3-4 Tiaž a voľný pád

3-4 Tiaž a voľný pád

Šikmá veža v Pise, jedna z architektonických divov, je nerozlučne spätá s dejinami fyziky, nakoľko hrala úlohu v jednom experimente, ktorý údajne vykonal práve tu pred viac než 300 rokmi slávny taliansky prírodovedec Galilei. Podľa vyprávania nechal padnúť z najvyššieho balkónu veže súčasne dve gule: jednu ťažkú železnú a jednu ľahkú drevenú (obrázok 3.4). Napriek veľkému váhovému rozdielu medzi telesami zaryli sa do zeme skoro súčasne.

Očakávali by sme aj mi rovnaký výsledok aký dosiahol Galilei? Predpokladajme, že hmotnosti gúľ sú 10 kg a 1 kg, železná guľa je teda 10 krát ťažšia, ako drevená. Tiaž gúľ je tá sila, ktorá spôsobuje ich zrýchlenie smerom dole a dostávame sa k záveru, že železná guľa síce má desaťkrát väčšiu hmotnosť, ale aj sila spôsobujúca zrýchlenie je desaťnásobná: zrýchlenie oboch gúľ je potom rovnaké, musia padať jedna vedľa druhej a musia dopadnúť naraz. Skúmajme však voľný pád telies ďalej, a zmerajme zrýchlenie 1 kilogramového telesa v Eagle City na Aljaške. Metóda, pomocou ktorej sa zrýchlenie dá zmerať veľkou presnosťou je síce iná, ale zrýchlenie určíme v podstate tak, že starostlivo zmeriame dobu, za ktorú voľne padajúce teleso dopadne na zem z presne určenej výšky. Zrýchlenie sa potom dá vypočítať na základe vzťahu s = 1 2 at2.

Zrýchlenie voľne padajúceho telesa smerujúce smerom dole (ktoré je zvykom na celom svete značiť g→) má na Aljaške hodnotu 982,18 cm/s2, teda 9,8218 m/s2. Z toho, čo sme povedali o definícii jednotky sily vieme, že sila veľkosti 1 newton dodá telesu s hmotnosťou 1 kilogram zrýchlenie 1 m/s2; k tomu, aby zrýchlenie bolo 9,8218 m/s2 potrebujeme silu
9,8218 newtonov. Môžeme teda povedať, že v Eagle City je tiaž kilogramového závažia presne 9,8218 newtonov. Zopakujme náš experiment v Panama City, v oblasti kanálov; tu zistíme, že g = 9,7824 m/s2, z čoho môžeme usúdiť, že kilogramové závažie má na tomto mieste tiaž 9,7824 newtona. Vo všeobecnosti môžeme povedať, že pre každé teleso platí³

tiaž = hmotnosť násobená gravitačným zrýchlením = mg.

Obr. 3.5: Atwoodov pádostroj na "zmiernenie" gravitácie, na spomalenie voľného pádu.

Skúmanie voľne padajúcich telies je výbornou metódou k spoznaniu základných pohybových zákonov. Nakoľko voľný pád je dosť rýchly, aby sme ho mohli pozorovať pohodlne, vymyslelo sa k jeho spomaleniu mnoho dôvtipných zariadení: takým zariadením je napríklad Atwoodov pádostroj (obrázok 3.5). Jedná sa v podstate o dlhú zvislú tyč s ľahkou kladkou na vrchu točiacou sa bez trenia. Je doplnený súborom kovových závaží overenej hmotnosti; tieto môžeme zavesiť v ľubovoľnom množstve na konce šnúry vedenej cez kladku. S týmto zariadením – v závislosti od toho, že aké je jeho prevedenie (väčšinou sa jedná o 2 metre vysokú tyč vybavenú s presnými stopkami) – môžeme približne, alebo presnejšie merať dĺžku dráhy s a čas t, čím môžeme študovať vzťah medzi silou, hmotnosťou a zrýchlením.

