5-5 Práca a energia otáčajúceho sa telesa

5-5 Práca a energia otáčajúceho sa telesa

Nakoľko k roztočeniu ťažkého kolesa potrebujeme vykonať prácu, a nakoľko otáčajúce sa teleso je schopné konať prácu, je zrejmé, že otáčajúce sa teleso má zrovna tak kinetickú energiu, ako teleso, ktoré sa pohybuje priamočiaro. K výpočtu kinetickej energie otáčajúceho sa telesa potrebujeme len sčítať kinetickú energiu jeho malých častí, z ktorých sa skladá. Otočme späť listy k obrázku 5.2 na strane § a predstavme si, že hmotnosť m predstavuje malú časť kolesa otáčajúceho sa okolo osi OO′. Ak táto malá časť sa pohybuje po priamke rýchlosťou v, potom má kinetickú energiu 1 2 mv2.

Ťažkosti vyvstanú tam, že keď chceme sčítať všetky kinetické energie, tie musíme vyjadriť pomocou v, veľkosť v však závisí od toho, že ako ďaleko sa nachádza daná časť od osi otáčania.

Túto prekážku môžeme preklenúť tak, že kinetickú energiu vyjadríme pomocou uhlovej rýchlosti ω, tá je totiž pre každú časť otáčajúceho sa telesa rovnaká

v = rω,taktov2 = r2ω2.

Podľa zisteného teda

Ek = 1 2 mv2 = 1 2 mr2ω2 = 1 2 Iω2.

Tu I je moment zotrvačnosti celého telesa (tieto vzťahy pre I sme udávali na obrázku 5.3). Tvar nášho vzťahu sa naprosto podobá kinetickej energii pre priamočiary pohyb Ek = 1 2 mv2.

Pri pojednávaní o postupnom (tj. priamočiarom) pohybe sme videli, že v nejakom telese sme schopní prostredníctvom práce nahromadiť energiu – kinetickú alebo potenciálnu. Tú istú myšlienku použijeme aj pre otáčavý pohyb. V tomto prípade síce nie sme schopný zvyšovať gravitačnú potenciálnu energiu čisto jeho roztočením, teleso však môže získať aj iný druh potenciálnej energie. Keď naťahujeme pružinu hodín, vykonávame prácu a hromadíme potenciálnu energiu v natiahnutých hodinách. Prácu vykonanú pri otáčaní meriame podobne ako pri priamočiarom pohybe, kde ju meriame ako „sila krát posunutie“, kým pri otáčaní meriame ako „moment sily krát uhol otočenia“

W = Mφ(φ sa chápe samozrejme v radiánoch!).

O koľko chceme zvýšiť kinetickú energiu pohybujúceho sa telesa, toľko práce musíme vykonať na tomto telese: Fs = 1 2 mv2. Obdobne, ak chceme zvýšiť kinetickú energiu otáčajúceho sa kolesa o určitú množstvo energie, musíme vložiť rovnaké množstvo práce: Mφ = 1 2 Iω2.

V súvislosti s kinetickou energiou porovnajme rýchlosti dutého a plného valca kotúľajúcich sa dole po naklonenej rovine, keď dosiahnu jej spodok. Na obrázku 5.7 vidíme obidva valce vo východiskovej pozícii; ich pohyb je aj postup, aj otáčanie sa. Ak nie sú straty v dôsledku trenia, kinetická energia na dolnom konci naklonenej roviny sa rovná potenciálnej energii východiskovej pozície

1 2 Mv2 + 1 2 Iω2 = Mgh.

Pre dutý valec

I = MR2, a takto1 2 Mv2 + 1 2 MR2ω2 = Mgh.

Z rovnice vypadne hmotnosť valca, teda drevený alebo olovený valec rovnakého tvaru nepredstavuje žiadny rozdiel, v každom prípade

1 2 v2 + 1 2 R2ω2 = gh.

Tým sme ale ešte neskončili, lebo vieme, že v = ωR, teda R2ω2 = v2, a konečná rýchlosť vd dutého valca je

vd2 = gh,v 0 = gh.

Vidíme, že z nášho výrazu už vypadol aj R – podobne ako hmotnosť – takže rýchlosť nezávisí ani od polomeru valca. Nech sa kotúľa po naklonenej rovine dole papierový valec, železný valec, malý valec alebo veľký, ich koncová rýchlosť je rovnaká.

Urobme tento výpočet aj pre plný valec, ktorého moment zotrvačnosti je I = 1 2 MR2. Výsledok bude

vp = 4 3 gh.

Plný valec sa kotúľa teda rýchlejšie a dosiahne spodok naklonenej roviny skôr. Rozhodnutie o tom, že ako by uspelo v tejto súťaži bremeno v tvare kocky, ktoré by kĺzalo po naklonenej rovine bez trenia, prenechávame pre cteného Čitateľa.