5-6 Moment hybnosti

5-6 Moment hybnosti

Obdobne hybnosti mv priamočiareho pohybu, definujeme „hybnosť“ vznikajúcu v dôsledku otáčavého pohybu ako súčin Iω a nazývame momentom hybnosti J (impulzmoment). Newtonov tretí zákona o akcii a reakcii sa vzťahuje na moment sily zrovna tak, ako na sily a jeho pomocou – obdobne zákonu zachovania hybnosti – sa dá odvodiť zákon zachovania momentu hybnosti.

Obr. 5.8:Moment hybnosti otáčajúceho sa telesa je konštantná, pokiaľ na neho nepôsobí vonkajší moment sily.

Tento zákon sa dá dobre znázorniť pomocou študentky stojacej (sediacej) na otočnej stoličke (obrázok 5.8). Ak ju miernou rýchlosťou roztočíme, a nemení svoje držanie tela, jej otáčanie sa v dôsledku nevyhnutnému treniu sa spomalí, a nakoniec zastaví. Ak však študentka rozpaží (obrázok 5.8b), jej otáčanie sa rýchle spomalí, ak ich stiahne späť do pôvodnej pozície, získa späť svoju pôvodnú rýchlosť otáčania sa (obrázok 5.8 c). Podľa zákona zachovania momentu hybnosti sa hodnota Iω zachováva nepozmenená (pokiaľ necháme bez povšimnutia brzdiace účinky trenia). Takže ak študentka rozpažením zvýši svoj moment zotrvačnosti, v rovnakej miere sa zníži jej uhlová rýchlosť, ak sa však I zníži moment zotrvačnosti, ω sa musí zvýšiť, aby ich súčin Iω zostal konštanta.

Prípadne sa stáva, že vesmírna loď sa musí počas letu otočiť proti smeru letu – napríklad vtedy, keď pred pristátím na Marse sa do smeru musí otočiť zadná časť rakety, aby naštartovaním raketových motorov trysky brzdili rýchlosť a pristátie mohlo byť hladké. Vynorila sa myšlienka, že to by sa dalo vyriešiť pomocou kolesa (gyroskopu) s veľkou hmotnosťou , ktorého os by sa namontovala kolmo na os rakety. Ak koleso dáme do pohybu, raketa sa musí dať do pohybu v opačnom smere, aby súčet momentov hybností zostal nulový. (Vesmírna loď sa otočí samozrejme podstatne pomalšie ako koleso; jeho I je podstatne väčšie, než kolesa a preto jeho ω je podstatne menšie.) Keď loď sa už dostatočne pootočila treba koleso zastaviť a zastaví sa aj otáčanie vesmírnej lodi.²

Správanie sa gyroskopu je dosť záhadná, ak sa na neho pokúsime aplikovať dobre známe pravidlá pre translačné sily a pohyby. Samotné zariadenie je spravidla ťažký kotúč, ktorý dokážu roztočiť veľkou rýchlosťou. Väčšinou je zachytený do ložisiek s mimoriadne malým trením, ktoré sú uchytené v ráme a rám sa dá chytiť a dá sa s ním pohybovať. Na obrázku 5.9a sa jeden koniec osi rýchlo sa točiaceho kotúča opiera o voľne otočiteľný koniec stojana, pričom úchyt sa voľne otáča aj vo zvislom smere – šípky znázorňujú smer otáčania sa kotúča; G→ je tiaž gyroskopu, kým R→ je jemu rovná, ale opačne orientovaná reakčná sila, ktorou stojan drží gyroskop.