Predpokladajme, že na jednom konci vlákna Atwoodovho pádostroja vytvoríme zo závaží záťaž s hmotnosťou 900 gramov, a na druhom konci záťaž s celkovou hmotnosťou 800 gramov. Je zrejmé, že ak pustíme šnúru, ťažšia strana (záťaž s hmotnosťou 900 gramov) začne klesať. Aké veľké bude zrýchlenie smerujúce smerom dole? Keby bola na oboch stranách záťaž 800 gramov, záťaže by boli vyvážené a nebolo by zrýchlenie; ak však rovnováha nie je, potom zrýchľujúcou silou bude tiaž prebytku 100 gramov na jednej strane.

Problém je v tom, že nepoznáme presne tiaž závažia s hmotnosťou 100 gramov. Keby túto knihu čítali výhradne len v Eagle City na Aljaške, mohli by sme s najväčším kľudom prehlásiť, že každé závažie s hmotnosťou 100 gramov má tiaž mg (newtonov), teda 0,100 × 9,8218 = 9,8218 newtona. V blízkosti Panamského prieplavu však bude mať hmotnosť 100 gramov tiaž 9,7824 newtona. Pokiaľ si však môžeme dovoliť chybu niekoľko desatín percenta, môžeme počítať tak, akoby

g = 980 cm/s2,alebo9,80 m/s2

všade na zemskom povrchu.

V Atwoodovom pádostroji bude urýchľujúca sila

(0,100 kg)(9,80 m/s2) = 0,980 N,tj.98000 dyn.

Táto sila urýchľuje obidve hmotnosti, teda celkom 900 + 800 = 1700 gramov, čo je 1,7 kilogramu. Zrýchlenie je potom

a = F m = 98000 dyn 1700 g = 57,6 cm/s2

alebo

0,980 N 1,700 kg = 0,576 m/s2.

Ak poznáme zrýchlenie, vieme určiť prejdenú dráhu, čas, rýchlosť atď. v každom prípade.

V súvislosti s Atwoodovým pádostrojom, s ktorým sme sa zoznámili, sa môžeme pýtať aj na iné veci. Aké napätie vzniká vo vlákne? Ak chytíme 0,900 kilogramové závažie a zabránime mu v pohybe, vlákno drží len tiaž 0,800 kilogramového závažia, a tá budí vo vlákne napätie 0,800 × 9,80 = 7,84 N(= 784000 dyn). Ak chytíme 0,800 kilogramové závažie, napätie vo vlákne sa rovná tiaži 0,900 kilogramového závažia, čo je 8,82 N. Je správny náš predpoklad, že keď závažia sa budú môcť pohybovať na pádostroji, tak napätie vlákna bude niekde medzi týmito dvomi hodnotami? Úloha sa dá vyriešiť, pokiaľ hľadíme len na jednu zo závaží – napríklad na 800 gramové –, a ostatné časti zariadenia necháme úplne bez povšimnutia (to je metóda, keď zložitý problém skúmame oddelením, „izolovaním“ jednej jej časti; pozri obrázok 3.6).

Pozrime sa teda na 0,800 kilogramové závažie, ktoré sa pohybuje smerom hore so zrýchlením 0,576 m/s2. Toto zrýchlenie spôsobuje sila F = ma = 0,800 × 0,576 = 0,4608 N smerujúca hore. Táto sila je výslednicou dvoch síl pôsobiacich na závažie: (1) napätia veľkosti T vo vlákne ukazujúceho smerom hore a (2) tiaže 7,84 N závažia smerujúcej dole. Nakoľko napätie T je väčšie ako tiaž závažia, môžeme písať nasledujúce⁴

T − mg = ma, T − (0,800 kg)(9,80 m/s2) = (0,800 kg)(0,576 m/s2) = 0,4608 N, T = 0,4608 + 7,84≐ ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION -->8,30 N.

Rovnakým spôsobom môžeme skontrolovať výsledok s izolovaným 0,900 kilogramovým závažím. Nakoľko toto závažie zrýchľuje smerom dole, jeho tiaž je väčšia ako napätie vo vlákne a preto

mg − T = ma, (0,900 kg)(9,80 m/s2) − T = = (0,900 kg)(0,576 m/s2)≐ ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION -->0,518 N, T = 8,82 − 0,518≐ ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION -->8,30 N.