5-4 Centripetálna a centrifugálna sila

5-1 Rovnice otáčavého pohybu; 5-2 Moment zotrvačnosti; 5-3 Moment sily a otáčani;
5-4 Centripetálna a centrifugálna sila; 5-5 Práca a energia otáčajúceho sa telesa; 5-6 Moment hybnosti;

Úlohy

5-3 Moment sily a otáčanie

5-4 Centripetálna a centrifugálna sila

Ako sme to povedali už predtým – rýchlosť je vektorová veličina. Doteraz bola reč len o takých zrýchleniach, kde sa zmenila veľkosť rýchlosti, avšak vektor sa mení aj vtedy, keď sa mení jeho smer.

Tento prípad môžeme vidieť na obrázku 5.6. Tu sa teliesko s hmotnosťou $m$ na konci tyče dĺžky $r$ (a so zanedbateľnou hmotnosťou) otáča rýchlosťou konštantnej veľkosti okolo osi $O O^{'}$ (obrázok 5.6b). Dajme tomu, že teliesko sa za krátky čas $t$ dostalo z bodu $A$ do bodu $B,$ teda pootočil sa o uhol $φ$ (obrázok 5.6b). Jeho rýchlosť sa pritom zmenila z ${\vec{v}}_{1}$ na ${\vec{v}}_{2},$ ale táto zmena predstavuje len zmenu smeru: veľkosť rýchlosti je rovnaká, dĺžka vektoru rýchlosti je nezmenená. Na obrázku znázorňujeme zmenu rýchlosti graficky: k vektoru ${\vec{v}}_{1}$ musíme pripočítať $Δ \vec{v},$ aby sme dostali ${\vec{v}}_{2},$ takže zmenu rýchlosti za čas $t$ znázorňuje $Δ \vec{v} .$

Obr. 5.6: Centripetálne zrýchlenie telesa pohybujúceho sa rovnomerne po kružnicovej dráhe.

Všimnime si, že trojuholník

$OAB$ je podobný trojuholníku vytvoreného z vektorov

${\vec{v}}_{1},$

${\vec{v}}_{2}$ a

$Δ \vec{v},$ nakoľko sú rovnostranné a ich vrcholový uhol

$φ$ je rovnaký. V podobných trojuholníkoch (tie majú rovnaký tvar) pomer veľkosti príslušných strán je rovnaký, preto

$\begin{array}{rcl} \frac{Δv}{v} & = & \frac{AB}{r} = \frac{vt}{r} \\ Δv = \frac{v^{2} t}{r} . \end{array}$

(Tu sme vypustili písanie indexov rýchlostí $v_{1}$ a $v_{2},$ lebo berieme do úvahy len ich veľkosti a tá je v oboch prípadoch rovnaká, je zbytočné ich rozlišovanie.)

Zrýchlenie sme definovali, ako zmenu rýchlosti pripadajúcu na jednotku času. Nakoľko zmena $Δv$ prebehne za čas $t,$ zrýchlenie je

$a = \frac{Δv}{t} = \frac{v^{2}}{r} .$

Vo väčšine prípadov je priaznivejšie namiesto počítania rýchlosťou $v$ počítanie s uhlovou rýchlosťou $ω .$ Prepočet je veľmi jednoduchý, lebo $v = rω,$ a potom

$a = ω^{2} r .$

Nakoľko zrýchlenie $\vec{a}$ je vektor, musíme určiť aj jeho smer. Ak sa pozrieme na obrázok 5.6c a časový okamih zmenšujeme (spolu s ním zmenšujeme aj uhol $φ$ ), a vektory ${\vec{v}}_{1}$ a ${\vec{v}}_{2}$ sa stanú prakticky rovnobežnými, kým vektor $Δ \vec{v}$ sa stane kolmým na jednu z nich (vlastne na oba). V dôsledku toho $Δ \vec{v},$ a spolu s ním aj $\vec{a}$ bude ukazovať presne dovnútra, do stredu kružnice¹.

Nakoľko zrýchlenie môže vzniknúť jedine pôsobením sily, vidíme hneď, že zrýchlenie telieska s hmotnosťou $m$ smerom do stredu kružnice spôsobuje napätie budené v tyči, ktorá ťahá teliesko. Silu, s ktorou tyč pôsobí na teliesko nazývame centripetálnou silou . V zmysle tretieho Newtonovho zákona sa sily zjavujú vždy v pároch: rovnako veľkou ale opačne orientovanou silou pôsobí aj teliesko na tyč. To je reakčná sila centripetálnej sily, centrifugálna sila .

Veľkosť uvedených síl môžeme vypočítať podľa dobre známeho vzťahu $F = ma$ ako

$F = \frac{m v^{2}}{r} alebo F = mr ω^{2} .$

Ako príklad si pozrime dieťa, ktoré si vyberie kľúč visiaci na konci $60 cm$ dlhého špagátu, a začne s ním samozrejme točiť vo zvislej rovine, ako s nejakým prakom. Aký musí byť počet otočiek za minútu, aby špagát zostal napnutý aj v najvyššom bode? Teraz nepoznáme hmotnosť kľúča, ale stačí, keď budeme predpokladať, že má hmotnosť $m .$ Na kľúč pôsobí v každom bode dráhy centripetálna sila veľkosti $mr ω^{2} = (0, 60 m) m ω^{2},$ ona zabezpečuje udržiavanie kľúča na kružnicovej dráhe. V najvyššom bode dráhy ukazuje gravitačná príťažlivosť kľúča (tj. tiaž kľúča) $mg$ presne do stredu kružnice; preto $mg$ nemôže byť väčšie, ako $mr ω^{2},$ lebo v opačnom prípade tiaž kľúča ho stiahne z kružnicovej dráhy, šnúra sa povolí. Takáto situácia nenastane, ak rýchlosť otáčania je aspoň tak veľká, aby platilo

$\begin{array}{rcl} mg & = & mr ω^{2}, \\ g & = & r ω^{2}, \\ ω^{2} & = & \frac{g}{r} = \frac{9, 80 m/s^{2}}{0, 60 m}, \\ ω & = & 4, 04 rad/s . \end{array}$

Nakoľko $2 π radiánu = 1 otočenie$ a $1 minúta = 60 sekúnd$

$\frac{4, 04 radiánu}{s} \cdot \frac{1 otočenie}{2 π radiánu} \cdot \frac{60 s}{1 minúta} = 38, 6 \frac{otočení}{minúta} .$

Všimnime si, že hmotnosť kľúča z našich rovníc vypadla, rovnica teda platí aj pre akúkoľvek inú hmotnosť.

¹Nezabudnime, že rýchlosti ${\vec{v}}_{1}$ a ${\vec{v}}_{2}$ sú vždy kolmé na tyč, na vektor $\vec{r} .$ Ak $Δ \vec{v}$ je kolmá na ${\vec{v}}_{1},$ potom musí byť rovnobežná s $\vec{r} .$ To, že ukazuje dovnútra si dokážeme predstaviť, keď sledujeme ako sa stáča smer $Δ \vec{v}$ smerom dovnútra pri zbližovaní vektorov ${\vec{v}}_{1}$ a ${\vec{v}}_{2} .$

5-5 Práca a energia otáčajúceho sa telesa