5-4 Centripetálna a centrifugálna sila

5-4 Centripetálna a centrifugálna sila

Ako sme to povedali už predtým – rýchlosť je vektorová veličina. Doteraz bola reč len o takých zrýchleniach, kde sa zmenila veľkosť rýchlosti, avšak vektor sa mení aj vtedy, keď sa mení jeho smer.

Tento prípad môžeme vidieť na obrázku 5.6. Tu sa teliesko s hmotnosťou m na konci tyče dĺžky r (a so zanedbateľnou hmotnosťou) otáča rýchlosťou konštantnej veľkosti okolo osi OO′ (obrázok 5.6b). Dajme tomu, že teliesko sa za krátky čas t dostalo z bodu A do bodu B, teda pootočil sa o uhol φ (obrázok 5.6b). Jeho rýchlosť sa pritom zmenila z v→1 na v→2, ale táto zmena predstavuje len zmenu smeru: veľkosť rýchlosti je rovnaká, dĺžka vektoru rýchlosti je nezmenená. Na obrázku znázorňujeme zmenu rýchlosti graficky: k vektoru v→1 musíme pripočítať Δv→, aby sme dostali v→2, takže zmenu rýchlosti za čas t znázorňuje Δv→.

Obr. 5.6: Centripetálne zrýchlenie telesa pohybujúceho sa rovnomerne po kružnicovej dráhe.

Všimnime si, že trojuholník OAB je podobný trojuholníku vytvoreného z vektorov v→1, v→2 a Δv→, nakoľko sú rovnostranné a ich vrcholový uhol φ je rovnaký. V podobných trojuholníkoch (tie majú rovnaký tvar) pomer veľkosti príslušných strán je rovnaký, preto

Δv v = AB r = vt r Δv = v2t r .

(Tu sme vypustili písanie indexov rýchlostí v1 a v2, lebo berieme do úvahy len ich veľkosti a tá je v oboch prípadoch rovnaká, je zbytočné ich rozlišovanie.)

Zrýchlenie sme definovali, ako zmenu rýchlosti pripadajúcu na jednotku času. Nakoľko zmena Δv prebehne za čas t, zrýchlenie je

a = Δv t = v2 r .

Vo väčšine prípadov je priaznivejšie namiesto počítania rýchlosťou v počítanie s uhlovou rýchlosťou ω. Prepočet je veľmi jednoduchý, lebo v = rω, a potom

a = ω2r.

Nakoľko zrýchlenie a→ je vektor, musíme určiť aj jeho smer. Ak sa pozrieme na obrázok 5.6c a časový okamih zmenšujeme (spolu s ním zmenšujeme aj uhol φ), a vektory v→1 a v→2 sa stanú prakticky rovnobežnými, kým vektor Δv→ sa stane kolmým na jednu z nich (vlastne na oba). V dôsledku toho Δv→, a spolu s ním aj a→ bude ukazovať presne dovnútra, do stredu kružnice¹.

Nakoľko zrýchlenie môže vzniknúť jedine pôsobením sily, vidíme hneď, že zrýchlenie telieska s hmotnosťou m smerom do stredu kružnice spôsobuje napätie budené v tyči, ktorá ťahá teliesko. Silu, s ktorou tyč pôsobí na teliesko nazývame centripetálnou silou. V zmysle tretieho Newtonovho zákona sa sily zjavujú vždy v pároch: rovnako veľkou ale opačne orientovanou silou pôsobí aj teliesko na tyč. To je reakčná sila centripetálnej sily, centrifugálna sila.

Veľkosť uvedených síl môžeme vypočítať podľa dobre známeho vzťahu F = ma ako

F = mv2 r aleboF = mrω2.

Ako príklad si pozrime dieťa, ktoré si vyberie kľúč visiaci na konci 60 cm dlhého špagátu, a začne s ním samozrejme točiť vo zvislej rovine, ako s nejakým prakom. Aký musí byť počet otočiek za minútu, aby špagát zostal napnutý aj v najvyššom bode? Teraz nepoznáme hmotnosť kľúča, ale stačí, keď budeme predpokladať, že má hmotnosť m. Na kľúč pôsobí v každom bode dráhy centripetálna sila veľkosti mrω2 = (0,60 m)mω2, ona zabezpečuje udržiavanie kľúča na kružnicovej dráhe. V najvyššom bode dráhy ukazuje gravitačná príťažlivosť kľúča (tj. tiaž kľúča) mg presne do stredu kružnice; preto mg nemôže byť väčšie, ako mrω2, lebo v opačnom prípade tiaž kľúča ho stiahne z kružnicovej dráhy, šnúra sa povolí. Takáto situácia nenastane, ak rýchlosť otáčania je aspoň tak veľká, aby platilo

mg = mrω2, g = rω2, ω2 = g r = 9,80 m/s2 0,60 m , ω = 4,04 rad/s.

Nakoľko 2π radiánu = 1 otočenie a 1 minúta = 60 sekúnd

4,04 radiánu s ⋅1 otočenie 2π radiánu ⋅ 60 s 1 minúta = 38,6otočení minúta .

Všimnime si, že hmotnosť kľúča z našich rovníc vypadla, rovnica teda platí aj pre akúkoľvek inú hmotnosť.