4-4 Bernoulliho princíp

4-1 Práca a potenciálna energia; 4-2 Kinetická energia; 4-3 Premena energie; 4-4 Bernoulliho princíp; 4-5 Výkon; 4-6 Akcia a reakcia; 4-7 Hybnosť; 4-8 Činnosť rakiet;

Úlohy

4-3 Premena energie

4-4 Bernoulliho princíp

Predstavme si, že v trubici, ktorej prierez sa mení, tečie kvapalina (obrázok 4.6). Nakoľko kvapaliny bývajú skoro dokonalo nestlačiteľné, objem kvapaliny pretekajúcej cez časť s väčším prierezom (1) za jednu sekundu sa nutne zhoduje s objemom kvapaliny pretekajúcej cez časť s menším prierezom (2). V dôsledku toho kvapalina musí zrýchliť, keď dorazí k časti s menším prierezom; Medzi miestami (1) a (2) má kvapalina zrýchlenie ukazujúce doprava. Silu potrebnú k tomuto zrýchleniu zabezpečuje to, že v časti (1) je vyšší tlak, ako v časti (2). Podobným spôsobom musí kvapalina spomaliť, ak opustí užšiu časť (2) a dorazí k širšej časti trubice, čo znamená, že musí pôsobiť na kvapalinu sila ukazujúca smerom doľava, inými slovami: v širšej časti trubice musí byť väčší tlak, ako v užšej časti. Toto tvrdenie môžeme ľahko overiť, ak k vodorovnej trubici privaríme na troch miestach tenké trubice tak, ako to ukazuje obrázok 4.6. Hladina kvapaliny v trubici je v užšej časti nižšia, čo signalizuje, že v tejto časti je tlak menší. Konštatovanie, že rýchlosť kvapaliny je nižšia, tam kde je vyšší tlak a naopak nazývame Bernoulliho princípom po jeho objaviteľovi švajčiarskom fyzikovi Danielovi Bernoullim³.

rýchlosť a tlak — Obr. 4.6:V užšom úseku trubice, kde prúdenie je rýchlejšie, tlak je menší.

Zákon zachovania energie nám umožňuje, aby sme Bernoulliho princíp preskúmali aj kvantitatívne. Nakoľko množstvo kvapaliny pretekajúcej každou časťou trubice je za jednotku času všade rovnaké, zrejme platí

$v_{1} A_{1} = v_{2} A_{2}$

Predstavme si v nejakom mieste kvapalinu jednotkového objemu ( $1 {cm}^{3}$ alebo $1 m^{3}$ ). Hmotnosť takého objemu kvapaliny sa číselne zhoduje s jej hustotou $ρ,$ preto jej kinetická energia je $\frac{1}{2} ρ v^{2} .$ Naša trubica je vodorovná, preto gravitačná potenciálna energia kvapaliny sa nemení. Existuje však ešte iný druh energie, ktorá sa objaví v dôsledku tlaku kvapaliny, a ktorú musíme zobrať do úvahy tiež. K jej určeniu vykonajme jeden myšlienkový experiment. Predstavme si na boku trubice otvor s jednotkovým prierezom, a pozrime sa na stĺpec kvapaliny s pôdorysom otvoru a s jednotkovou výškou pri tomto otvore. Podľa Pascalovho zákona na tento stĺpec pôsobí zo všetkých strán rovnaký tlak, okrem smeru, kde je otvor. Kvapalina pod vplyvom vnútorného tlaku vytečie cez otvor. Keď vytečie kvapalina jednotkového objemu, vykoná sa pritom práca, ktorá sa číselne rovná $p,$ nakoľko sila pôsobenia sa rovná tlaku a posunutie je jednotkové. To ale znamená, že aj nevytečená kvapalina jednotkového objemu má v dôsledku tlaku energiu, ktorá sa číselne rovná $p .$ Celková energia kvapaliny jednotkového objemu je preto (gravitačnú potenciálnu energiu neberieme do úvahy)

$\frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + p_{1} .$

Zopakovaním tejto úvahy by sme dostali, že celková energia kvapaliny s jednotkovým objemom v mieste (2) je

$\frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + p_{2} .$

Ak necháme bez povšimnutia energetické straty v dôsledku trenia, zákon zachovania energie môžeme písať v tvare

$\frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + p_{1} = \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + p_{2}, alebo p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) .$

Ak v trubici s priemerom $0, 10 metra$ , ktorá sa zúži na $0, 05 metra$ , preteká olej s hustotou $0, 8 {g/cm}^{3} = 800 kg/m^{3}$ v širšom úseku rýchlosťou $1, 00 m/s,$ potom môžeme uvažovať nasledovne. Na zúženom úseku, kde priemer je polovičný, je prierez ${(\frac{1}{2})}^{2},$ tj. $\frac{1}{4}$ prierezu širšieho úseku, preto rýchlosť $v_{2}$ je nutne štvornásobkom $v_{1},$ tj. $4, 00 m/s .$ Na pravej strane rovnice je hustota $ρ$ udaná v kg/m $^{3}$ a rýchlosť v m/s, preto na ľavej strane rovnice, ktorá sa rovná pravej, je tlak číselne daný v jednotkách $({kg/m}^{3}) {(m/s)}^{2} = (kg \cdot {m/s}^{2}) ∕ (m^{2}) = {N/m}^{2} .$ Číselne

$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} \times 800 \times (4^{2} - 1^{2}) = 6000 {N/m}^{2} .$

Použitie tohto vzťahu je veľmi rozšírené pri určovaní rýchlosti prúdenia kvapalín. Prístroj meria rozdiel tlaku v normálnej časti potrubia a v špeciálne zúženej trubici; ak poznáme pomer priemerov, musíme len obrátiť vypracovanie predchádzajúceho príkladu a obdržíme rýchlosť prúdenia kvapaliny v trubici.

Bernoulliho princíp je úplne všeobecný a dá sa použiť pre akýkoľvek pohyb kvapalín a plynov. Zoberme napríklad prúd vzduchu obklopujúci krídlo lietadla. Profil krídla a línie prúdenia sú znázornené na obrázku 4.7.

Krídlo lietadla je vytvarované tak, aby dĺžka dráhy, po ktorej prúdi vzduch nad krídlom bola väčšia, než pod krídlom, preto rýchlosť prúdenia vzduchu nad krídlom je nutne väčšia a zodpovedajúci tlak je menší, než prúdu vzduchu pod krídlom. Rozdiel tlaku pod krídlom a nad krídlom vytvára silu smerujúcu hore, čo napomáha udržaniu lietadla vo vzduchu. Všimnime si, že krídlo letiace vodorovne smeruje prúdenie vzduchu za krídlom smerom dole. Vrtule vrtuľníkumajú podobný prierez a pokiaľ sú motorom roztočené, stláčajú vzduch smerom dole, ako ukazuje obrázok 4.7. Významom toho sa zoznámime neskôr.

¹vyslovuj džaul, džúl; IPA [dʒaʊl,dʒu:l]; na Slovensku a v Čechách sa zaužíla typicky anglická výslovnosť džaul, nakoľko jednotka bola pomenovaná po anglickom fyzikovi (James Prescott Joule). Joule však mal francúzske korene a jeho meno vyslovovali podľa francúzskej výslovnosti džúl.

²Pri tomto približnom prepočítaní jednotiek sa mimoriadne zjednodušia prevody, keď si uvedomíme, že tiaž telesa udaná v kilopondoch (technická sústava) sa rovná hmotnosti tohto telesa v kilogramoch (sústava SI).

³Daniel Bernoulli, 1700-1782.

4-5 Výkon