7-1 Youngov modul pružnosti

7-1 Youngov modul pružnosti

Pevné telesá sa snažia vždy zachovať svoj tvar (po určitú medz), aj keď nejaká vonkajšia sila vyvolá zmenu ich tvaru. Keď vonkajšia sila prestane pôsobiť, teleso získa späť svoj pôvodný tvar. Túto vlastnosť pevných telies nazývame pružnosťou. V praxi má táto vlastnosť mimoriadny význam; zakladá sa na nej činnosť pružín a pružinových mechanizmov. Základný zákon pružnosti, na počesť jeho objaviteľa Roberta Hooka¹, nazývame Hookovým zákonom. Zákon hovorí, že zmena tvaru telesa (deformácia) je úmerná sile, ktorá na neho pôsobí, za predpokladu, že veľkosť sily neprekročí určitú hranicu.

Použitie Hookovho zákona v našich výpočtoch sa uľahčí, ak najprv zavedieme pár technických termínov; sú to napríklad „napätie“ a „deformácia“. Napätie predstavuje vnútorné sily vznikajúce v látke telesa, pod vplyvom vonkajších síl pôsobiacich na teleso. Jeho hodnota je F∕S, tj. pôsobiaca sila (F) delená plochou (S) prierezu látky odolávajúcej tejto sile.

Predpokladajme napríklad, že drôt dĺžky 1 m s prierezom 2 mm2 je zaťažené závažím, ktoré ho napína silou F = 10 N.

Nakoľko drôt, ktorý drží závažie s tiažou F = 10 N, má po celej jeho dĺžke prierez 2 mm2, napätie v tomto drôte je 10∕2 N/mm2 = 5 N/mm2. Keby bol drôt hrubší, mal by prierez dajme tomu 4 mm2, závažie s tiažou F = 10 N by bolo držané väčším množstvom látky a napätie v nej vyvolané by bolo len 10∕4 N/mm2 = 2,5 N/mm2.

Deformácia je mierou toho, ako moc zmení napätie teleso. Pod týmto všeobecným pojmom rozumieme rôzne zmeny tvaru, ako natiahnutie (alebo stlačenie), ohýbanie, skrútenie (torziu), tak ako to môžeme vidieť na obrázku 7.1. Zoberme z nich najjednoduchší: predĺženie naťahovaného drôtu. Deformácia (predĺženie) je tu pomer predĺženia (vzniklého v dôsledku ťahu, teda napätia) k pôvodnej dĺžke drôtu. Matematicky Δl∕l, teda dĺžka delená dĺžkou; je to tzv. relatívne predĺženie, číslo bez rozmeru.

Obr. 7.1: Tri druhy pružných zmien tvaru: natiahnutie, ohyb, skrútenie.

Ak záťaž zavesíme na drôt, dajme tomu dĺžky 1 meter, spôsobí určité predĺženie drôtu. Zavesme však túto záťaž na drôt s rovnakým prierezom, ale dĺžky 2 metre: jeho predĺženie bude dvakrát tak veľké, veď každý meter sa natiahne o rovnakú dĺžku, avšak deformácia, relatívne predĺženie sa nezmení, hodnota Δl∕l je tá istá: relatívne predĺženie je teda veličina nezávislá od dĺžky drôtu.

Hookov zákon sa dá sformulovať praktickejšie, ak povieme, že „deformácia je úmerná napätiu“, teda

napätie deformácia = konštanta.

Toto tvrdenie je v rámci určitých hraníc pravdivé. Ak drôt zaťažíme do takej miery, že po odstránení záťaže nie je schopný nadobudnúť svoj pôvodný tvar, povieme, že sme prekročili medz pružnosti. Pokiaľ však medz pružnosti neprekročíme, vyššie uvedený vzťah môžeme napísať nasledovne

F∕S Δl∕l = Y.

Tento koeficient úmernosti, na počesť vynikajúceho anglického inžiniera, prírodovedca a filozofa, Thomasa Younga, žijúceho na začiatku 19-ho storočia, nazývame Youngovým modulom pružnosti. S Youngovim menom sa stretneme neskôr aj v optike. Hodnoty Youngovho modulu niektorých každodenných látok

Nakoľko deformácia (relatívne predĺženie) je bezrozmerné číslo, rozmer Youngovho modulu pružnosti je taký istý, ako napätia, teda sila lomeno plocha. Pozrime sa na to, že čo sa stane s medeným drôtom, ktorého dĺžka sú 3,0 metre a priemer 0,4 mm, ak na neho zavesíme závažie s hmotnosťou 5 kg-ov. Vypočítajme predĺženie drôtu. Nakoľko Youngov modul pružnosti pre meď sme udali v jednotkách N/m2, aj napätie musíme zadať v týchto jednotkách (tj. v  sústave SI). Tiaž 5 kg-ového závažia je (5 kg) × 9,81 m/s2 = 49,0 N. Plocha kruhového prierezu drôtu je πr2 = 3,14 × (2,0 × 10−4 m)2 = 1,26 × 10−7 m2. Poznajúc veľkosť sily a plochy, môžeme vypočítať napätie:

49,0 N∕1,26 × 10−7 m2 = 3,90 × 108 N/m2.

Nakoľko podľa definície Youngov modul pružnosti je Y = napätie lomeno deformácia, zrejme deformácia = napätie lomeno Youngov modul pružnosti a takto deformácia = (3,90 × 108 N/m2)∕(1 × 1011 N/m2) = 3,90 × 10−3.

Toto číslo hovorí, že ľubovoľný kus medi, pri napätí 3,90 × 108 N/m2 sa natiahne o 3,90 × 10−3 násobok svojej dĺžky (alebo sa skráti, ak namiesto naťahovania sa snažíme predmet stlačiť). V našom príklade je skutočné predĺženie drôtu

Δl = deformácia⋅l, = 3,90 × 10−3 × 3,0 m, = 1,17 × 10−2 m, tj. = 1,17 cm,alebo11,7 mm.

Vypočítať predĺženie, alebo skrátenie pružiny len na základe znalosti jej materiálu a rozmerov sa takto jednoducho nedá. Ak natiahneme špirálovú, alebo šrobovicovú pružinu, rozhodujúce napätia súvisia so závitmi pružiny (ohýbaním materiálu), ale k tomu prispieva aj pružnosť materiálu pri naťahovaní (naťahovaním materiálu). Problém je podstatne zložitejší, než by sme si mohli dovoliť jeho prejednávanie na tomto mieste. Poznamenajme však, že napriek zložitosti – v medziach pružnosti – aj pružina vyhovuje Hookovmu zákonu.