5-2 Moment zotrvačnosti

5-1 Rovnice otáčavého pohybu; 5-2 Moment zotrvačnosti; 5-3 Moment sily a otáčani;
5-4 Centripetálna a centrifugálna sila; 5-5 Práca a energia otáčajúceho sa telesa; 5-6 Moment hybnosti;

Úlohy

5-1 Rovnice otáčavého pohybu

5-2 Moment zotrvačnosti

Sila pôsobiaca na teleso spôsobuje jeho zrýchlenie. Analogicky: moment sily pôsobiaci na teleso spôsobuje jeho otáčanie, a zdá sa byť zrejmým, že aj teleso musí mať nejakú charakteristiku, pomocou ktorej budeme môcť napísať vzťah zodpovedajúci rovnici $F = ma .$ Preskúmajme tento problém v prípade veľmi jednoduchého otáčajúceho sa telesa znázorneného na obrázku 5.2. Nech vo vzdialenosti $r$ od osi otáčania $O$ je upevnené teleso na konci tyče – hmotnosť tyče budeme považovať za nulovú. V zmysle druhého Newtonovho zákona sila $F$ pôsobiaca na hmotnosť $m$ spôsobí zrýchlenie $a = F ∕ m$ pozdĺž obvodu. Ako sme videli, obvodové zrýchlenie súvisí s uhlovým zrýchlením nasledovne $a = r𝜀 .$ Máme teda dve rovnice na $a,$ ktoré môžeme spojiť v rovnosť.

\frac{F}{m} = r𝜀,

odkiaľ

F = mr𝜀 .

Pri otáčavom pohybe je účelné vzťah uvádzať nie pre silu, ale pre moment sily $M .$ Vynásobíme preto obidve strany našej rovnice $r$

\begin{array}{rcl} Fr & = & m r^{2} 𝜀, tj. \\ M & = & m r^{2} 𝜀 . \end{array}

roztáčanie — Obr. 5.2:Na konci tyče bez hmotnosti je teliesko s hmotnosťou $m$ : sila, ktorá na ňu pôsobí spôsobuje otáčanie okolo osi O.

Náš výsledok sa veľmi podobá na vzťah $F = ma$ s tým rozdielom, že namiesto $m$ v ňom vystupuje $m r^{2} .$ Tento výraz, súčin hmotnosti $m$ telesa a kvadrátu vzdialenosti meranej od osi otáčania nazývame momentom zotrvačnosti častice a označujeme väčšinou $I .$ Druhý Newtonov pohybový zákona sa dá pre otáčavý pohyb napísať potom nasledovne

M = I𝜀 .

Tento vzťah sme stanovili pre jednu jedinú malú časticu, ale ako môžeme stanoviť moment zotrvačnosti pre tyče, kolesá, valce, ktorých otáčavý pohyb musíme zobrať často do úvahy? Na nejaké väčšie teleso môžeme hľadieť, ako na súbor malých častíc. Každá z nich má svoj moment zotrvačnosti $m r^{2}$ a moment zotrvačnosti celého telesa nie je nič iné, ako súčet momentov zotrvačností jednotlivých častíc. Pre mnohoraké telesá pravidelného tvaru sa pomocou vhodného výpočtu – integrálneho počtu – dá tento súčet určiť. Obrázok 5.3 ukazuje momenty zotrvačnosti niekoľkých telies.

V prípade jedného z nich, tenkostenného dutého valca, moment zotrvačnosti dokážeme určiť aj bez integrálneho počtu. Musíme si len uvedomiť, že tento valec pozostáva z mnohých malých čiastočiek s hmotnosťou $m$ a každá malá čiastočka sa nachádza od osi rotácie v tej istej vzdialenosti $R,$ preto každá čiastočka má moment zotrvačnosti $m R^{2} .$ Ak tieto momenty zotrvačnosti sčítame, tak výsledok bude zrejme $R^{2}$ násobkom súčtu hmotností $m,$ a to posledné je zrejme celková hmotnosť $M$ valca. Takto dostávame $I = M R^{2} .$

5-3 Moment sily a otáčanie