukazuje aj obrázok.) Inými slovami $\vec{x},$ $\vec{v}$ a $\vec{a}$ sú tie komponenty ${\vec{O P}}_{k},$ ${\vec{v}}_{k}$ a ${\vec{a}}_{k},$ ktoré sú rovnobežné s $M M^{'} .$

Zjednodušme si prácu s vektormi, ako v predchádzajúcich kapitolách. Vektory v jednom smere (rovnobežné s jedinou priamkou, s priamkou $M M^{'}$ ) vieme jednoduchšie zapisovať ako čísla (vynechaním šípky nad značkou veličiny), používaním dohody, že kladná hodnota ( $+$ ) predstavuje vektor ukazujúci „hore“ a záporná hodnota ( $-$ ) predstavuje vektor ukazujúci „dole“.³ Je teda vidieť, že z porovnania obrázkov dostaneme

\begin{array}{rcl} x & = & O P_{k} \sin φ = A \sin ω t, \\ v & = & v_{k} \cos φ = ω A \cos ω t, \\ a & = & a_{k} \sin φ = - ω^{2} A \sin ω t = - ω^{2} x . \end{array}

V poslednom vzťahu je znamienko mínus dôležité, nakoľko zrýchlenie je vždy opačne orientované, ako výchylka z rovnovážnej polohy ( $x$ ).

Po krátkej úvahe (a opakovanom prezretí obrázku 2.9

rozklad vektorov

vidíme, že sínus sa mení medzi 0 a 1 (pri 0° je 0 a pri 90° alebo $π ∕ 2$ radiánu je 1) a hodnota kosínu sa mení tiež medzi 0 a 1 (pri 90° alebo $π ∕ 2$ radiánu je 0 a pri 0° je 1). Z týchto vlastností a z rovníc vyššie vidíme, že maximálnou hodnotou $x$ je A, keď $ω t = φ = 90°,$ a $x = 0,$ ak $φ = 0 .$ Bod $P$ dosahuje maximálnu rýchlosť v bode rovnováhy, keď $φ = 0;$ vtedy $v = A ω$ . Pri maximálnej výchylke je rýchlosť nulová. Hodnota zrýchlenia $a$ sa mení medzi nulou a maximálnou hodnotou $A ω^{2},$ maximálnu hodnotu dosahuje pri maximálnej výchylke, v krajných bodoch.

$P$ kopíruje kmitavý pohyb závažia na pružine, preto po dobu jedného úplného kmitu sa $φ$ musí zmeniť celkom o $2 π$ radiánu; tj. $ω$ meraná v jednotkách radián/sekunda sa musí rovnať $2 π f$ meranej v jednotke hertz. Je účelné predchádzajúce rovnice prepísať náhradou $ω$ pomocou $f$

\begin{array}{rcl} x & = & A \sin (2 π f t), \\ v & = & 2 π f A \cos (2 π f t), \\ a & = & - 4 π^{2} f^{2} A \sin (2 π f t) = - 4 π^{2} f^{2} x . \end{array}

Posledná rovnica nám umožní, aby sme geometrické výsledky pohybu po kružnici prepojili s fyzikálnymi charakteristikami kmitavého pohybu závažia zaveseného na pružine. Nakoľko $F = m a,$ (a vynechaním znamienka mínus, tj. písaním čisto pre veľkosti)

F = 4 π^{2} f^{2} x m a l e b o \frac{F}{x} = 4 π^{2} f^{2} m .

Nakoľko doba kmitu $T = 1 ∕ f,$ naša rovnica sa dá písať aj nasledovne

\frac{F}{x} = \frac{4 π^{2} m}{T^{2}},

z čoho

T^{2} = \frac{4 π^{2} m}{F ∕ x}

T = 2 π \sqrt{\frac{m}{F ∕ x}} .

