6-4 Dráhy planét
6-1 Newtonov gravitačný zákon; 6-2 Gravitačný potenciál; 6-3 Úniková rýchlosť; 6-4 Dráhy planét;
Úlohy
6-4 Dráhy planét
Doterajšie výpočty sme robili tak, že dráhy boli dokonale kružnicové. Toto priblíženie je často postačujúce, odborníci však už viac ako 300 rokov vedia, že dráhy planét a ich mesiacov sú elipsy. K tomuto objavu dospel nemecký matematik a hvezdár Johannes Kepler. Svoje zistenia sformuloval v nasledujúcich troch zákonoch:
Keplerov druhý zákon.
- Planéty okolo Slnka obiehajú na dráhach v tvare elipsy, a Slnko sa nachádza v jednej z dvojice ohnisiek tejto elipsy.
- Rýchlosť planét pozdĺž dráhy sa mení, a to tak, že sprievodič spájajúci Slnko a planétu vyznačí na dráhe planéty za rovnaký čas rovnakú plochu.
- Druhé mocniny obežných dôb planét sú v pomere, ako tretie mocniny ich strednej vzdialenosti od Slnka.
Matematické vyjadrenie tretieho zákona je
T21T22=r31r32. |
Obežná doba T planéty okolo Slnka je doba potrebná k tomu, aby planéta prešla raz svoju dráhu okolo Slnka úplne. Priemernou vzdialenosťou rozumieme aritmetický priemer z najmenšej a najväčšej vzdialenosti, ktorú nazývame veľkou poloosou elipsy a označujeme a
Tretí Keplerov zákon je potom možné uviesť aj v tvare
T21T22=a31a32, |
kde a1 a a2 sú veľké poloosy eliptických dráh príslušnej dvojice porovnávaných planét.
Dá sa ukázať (ale zase len pomocou vyššej matematiky), že pokiaľ Slnko priťahuje planétu podľa Newtonovho gravitačného zákona silou, ktorá je nepriamo úmerná druhej mocnine vzdialenosti, potom dráha musí byť elipsa so Slnkom v jednom z ohnisiek. Dráha môže byť prakticky kružnica, ako v prípade Venuše, alebo pretiahnutá, ako v prípade komét, ale v každom prípade musí byť elipsa.
Keplerov druhý zákon je nutne dôsledkom zákona zachovania momentu hybnosti. Na obrázku 6.2 je znázornená jedna planéta, ktorá sa za určitú krátku dobu posunie na svojej dráhe z bodu P do R. Sprievodič spájajúci planétu so Slnkom vyznačí za tento krátky čas plochu PSR. Túto plochu vieme vypočítať, ak narysujeme k strede Q oblúka PR úsečku SQ vedenú od Slnka, a potom kolmicu AB na ňu. Čo sa tvaru týka sú trojuholníky odlišné, ale plocha trojuholníka ASB je rovná ploche trojuholníka PSR a jej hodnota je r⋅¯AB. Platí však, že ¯AB=rφ, kde φ je uhol, o ktorý sa planéta posunula po svojej dráhe z pohľadu Slnka (pootočila sa okolo Slnka); na druhú stranu φ=ωt. Všetko dosadiac je veľkosť planétou vyznačenej plochy
PSR=ASB=12r⋅¯AB=12r⋅rφ=12r2ωt, |
alebo po jednoduchej úprave
plocha=r2ω2t. |
Vynásobme čitateľ aj menovateľ zlomku hmotnosťou m planéty
plocha=mr2ω2mt=Iω2mt. |
Súčin Iω je moment hybnosti planéty; nezávisle od toho, že aká silná alebo slabá je príťažlivá sila medzi planétou a Slnkom, moment hybnosti počítaný vzhľadom na Slnko sa nemôže zmeniť. Zákon zachovania momentu hybnosti hovorí, že pokiaľ na systém nepôsobí vonkajšia sila, moment hybnosti zostane nepozmenený. Polomer r sa zväčšuje, alebo sa zmenšuje podľa toho, že v ktorom úseku dráhy sa pohybuje, ale potom sa musí meniť uhlová rýchlosť ω tak, aby hodnota mr2ω sa nezmenila.
Nakoľko Iω je vždy rovnaká a nemení sa ani hmotnosť planéty, z našej rovnice vyplýva, že za rovnaký čas t musí sprievodič vykresliť vždy rovnako veľkú plochu na ľubovoľnom úseku dráhy planéty.
Keplerov tretí zákon plynie zo zákonov mechaniky ešte bezprostrednejšie. Nech okolo centrálneho telesa s hmotnosťou M obiehajú na rôznych kružnicových dráhach planéty označené s dolným indexom 1 a 2. Videli sme, že
v21=GMr1. |
Priemerná obežná rýchlosť planéty je podiel dĺžky dráhy a doby obehu
v1=2πr1T1,v21=4π2r21T21. |
Pre v21 sme dostali dva výrazy, ktoré môžeme spojiť rovnosťou
GMr1=4π2r21T21, |
teda
T21r31=4π2GM. |
Pre druhú planétu obiehajúcu okolo centrálneho telesa s hmotnosťou M tiež dostaneme
T21r31=4π2GM,T21r31=T22r32, |
alebo po menšom preusporiadaní
T21T22=r31r32. |
Poznajúc tretí Keplerov zákon a využijúc to, čo vieme o Mesiaci, dokážeme vypočítať obežnú dobu ľubovoľnej družice Zeme. Predpokladajme napríklad, že umelá družica Zeme má eliptickú dráhu, ktorého perigeum (bod dráhy najbližší k Zemi) je vo vzdialenosti 5000 kilometrov a jeho apogeum (najvzdialenejší bod dráhy od Zeme) vo vzdialenosti 6860 kilometrov od povrchu Zeme. Jeho priemerná vzdialenosť od stredu Zeme je teda 5930+6370=12300 km. Vieme, že vzdialenosť Mesiaca od stredu Zeme je približne 384000 km a jeho doba obehu je 27,3 dní, môžeme napísať Keplerov tretí zákon
T2(27,3 d)2=1230033840003. |
Tým
T2=(27,3 d)2×1230033840003=3,28×10−2T=0,18 dní=4,52 hodín.