5-3 Moment sily a otáčanie

5-1 Rovnice otáčavého pohybu; 5-2 Moment zotrvačnosti; 5-3 Moment sily a otáčani;
5-4 Centripetálna a centrifugálna sila; 5-5 Práca a energia otáčajúceho sa telesa; 5-6 Moment hybnosti;

Úlohy

5-2 Moment zotrvačnosti

5-3 Moment sily a otáčanie

Pozrime sa, že ako použijeme moment zotrvačnosti v druhom Newtonovom zákone napísanom pre otáčavý pohyb. Zoberme teraz z obrázku 5.3b plný valec, ktorý sa môže otáčať okolo osi bez trenia, ako to ukazuje obrázok 5.4. Nech hmotnosť valca je $6 kg,$ a jeho priemer $16 cm$ (jeho polomer potom $R = 8 cm = 0, 08 m$ ). Nech na lano namotané na valec pôsobí stály ťah veľkosti $12 N .$ Za aký čas urobí 12 otočiek, ak vychádzame zo stavu, keď valec je v pokoji? Najprv vypočítame uhlové zrýchlenie pomocou vzťahu

\begin{array}{rcl} M & = & I𝜀 = \frac{1}{2} M R^{2} 𝜀 \\ (12 N) \times 0, 08 m & = & \frac{1}{2} (6 kg) {(0, 08 m)}^{2} 𝜀, 𝜀 = 50 rad/s^{2} . \end{array}

Obr. 5.4: Lano namotaný na valec a ťahaný silou 12 N dodáva valcu stále uhlové zrýchlenie.

V prípade 12 úplných otočiek

φ = 12 \times 2 π = 24 π radián,

a zo vzťahu $φ = \frac{1}{2} 𝜀 t^{2}$ sa potrebný čas $t$ dá vypočítať ako

\begin{array}{rcl} 24 π & = & \frac{1}{2} (50 rad/s^{2}) t^{2}, \\ t^{2} & = & 0, 96 π, \\ t & = & 1, 74 s . \end{array}

Na prvý pohľad sa zdá, že stálu silu $12 N$ pre uvedenú úlohu prakticky najjednoduchšie zabezpečíme tak, že na koniec lana zavesíme záťaž, ktorej tiaž je $12 N .$ Ak prípad preskúmame podrobnejšie, zistíme, že tomu tak nie je. Pozrime sa na obrázok 5.5. Ak budeme počítať podľa priblíženia použitého v odseku 4-2, na lano zavesíme záťaž s hmotnosťou $1, 2 kg,$ lebo tiaž takejto záťaže je $12 N .$ Kým os je zabezpečená proti otáčaniu a valec je nehybný, napätie vznikajúce v lane je skutočne $12 N .$ Hneď, ako sa os začne bez trenia pretáčať v ložiskách, objaví sa uhlové zrýchlenie, kým hmotnosť $1, 2 kg$ sa začne pri svojom klesaní urýchľovať, rýchlosť záťaže bude lineárne rásť. Skúmajme teraz túto smerom dole zrýchľujúcu sa hmotnosť, zakrúžkovanú na obrázku, samostatne. Zrýchlenie $a$ tejto hmotnosti je vyvolané výslednicou síl $12 N - T,$ teda $T$ je menšie, než $12 N .$ Podľa vzťahu medzi $F$ a $ma$

Obr. 5.5: Záťaž s tiažou 12 N zavesená na lano dodáva valcu stále uhlové zrýchlenie, ale toto zrýchlenie nie je rovnaké ako na obrázku 5.4. telesa s nepravidelného tvaru.

12 N - T = (1, 2 kg) a .

Uhlové zrýchlenie valca spôsobuje sila $T$ vyvolávajúca krútiaci moment. Naša pohybová rovnica je

M = I𝜀 = \frac{1}{2} M R^{2} 𝜀

a dá sa pomocou veľkosti sily $T$ zapísať takto

(0, 08 m) T = \frac{1}{2} (6, 0 kg) {(0, 08 m)}^{2} 𝜀, T = (0, 24 kg \cdot m) 𝜀 .

Dostávame dve rovnice s tromi neznámymi, ale máme aj tretí, dobre známy vzťah: $a = r𝜀,$ teda

a = (0, 08 m) 𝜀 .

Po predelení dvoch posledných rovníc medzi sebou dostaneme

\begin{array}{rcl} \frac{T}{a} & = & 3 kg, tj. \\ T & = & (3 kg) a . \end{array}

Dosadením tohto výsledku do prvej rovnice

\begin{array}{rcl} 12 N - (3 kg) a & = & (1, 2 kg) a, odkiaľ \\ a & = & 2, 86 {m/s}^{2}, a \\ T & = & (3 kg) \times 2, 86 m/s^{2} = 8, 58 N, \end{array}

teda skutočne nie $12 N,$ ako sme si to predstavovali pôvodne.

5-4 Centripetálna a centrifugálna sila