6-4 Dráhy planét

6-1 Newtonov gravitačný zákon; 6-2 Gravitačný potenciál; 6-3 Úniková rýchlosť; 6-4 Dráhy planét;
Úlohy

6-4 Dráhy planét

Doterajšie výpočty sme robili tak, že dráhy boli dokonale kružnicové. Toto priblíženie je často postačujúce, odborníci však už viac ako 300 rokov vedia, že dráhy planét a ich mesiacov sú elipsy. K tomuto objavu dospel nemecký matematik a hvezdár Johannes Kepler. Svoje zistenia sformuloval v nasledujúcich troch zákonoch:

Planéty okolo Slnka obiehajú na dráhach v tvare elipsy, a Slnko sa nachádza v jednej z dvojice ohnisiek tejto elipsy.
Rýchlosť planét pozdĺž dráhy sa mení, a to tak, že sprievodič spájajúci Slnko a planétu vyznačí na dráhe planéty za rovnaký čas rovnakú plochu.
Druhé mocniny obežných dôb planét sú v pomere, ako tretie mocniny ich strednej vzdialenosti od Slnka.

Matematické vyjadrenie tretieho zákona je

\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}} .

Obežná doba $T$ planéty okolo Slnka je doba potrebná k tomu, aby planéta prešla raz svoju dráhu okolo Slnka úplne. Priemernou vzdialenosťou rozumieme aritmetický priemer z najmenšej a najväčšej vzdialenosti, ktorú nazývame veľkou poloosou elipsy a označujeme $a$

Tretí Keplerov zákon je potom možné uviesť aj v tvare

\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}},

kde $a_{1}$ a $a_{2}$ sú veľké poloosy eliptických dráh príslušnej dvojice porovnávaných planét.

Dá sa ukázať (ale zase len pomocou vyššej matematiky), že pokiaľ Slnko priťahuje planétu podľa Newtonovho gravitačného zákona silou, ktorá je nepriamo úmerná druhej mocnine vzdialenosti, potom dráha musí byť elipsa so Slnkom v jednom z ohnisiek. Dráha môže byť prakticky kružnica, ako v prípade Venuše, alebo pretiahnutá, ako v prípade komét, ale v každom prípade musí byť elipsa.

Keplerov druhý zákon je nutne dôsledkom zákona zachovania momentu hybnosti. Na obrázku 6.2 je znázornená jedna planéta, ktorá sa za určitú krátku dobu posunie na svojej dráhe z bodu $P$ do $R .$ Sprievodič spájajúci planétu so Slnkom vyznačí za tento krátky čas plochu $PSR .$ Túto plochu vieme vypočítať, ak narysujeme k strede $Q$ oblúka $PR$ úsečku $SQ$ vedenú od Slnka, a potom kolmicu $AB$ na ňu. Čo sa tvaru týka sú trojuholníky odlišné, ale plocha trojuholníka $ASB$ je rovná ploche trojuholníka $PSR$ a jej hodnota je $r \cdot \bar{AB} .$ Platí však, že $\bar{AB} = rφ,$ kde $φ$ je uhol, o ktorý sa planéta posunula po svojej dráhe z pohľadu Slnka (pootočila sa okolo Slnka); na druhú stranu $φ = ωt .$ Všetko dosadiac je veľkosť planétou vyznačenej plochy

PSR = ASB = \frac{1}{2} r \cdot \bar{AB} = \frac{1}{2} r \cdot rφ = \frac{1}{2} r^{2} ωt,

alebo po jednoduchej úprave

plocha = \frac{r^{2} ω}{2} t .

Vynásobme čitateľ aj menovateľ zlomku hmotnosťou $m$ planéty

plocha = \frac{m r^{2} ω}{2 m} t = \frac{Iω}{2 m} t .

Súčin $Iω$ je moment hybnosti planéty; nezávisle od toho, že aká silná alebo slabá je príťažlivá sila medzi planétou a Slnkom, moment hybnosti počítaný vzhľadom na Slnko sa nemôže zmeniť. Zákon zachovania momentu hybnosti hovorí, že pokiaľ na systém nepôsobí vonkajšia sila, moment hybnosti zostane nepozmenený. Polomer $r$ sa zväčšuje, alebo sa zmenšuje podľa toho, že v ktorom úseku dráhy sa pohybuje, ale potom sa musí meniť uhlová rýchlosť $ω$ tak, aby hodnota $m r^{2} ω$ sa nezmenila.

Nakoľko $Iω$ je vždy rovnaká a nemení sa ani hmotnosť planéty, z našej rovnice vyplýva, že za rovnaký čas $t$ musí sprievodič vykresliť vždy rovnako veľkú plochu na ľubovoľnom úseku dráhy planéty.

Keplerov tretí zákon plynie zo zákonov mechaniky ešte bezprostrednejšie. Nech okolo centrálneho telesa s hmotnosťou $M$ obiehajú na rôznych kružnicových dráhach planéty označené s dolným indexom 1 a 2. Videli sme, že

v_{1}^{2} = G \frac{M}{r_{1}} .

Priemerná obežná rýchlosť planéty je podiel dĺžky dráhy a doby obehu

v_{1} = \frac{2 π r_{1}}{T_{1}}, v_{1}^{2} = \frac{4 π^{2} r_{1}^{2}}{T_{1}^{2}} .

Pre $v_{1}^{2}$ sme dostali dva výrazy, ktoré môžeme spojiť rovnosťou

G \frac{M}{r_{1}} = \frac{4 π^{2} r_{1}^{2}}{T_{1}^{2}},

teda

\frac{T_{1}^{2}}{r_{1}^{3}} = \frac{4 π^{2}}{GM} .

Pre druhú planétu obiehajúcu okolo centrálneho telesa s hmotnosťou $M$ tiež dostaneme

\frac{T_{1}^{2}}{r_{1}^{3}} = \frac{4 π^{2}}{GM}, \frac{T_{1}^{2}}{r_{1}^{3}} = \frac{T_{2}^{2}}{r_{2}^{3}},

alebo po menšom preusporiadaní

\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}} .

Poznajúc tretí Keplerov zákon a využijúc to, čo vieme o Mesiaci, dokážeme vypočítať obežnú dobu ľubovoľnej družice Zeme. Predpokladajme napríklad, že umelá družica Zeme má eliptickú dráhu, ktorého perigeum (bod dráhy najbližší k Zemi) je vo vzdialenosti 5000 kilometrov a jeho apogeum (najvzdialenejší bod dráhy od Zeme) vo vzdialenosti 6860 kilometrov od povrchu Zeme. Jeho priemerná vzdialenosť od stredu Zeme je teda $5930 + 6370 = 12 300 km .$ Vieme, že vzdialenosť Mesiaca od stredu Zeme je približne $384 000 km$ a jeho doba obehu je $27, 3 dní,$ môžeme napísať Keplerov tretí zákon

\frac{T^{2}}{{(27, 3 d)}^{2}} = \frac{12 30 0^{3}}{384 00 0^{3}} .

Tým

\begin{array}{rcl} T^{2} & = & \frac{{(27, 3 d)}^{2} \times 12 30 0^{3}}{384 00 0^{3}} = 3, 28 \times 1 0^{- 2} \\ T & = & 0, 18 dní = 4, 52 hodín. \end{array}

Úlohy 06