Moment sily (M), uhlová rýchlosť (ω) a moment hybnosti (J) sa môžu znázorniť ako vektory (tj. M→,ω→,J→) a to podľa pravidla pravej ruky. Predstavme si točivý pohyb, ktorého os držíme zovretú v dlani pravej ruky, kým prsty pravej ruky okrem palca (tj. od ukazováku až po malíček) ukazujú do smeru pôsobenia sily (v prípade momentu sily) alebo smeru otáčavého pohybu (v prípade uhlovej rýchlosti a momentu hybnosti). Palec pravej ruky udáva smer vektoru, ktorý znázorňuje danú veličinu (teda smer M→,ω→,J→). Podľa tohto pravidla uhlová rýchlosť ω→ ukazuje v smere nepodopretého konca osi točiaceho sa kotúča, tak ako to ukazuje obrázok 5.9b pri pohľade zhora. Moment sily Gd znázorňujeme pomocou vektoru M→, ktorý sme určili podľa toho istého pravidla (sila G→ stáča gyroskop okolo osi HH, a d predstavuje rameno tejto sily G→).

V prvom okamihu by sme museli očakávať, že tiaž G→ musí spôsobiť pád točiaceho sa kotúča – skutočne, to by sa stalo v prípade tehly, pravítka, alebo akéhokoľvek telesa, ktoré sa netočí. Podrobnejší rozbor však ukazuje, že rýchlo sa točiaci kotúč sa chová inak.

Nakoľko moment zotrvačnosti I je skalár, vektor Iω→ má rovnaký smer ako ω→. Nech v danom okamihu Iω→1 ukazuje do smeru šípky na obrázku 5.9c (pohľad zhora). Preskúmajme, že aký účinok vyvinie moment sily M→ za krátky čas t. Jeho účinok spôsobí zmenu M→t momentu hybnosti a to v smere M→. (Pamätajme na to, že silový impulz sa rovná zmene hybnosti.) Ak M→t vektorovo pripočítame k Iω→1, dostaneme výsledný moment hybnosti Iω→2, ktorý je vektor ukazujúci v smere nepodopretého konca osi točiaceho sa kotúča na konci časového intervalu t. Inými slovami os sa pootočila vo vodorovnej rovine, ale nepadá ako sme to pôvodne očakávali. Veľkosť uhla pootočenia φ osi za čas t je rovná Mt∕Iω. Uhlovú rýchlosť tohto otáčania označme Ω, a nazývame ju precesiou – uhlovou rýchlosťou, ktorou sa točí os gyroskopu okolo zvislej osi. Základná rovnica gyroskopu je

Ω = M Iω .

Moment sily zabráni tiaži v páde telesa a súčasne roztáča os točiaceho sa kotúča (v našom príklade) v smere hodinových ručičiek (pri pohľade z hora).

Ak gyroskop je koleso, ktoré má ťažké ráfy, môžeme ho považovať skoro za prsteň s hmotnosťou Mp, a potom moment zotrvačnosti môžeme uvažovať v tvare MpR2. Nech hmotnosť kotúča je 0,5 kilogramu, polomer 5 cm = 0,05 m; v tomto prípade je hodnota I = 1,25 × 10−3 kg ⋅m2. Ak d = 4 cm = 0,04 m, potom moment sily je M = (0,04 m)(0,5 kg) × 9,8 m/s2 = 0,196 N⋅m. Za realizovateľnú uhlovú rýchlosť môžeme považovať 1800 otočiek za minútu, tj. ω = 1800 × 2π∕(60 s) = 188 rad/s. Na základe týchto číselných údajov môžeme povedať dopredu, že precesia kotúča bude

Ω = 0,196 1,25 × 10−3 × 188 = 0,835 rad/s = 47,8°/s,

a jednu plnú otočku okolo zvislej osi urobí za 7,5 sekundy.

Jednotka radián je pomerom oblúku kružnice a polomeru oblúku kružnice, teda podiel dvoch dĺžok v tých istých jednotkách (napríklad v metroch). Preto vo fyzikálnych veličinách jednotku radián (rad) nemusíme vypisovať. Na druhú stranu sa silne odporúča, aby sa vypisovala v prípadoch, keď sa jedná o tzv. kruhové deje, akým je aj otáčavý pohyb. Napomáha to k správnemu chápaniu výsledkov.