6-3 Úniková rýchlosť

6-1 Newtonov gravitačný zákon; 6-2 Gravitačný potenciál; 6-3 Úniková rýchlosť; 6-4 Dráhy planét;
Úlohy

6-3 Úniková rýchlosť

Noviny a popularizačné články často spomínajú únikovú rýchlosť. Jedná sa o dôležitý pojem našich dní, keď celkom vážne môžeme myslieť na to, že nie v príliš ďalekej budúcnosti človek bude schopný dlhších ciest do vesmíru. Úniková rýchlosť zo Zeme je približne $11, 2 km/s;$ podľa definície je to rýchlosť, ktorú teleso potrebuje, aby sa dokázalo „vymaniť z pút gravitácie“, alebo aby sa dokázalo „vyslobodiť z gravitačnej príťažlivosti Zeme“ (alebo iného vesmírneho telesa). Nakoľko gravitačné pôsobenie Zeme siaha až do nekonečna (aj keď vo veľkých vzdialenostiach je už veľmi malé), úniková rýchlosť je zrejme rýchlosť, ktorú musí mať raketa v blízkosti Zeme, aby sa dokázalo dostať až do nekonečna.

V predchádzajúcom odseku sme videli, že teleso z povrchu Zeme (zo vzdialenosti $r_{Z}$ od stredu Zeme) dokážeme dopraviť do nekonečna vykonaním práce

W = G \frac{Mm}{r_{F}} .

Ak nejaké teleso má takúto kinetickú energiu, potom sa môže dostať až do nekonečna.; inými slovami: má únikovú rýchlosť. Pri menšej rýchlosti sa však zastaví a padne naspäť na Zem, alebo začne obiehať okolo Zeme.

Ako aj v predchádzajúcich úlohách, aj tu poslúži k určeniu únikovej rýchlosti rovnosť: potenciálna energia = kinetická energia

\begin{array}{rcl} G \frac{Mm}{r_{F}} & = & \frac{1}{2} m v^{2}, \\ v^{2} & = & 2 G \frac{M}{r_{F}}, \end{array}

kde $M$ je hmotnosť Zeme $5, 98 \cdot 1 0^{24} kg .$ Nezávislosť výsledku od $m$ znamená, že úniková rýchlosť je pre všetky telesá rovnaká: z tohto hľadiska niet rozdielu medzi molekulami vrchnej atmosféry alebo vesmírnou loďou. Polomer Zeme je $r_{Z} = 6, 37 \times 1 0^{6} m$ a gravitačná konštanta $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} m^{3} /(kg \cdot s^{2})$ v jednotkách SI (v tejto sústave sme udali aj hodnotu $M$ a $r_{Z}$ ). Dosaďme

v^{2} = \frac{2 (6, 67 \cdot 1 0^{- 11} m^{3} /(kg \cdot s^{2})) (5, 98 \times 1 0^{24} kg)}{6, 37 \times 1 0^{6} m} = 1, 251 \times 1 0^{8} (m/s)^{2}

a takto

v = 1, 12 \times 1 0^{4} m/s = 11, 2 km/s .

Úniková rýchlosť z nejakej inej planéty je samozrejme iná, než akú sme vypočítali pre Zem, veď úniková rýchlosť závisí od hmotnosti planéty a od jej polomeru.

Mesiac, alebo nejaká umelá družica letí samozrejme menšou rýchlosťou, než je úniková, v opačnom prípade by napr. Mesiac odletel do nekonečného priestoru. Z predchádzajúceho skúmania centripetálneho zrýchlenia Mesiaca vieme, že sila, ktorá udržuje Mesiac na obežnej dráhe okolo Zeme je gravitačná sila Zeme (a tak tomu je v prípade každej planéty a jej mesiacov). Ak hmotnosť mesiaca, alebo umelej družice je $m,$ a polomer dráhy je $r,$ z rovnosti gravitačnej príťažlivosti a centripetálnej sily dostaneme podmienku pre orbitálnu rýchlosť

G \frac{Mm}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r},

a takto

v^{2} = \frac{GM}{r} .

Porovnajme únikovú rýchlosť $v_{u}$ a orbitálnu rýchlosť $v_{o}$

v_{u}^{2} = \frac{2 GM}{r}, v_{o}^{2} = \frac{GM}{r}

a je vidieť, že

v_{u}^{2} = 2 v_{o}^{2},

tj.

v_{u} = \sqrt{2} v_{o} .

Slovami: úniková rýchlosť v určitej vzdialenosti sa rovná 1,414 násobku orbitálnej rýchlosti v tej istej vzdialenosti. Ak polomer dráhy je polomer dráhy, orbitálnu rýchlosť $v_{o}$ nazývame tiež prvou únikovou rýchlosťou , kým únikovú rýchlosť $v_{u}$ nazývame druhou únikovou rýchlosťou

6-4 Dráhy planét