5-1 Rovnice otáčavého pohybu

Kapitola 5
Otáčavý pohyb

5-1 Rovnice otáčavého pohybu

Telesá sa môžu pohybovať dvojakým spôsobom. Jeden druh pohybu – doteraz sme sa zaoberali len s takýmto – je tzv. priamočiary pohyb, alebo cudzím slovom translácia, kde rôzne body telesa sa pohybujú pozdĺž rovnobežných priamok. Nasledujúci druh je otáčavý pohyb, alebo cudzím slovom rotácia, keď teleso sa otáča okolo priamky nazývanej os. Väčšina pohybov je v skutočnosti kombináciou týchto dvoch druhov pohybov: „falšovaná lopta“ sa počas letu aj točí vo vzduchu, aj kolesá vozidla sa otáčajú okolo svojej osi, pričom vozidlo postupuje po ceste dopredu.

Pri priamočiarom pohybe bola našou základnou jednotkou vzdialenosť, ktorú teleso prešlo; pojednanie o otáčavom pohybe musíme začať uhlom pootočenia telesa. Uhol pootočenia môžeme merať v stupňoch, alebo sa môže udať počet celkových pootočení, ale z hľadiska vzájomných vzťahov a písania rovníc je účelnejšie zaviesť novú jednotku pre uhol, radián.

Na obrázku 5.1a je znázornený význam radiánu. Narysujme kružnicu s ľubovoľným polomerom a na jeho obvode označme oblúk, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kružnice. Centrálny uhol prislúchajúci k tomuto oblúku je 1 radián. Nakoľko obvod kružnice je 2πr, 2π radiánu je centrálny uhol zodpovedajúci jednému celému pootočeniu okolo stredu, teda uhlu 360 stupňov.

Majme kotúč s polomerom r a označme na jeho obvode jeden bod, ako C (obrázok 5.1b). Ak kotúč pootočíme okolo jeho osi o určitý uhol φ radiánov, bod C sa dostane na iné miesto a to do bodu C1 vo vzdialenosti s meraného pozdĺž oblúku. Ak uhol φ je presne jeden radián, potom dĺžka oblúku CC1 je r; ak uhol φ sú 2 radiány, potom dĺžka oblúku je 2r. Vo všeobecnosti dĺžka s oblúku patriaceho k uhlu φ je: s = φr. Posunutie ľubovoľného bodu otáčajúceho sa telesa môžeme dostať tak, že uhol pootočenia meraného v radiánoch vynásobíme vzdialenosťou bodu od osi otáčania.

Obvodová rýchlosť v a uhlová rýchlosť ω sú v podobnom vzťahu. Ak kotúč sa otáča rovnomerne, a za t sekúnd sa pootočí o uhol φ, bod ktorý sa nachádza vo vzdialenosti r od osi otáčania, prejde dráhu dĺžky rφ. Uhlová rýchlosť je ω = φ∕t rad/s, a obvodová rýchlosť bodu C je v = rφ∕t. Odtiaľ v = rω. Ďalšie skúmanie ukáže, že pokiaľ uhlová rýchlosť bodu nachádzajúceho sa od osi otáčania vo vzdialenosti r sa mení, potom obvodové zrýchlenie bodu sa bude rovnať r−násobku uhlového zrýchlenia 𝜀 kotúča v jednotkách rad/s2. Uhlové zrýchlenie (𝜀) definujeme, ako zmenu uhlovej rýchlosti ω pripadajúcej na jednotku času (Δt): α = Δω∕Δt. Naša rovnica teda je a = 𝜀r. Tri jednoduché vzťahy, ktoré sme získali sú

Obr. 5.1: (a) radián a (b) otáčajúci sa kotúč.

s = rφ,v = rω,a = r𝜀.

Vychádzajúc zo základných definícií uhlovej rýchlosti a uhlového zrýchlenia, môžeme na základe analógie s priamočiarym pohybom napísať veľmi jednoducho rovnice pre otáčavý pohyb

ωt = ω0 + 𝜀t φ = ω0t + 1 2 𝜀t2 ωt2 = ω 02 + 2𝜀φ.