3-6 Vrh

3-1 Veličiny popisujúce pohyb; 3-2 Príčina pohybu; 3-3 Hmotnosť a tiaž; 3-4 Tiaž a voľný pád; 3-5 Naklonené roviny; 3-6 Vrh;

Úlohy

3-5 Naklonené roviny

3-6 Vrh

Nakoľko každé nepodopreté teleso má v dôsledku gravitačnej príťažlivosti rovnaké zrýchlenie smerujúce dole, rovnice rovnomerného zrýchlenia (voľného pádu) možno použiť pre všetky voľne padajúce telesá, či sa už jedná o raketu, golfovú loptičku, alebo strelu vystrelenej z pušky. Pozrime si napríklad jednoduchý príklad, keď chlapec stojací na moste 10 metrov nad vodnou hladinou vyhodí do vzduchu smerom zvislo hore kameň so začiatočnou rýchlosťou $20 m/s .$ Do akej výšky sa dostane kameň? Tu sa na chvíľku musíme zastaviť, aby sme zvážili tú časť problému, ktorú sme v úlohe vyslovene nepovedali – menovite to, že kameň v bode, v ktorom dosiahne svoju najväčšiu výšku, sa na okamih zastaví. Otázku môžeme teraz vysloviť v inej podobe: Ak poznáme začiatočnú rýchlosť $v_{0}$ ( $+ 20 m/s,$ nakoľko $v_{0}$ ukazuje smerom hore) a zrýchlenie $a$ ( $- 9, 8 {m/s}^{2},$ nakoľko smer gravitačného zrýchlenia ukazuje smerom dole), aká dlhá je tá dráha $s,$ na konci ktorej bude rýchlosť kameňa rovná nule? Veľmi jednoducho

{(0 m/s)}^{2} = {(20 m/s)}^{2} - 2 (9, 8 m/s^{2}) s,

odkiaľ

s = \frac{400}{19, 6} = + 20, 4 metra.

Kladné znamienko ukazuje, že najvyšší bod sa nachádza nad bodom hodu, nakoľko za kladný smer sme zvolili smer hore.

Môžeme si tiež položiť otázku, že za akú dobu kameň dopadne do vody (berme to tak, že most neprekáža v páde kameňa). Ak kameň dopadne do vody, bude 10 metrov pod mostom, teda $s = - 10 m .$ (Vidíme, že $s$ v skutočnosti neznačí celkovú dráhu, ktorú kameň preletí, len vzdialenosť kameňa od miesta hodu, jeho posunutie – teraz v okamihu dopadu; napr. v okamihu, keď kameň pri páde zhora dosiahne úroveň mosta, je $s = 0 .$ ) K tomuto výpočtu použijeme našu druhú rovnicu

\begin{array}{rcl} - 10 m & = & (20 m/s) t - \frac{1}{2} (9, 8 m/s^{2}) t^{2}, \\ 4, 9 t^{2} - 20 t - 10 & = & 0, \end{array}

odkiaľ

t_{1} = - 0, 45 s, t_{2} = + 4, 53 s.

Je evidentné, že hľadaným riešením je druhý výsledok, nakoľko dopad do vody musí nastať po vyhodení kameňa do vzduchu.

Vo väčšine prípadov nestačí zvážiť pohyby vo zvislom smere (hore a dole). Čo sa stane napríklad vtedy, ak chlapec kameň nezahodí zvislo smerom hore, ale zahodí ho so začiatočnou rýchlosťou $20 m/s$ presne vo vodorovnom smere?

vodorovný vrh — Obr. 3.8:
Dráha vodorovne zahodenej lopty.

Ak zanedbáme trenie pochádzajúce z odporu vzduchu, jediná sila ktorá pôsobí na kameň je gravitačná príťažlivosť a preto kameň má zrýchlenie výhradne smerujúce dole, a veľkosť zrýchlenia je $9, 8 {m/s}^{2} .$ Nakoľko zrýchlenie nemá vodorovnú zložku, nijakým spôsobom neovplyvňuje vodorovný pohyb kameňa a ten sa vo vodorovnom smere pohybuje so stálou rýchlosťou $20 m/s$ až dovtedy, než dopadne na hladinu rieky. Obdobným spôsobom ani vodorovná zložka rýchlosti nijakým spôsobom nevplýva na pohyb v smere hore-dole, na gravitačné zrýchlenie.

šikmý vrh — Obr. 3.9:Rýchlosť šikmo vrhnutej lopty má vodorovnú aj zvislú zložku.

Na obrázku 3.8 vidíme dve lopty: prvú z nich zahodíme vo vodorovnom smere práve v tom okamihu, keď druhú pustíme a necháme voľne padať. Nakoľko vodorovne odhodená lopta v okamihu hodu nemá zvislú zložku rýchlosti, jej pohyb smerom dole je presne rovnaký, ako voľne padajúcej lopty. Pohyb vo vodorovnom smere prebieha nezávisle od pohybu vo zvislom smere tak, že výsledná dráha vznikne zložením rovnomerného pohybu vo vodorovnom smere a rovnomerne zrýchleného pohybu vo zvislom smere.

V úlohách riešiacich vrhy môžeme o vodorovnej a zvislej zložke pohybu uvažovať oddelene od seba. Ako príklad si pozrieme golfového hráča na obrázku 3.9. Svojim úderom udeľuje golfovej loptičke rýchlosť $36 m/s$ v smere uzatvárajúcom 30° s vodorovným smerom a miesto jeho úderu sa nachádza o 15 metrov nižšie, než cieľová rovinka s jamkou. Ako ďaleko doletí táto loptička v dôsledku popísaného úderu? (Hľadáme vzdialenosť $x$ vyznačenú na obrázku.) Rozdeľme rýchlosť $v$ na vodorovnú zložku $v_{v}$ a zvislú zložku $v_{z} .$

v_{v} = 36 \cos 30 ° = 31, 2 m/s

v_{z} = 36 \cos 30 ° = 18 m/s .

Skutočná dráha lopty je oblúk OBAC. Priemet tohto oblúku na zvislý smer je $O B^{'} A^{'} C^{'},$ ktorú by popísala fiktívna lopta vyhodená zvislo hore so začiatočnou rýchlosťou $18 m/s .$ Koľko času uplynie, než sa dostane z bodu O do bodu $C^{'}$ táto fiktívna lopta? Za tú istú dobu dorazí skutočná lopta do $C$ a zaryje sa do pôdy. Ak sledujeme len zvislú zložku pohybu lopty, tak môžeme písať

\begin{array}{rcl} s & = & v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} \\ 15 m & = & (18 m/s) t - (4, 9 m/s^{2}) t^{2} \\ 4, 9 t^{2} - 18 t + 15 & = & 0 \end{array}

odkiaľ

\begin{array}{rcl} t & = & \frac{18 \pm \sqrt{1 8^{2} - 4 \times 4, 9 \times 15}}{2 \times 4, 9} s \\ t_{1} & = & 1, 28 s, t_{2} = 2, 40 s . \end{array}

Prvá hodnota, $1, 28 s$ je doba, za ktorú lopta dosiahne výšku 15 metrov nad miestom úderu, ale to je zatiaľ len výstupná fáza, bod B; Podľa riešenia je potrebných $2, 40 s$ k tomu, aby lopta doletela do bodu C. Po túto dobu je hodnota $v_{v}$ konštantná a rovná $31, 2 m/s,$ preto lopta vo vodorovnom smere preletí vzdialenosť

x = (2, 40 s) (31, 2 m/s) = 74, 9 m.

Úlohy 03