6-2 Gravitačný potenciál

6-1 Newtonov gravitačný zákon; 6-2 Gravitačný potenciál; 6-3 Úniková rýchlosť; 6-4 Dráhy planét;
Úlohy

6-2 Gravitačný potenciál

Môžeme si ľahko predstaviť kinetickú energiu umelej družice obiehajúcej okolo Mesiaca alebo Zeme. Nesmieme však ponechať bez povšimnutia skutočnosť, že tieto telesá majú potenciálnu energiu zrovna tak, ako kinetickú energiu. V predchádzajúcich kapitolách sme sa už zaoberali s gravitačnou potenciálnou energiou, ktorú sme obdržali jednoduchým spôsobom tak, že tiaž telesa sme vynásobili výškou, o ktorú sme zdvihli teleso nad nejaký východiskový (referenčný) bod; tieto výšky však boli tak malé, že gravitačnú príťažlivosť sme mohli považovať za konštantnú. Pokiaľ však počítame mnoho tisíc kilometrovými vzdialenosťami, potom vzďaľujúc sa od povrchu Zeme gravitačná príťažlivosť klesá, a tento pokles už musíme zobrať do úvahy.

práca gravitačného poľa — Obr. 6.1:Práca vykonávaná proti gravitačnej príťažlivosti dvoch telies, ktoré od seba odtiahneme.

V úplnej všeobecnosti: nech dvojica telies má hmotnosť $M$ a $m .$ Nájdime vzťah pre prácu, ktorú musíme vykonať, aby sme telesá – pôsobiac proti ich vzájomnej gravitačnej príťažlivosti – od seba odtiahli. Na obrázku 6.1 vidíme hmotnosti $M$ a $m$ ; k výpočtu práce potrebnej na premiestenie telesa s hmotnosťou $m$ z polohy $a$ do polohy $f$ rozdelíme úsek $af$ na rovnaké časti a na jednotlivé malé úseky vypočítame prácu zvlášť-zvlášť.

Vo východiskovej pozícii, v pozícii $a,$ je gravitačná príťažlivá sila $GMm ∕ r_{a}^{2},$ kde $G$ je gravitačná konštanta určená Cavendishom. Podobne, v pozícii $b$ je príťažlivá sila $GMm ∕ r_{b}^{2} .$ Ak na úseku $ab$ násobíme priemernú hodnotu príťažlivej sily strednou hodnotu úseku $ab,$ získame prácu potrebnú k premiestenie telesa s hmotnosťou $m$ z pozície $a$ do $b .$ Pre výpočet strednej hodnoty sa nám ponúka viac možností: najjednoduchší je aritmetický priemer , ktorý je polovičkou súčtu oboch síl. Použitím aritmetického priemeru sa ale dostaneme k podstatne zložitejším výrazom, ktoré neskôr spôsobujú ďalšie komplikácie. Zoberme preto geometrický priemer : odmocninu vzatú zo súčinu veľkosti dvoch síl. (Toto robíme našťastie nie len z pohodlnosti, ale presný diferenciálny počet ukazuje, že geometrická stredná hodnota je tá správna stredná hodnota, ktorú treba použiť.)

Takto nachádzame, priemernú veľkosť sily medzi pozíciami $a$ a $b,$ ktorú označíme $F_{ab}$

F_{ab} = \sqrt{(G \frac{Mm}{r_{a}^{2}}) (G \frac{Mm}{r_{b}^{2}})} = G \frac{Mm}{r_{a} r_{b}} .

Práca, ktorú konáme presunutím telesa s hmotnosťou $m$ z pozície $a$ do $b$ proti pôsobeniu gravitačnej príťažlivosti je súčin sily a posunutia $(r_{b} - r_{a})$

\begin{array}{rcl} W_{ab} & = & F_{ab} (r_{b} - r_{a}) \\ = & G \frac{Mm}{r_{a} r_{b}} (r_{b} - r_{a}) \\ = & GMm (\frac{1}{r_{a}} - \frac{1}{r_{b}}) . \end{array}

Podobne, pri presunutí z pozície $b$ do $c$ je práca

W_{bc} = GMm (\frac{1}{r_{b}} - \frac{1}{r_{c}})

atď. až do pozície $f .$

Celkovú prácu dostaneme, ak tieto čiastočné práce sčítame. (Nakoľko v každom výraze vystupuje súčiniteľ $GMm$ , môžeme ho vybrať, teraz dokonca jeho písanie aj vypustíme, a pripíšeme ho znova až ku konečnému výsledku.) Sčítanie bude vypadať nasledovne

\begin{array}{rcl} \frac{1}{r_{a}} - \frac{1}{r_{b}} \\ + & \frac{1}{r_{b}} - \frac{1}{r_{c}} \\ + & \frac{1}{r_{c}} - \frac{1}{r_{d}} \\ + & \frac{1}{r_{d}} - \frac{1}{r_{e}} \\ + & \frac{1}{r_{e}} - \frac{1}{r_{f}} = \frac{1}{r_{a}} - \frac{1}{r_{f}} \end{array}

Zapísaním vypusteného súčiniteľa späť na jeho miesto dostaneme hľadaný výsledok

W_{af} = GMm (\frac{1}{r_{a}} - \frac{1}{r_{f}}) .

Pomocou tohto vzorca sme schopní spočítať prácu, ktorú musíme konať proti gravitačnej príťažlivosti medzi $M$ a $m,$ pokiaľ $m$ chceme dostať zo vzdialenosti $r_{a}$ do vzdialenosti $r_{f} .$ Tento výraz dáva trošku prekvapujúcu odpoveď na otázku: „Aká veľká práca je potrebná, aby sme teleso s hmotnosťou $m$ odniesli do nekonečna?“ Ak niekto bez rozmyslu odpovie, že „nekonečne veľká“ znie to rozumne, a predsa nie je pravda. V gravitačnom zákone totiž vystupuje kvadrát vzdialenosti, a keď ideme ďalej a ďalej od telesa, ktoré vytvára gravitačné pôsobenie, príťažlivá sila klesá podstatne rýchlejšie, ako vzdialenosť. Potrebná práca teda nie je nekonečne veľká, ale má konečnú a určitú hodnotu. Tak, ako sa $m$ vzďaľuje, $r_{f}$ je čím ďalej väčší, a $1 ∕ r_{f}$ čím ďalej menší. Ak $r_{f} = \infty$ ( $\infty$ je matematický symbol pre nekonečno), hodnota $1 ∕ r_{f},$ tj. $1 ∕ \infty$ bude nula. Na premiestenie telesa s hmotnosťou $m$ zo vzdialenosti $r_{a}$ od $M$ do nekonečna je potrebná práca

W_{a∞} = G \frac{Mm}{r_{a}} .

6-3 Úniková rýchlosť