5-3 Moment sily a otáčanie
5-1 Rovnice otáčavého pohybu; 5-2 Moment zotrvačnosti; 5-3 Moment sily a otáčani;
5-4 Centripetálna a centrifugálna sila; 5-5 Práca a energia otáčajúceho sa telesa; 5-6 Moment hybnosti;
5-3 Moment sily a otáčanie
Pozrime sa, že ako použijeme moment zotrvačnosti v druhom Newtonovom zákone napísanom pre otáčavý pohyb. Zoberme teraz z obrázku 5.3b plný valec, ktorý sa môže otáčať okolo osi bez trenia, ako to ukazuje obrázok 5.4. Nech hmotnosť valca je 6 kg, a jeho priemer 16 cm (jeho polomer potom R=8 cm=0,08 m). Nech na lano namotané na valec pôsobí stály ťah veľkosti 12 N. Za aký čas urobí 12 otočiek, ak vychádzame zo stavu, keď valec je v pokoji? Najprv vypočítame uhlové zrýchlenie pomocou vzťahu
M=I𝜀=12MR2𝜀(12 N)×0,08 m=12(6 kg)(0,08 m)2𝜀,𝜀=50 rad/s2.
|
Obr. 5.4: Lano namotaný na valec a ťahaný silou 12 N dodáva valcu stále uhlové zrýchlenie. |
φ=12×2π=24π radián, |
a zo vzťahu φ=12𝜀t2 sa potrebný čas t dá vypočítať ako
24π=12(50 rad/s2)t2,t2=0,96π,t=1,74 s.
Na prvý pohľad sa zdá, že stálu silu 12 N pre uvedenú úlohu prakticky najjednoduchšie zabezpečíme tak, že na koniec lana zavesíme záťaž, ktorej tiaž je 12 N. Ak prípad preskúmame podrobnejšie, zistíme, že tomu tak nie je. Pozrime sa na obrázok 5.5. Ak budeme počítať podľa priblíženia použitého v odseku 4-2, na lano zavesíme záťaž s hmotnosťou 1,2 kg, lebo tiaž takejto záťaže je 12 N. Kým os je zabezpečená proti otáčaniu a valec je nehybný, napätie vznikajúce v lane je skutočne 12 N. Hneď, ako sa os začne bez trenia pretáčať v ložiskách, objaví sa uhlové zrýchlenie, kým hmotnosť 1,2 kg sa začne pri svojom klesaní urýchľovať, rýchlosť záťaže bude lineárne rásť. Skúmajme teraz túto smerom dole zrýchľujúcu sa hmotnosť, zakrúžkovanú na obrázku, samostatne. Zrýchlenie a tejto hmotnosti je vyvolané výslednicou síl 12 N−T, teda T je menšie, než 12 N. Podľa vzťahu medzi F a ma
|
Obr. 5.5: Záťaž s tiažou 12 N zavesená na lano dodáva valcu stále uhlové zrýchlenie, ale toto zrýchlenie nie je rovnaké ako na obrázku 5.4. telesa s nepravidelného tvaru. |
12 N−T=(1,2 kg)a. |
Uhlové zrýchlenie valca spôsobuje sila T vyvolávajúca krútiaci moment. Naša pohybová rovnica je
M=I𝜀=12MR2𝜀 |
a dá sa pomocou veľkosti sily T zapísať takto
(0,08 m)T=12(6,0 kg)(0,08 m)2𝜀,T=(0,24 kg⋅m)𝜀. |
Dostávame dve rovnice s tromi neznámymi, ale máme aj tretí, dobre známy vzťah: a=r𝜀, teda
a=(0,08 m)𝜀. |
Po predelení dvoch posledných rovníc medzi sebou dostaneme
Ta=3 kg,tj.T=(3 kg)a.Dosadením tohto výsledku do prvej rovnice
12 N−(3 kg)a=(1,2 kg)a,odkiaľa=2,86 m/s2,aT=(3 kg)×2,86 m/s2=8,58 N,
teda skutočne nie 12 N,
ako sme si to predstavovali pôvodne.