$F ∕ x$ je sila pripadajúca na jednotkovú výchylku pružiny, ktorá chce teleso s hmotnosťou $m$ vrátiť do polohy rovnováhy, nech sa teleso z tejto polohy vychýlilo ktorýmkoľvek smerom. Pokiaľ pružina vyhovuje Hookovmu zákonu (a väčšinou tomu tak aj je, len vtedy nie, keď jej predĺženie je až príliš veľké), potom pomer $F ∕ x$ je rovnaké pre akékoľvek predĺženie. Túto veličinu $F ∕ x$ nazývame tuhosť pružiny.

Je zaujímavé, že vo vyššie uvedenej poslednej rovnici nevystupuje ani amplitúda $A,$ ani gravitačné zrýchlenie $g .$ To znamená, že doba kmitu, resp. jeho frekvencia závisí iba od hmotnosti závažia a tuhosti pružiny. Je stále rovnaká, či je amplitúda kmitov malá, alebo veľká alebo kmitá teleso na Zemi alebo na Mesiaci.

Na jednoduchý kmitavý pohyb máme nasledujúci príklad: dozorca parku vidí veľkého vtáka, ako sa hojdá na konci štíhlej vetve stromu. Vták urobí za 4 sekundy 6 úplných kmitov dole-hore, potom odletí. Dozorca na konár zavesí na šnúre závažie s hmotnosťou 1 kilogram a zmeria, že konár sa ohol smerom dole o 12 centimetrov. Aká bola hmotnosť vtáka? – Nakoľko tiaž $1 kg$ spôsobilo ohnutie o $12 cm = 0, 12 m$ smerom dole, „tuhosť“ konára je $(1 kg) (9, 80 m/s^{2}) ∕ (0, 12 m) = 81, 7 N/m .$ Frekvencia kmitov bola $6 ∕ 4 = 1, 5 Hz .$ Vyberúc si svoj poznámkový blok, dozorca píše

81, 7 N/m = \frac{4 π^{2}}{{(1, 5 \times 1 /s)}^{2}} m

a odtiaľ

m = 0, 92 kilogramov .

Už sme hovorili, že jednotka radián je pomerom oblúku a polomeru, teda $m/m = 1 .$ Počet kmitov je počet, teda tiež nemá fyzikálny rozmer, jeho rozmer je tiež 1 a preto môžeme písať $(1, 5 Hz ($ namiesto $1, 5 (kmit/sekunda)$ .

²Tu ${T}$ a ${f}$ sme použili pre označenie číselnej hodnoty veličiny $T$ a $f .$ V sústave SI sa prestali používať staršie označenia ako kmit/sekunda, cyklus/sekunda, či otočiek/sekunda a pod. V sústave SI je jednotkou frekvencie hertz , a značkou jednotky je Hz. Vo vybraných prípadoch, keď je treba zdôrazniť, že sa jedná o kruhové deje, tj. napr. uhlovú rýchlosť, odporúča sa používať jednotka rad/s namiesto Hz, pre zdôraznenie charakteru veličiny (napr., že sa jedná o uhlovú rýchlosť).

³Nech nikoho nepomýli, že ak vynecháme „šípku“ nad vektorom $\vec{v}$ dostaneme značku $v,$ teda rovnakú značku, ako veľkosť $v$ vektoru $\vec{v} .$ Veľkosť $v$ vektoru $\vec{v}$ môže byť len kladná. Pokiaľ však pracujeme s veličinou $v$ ako vektorom, potom jej hodnota môže byť kladná aj záporná, vektor $(- v)$ ukazuje na opačnú stranu, ako vektor $v$ (pričom samotné $v$ môže byť kladné (ak ukazuje v kladnom smere „ $+$ “, alebo môže mať zápornú hodnotu, ak ukazuje v zápornom smere „ $-$ “)). Ak pracujeme s $v$ ako vektorom, jej veľkosť je jej absolútna hodnota $| v | .$ Tomu hovoríme, že význam značiek, a spôsob ich chápania vyplýva z kontextu – tj., zo súvislostí (tu z textového prostredia).

7-3 Jednoduché kyvadlo