3-3 Hmotnosť a tiaž

3-3 Hmotnosť a tiaž

Než by sme napísali Newtonov druhý zákon aj pomocou vzťahu, zastavme sa na minútku a povedzme si pár slov o pojme „hmotnosť“, o hmotnosti, ktorá má v tomto zákone tak dôležitú rolu. Akákoľvek hmota, hmotné teleso má dve všeobecné charakteristiky: pôsobí na neho gravitačná sila – má teda nejakú tiaž –, a kladie odpor zrýchleniu – teda má zotrvačnosť. Obidve vlastnosti sa dajú využiť k určeniu hmotnosti telesa.

Obr. 3.2: Tiaž kilogramového závažia závisí od zemepisnej polohy.

Tiaž telesa je niečo, čo môžeme merať bezprostredne pomocou pružinových váh. Zoberme napríklad vzorový kilogram (veľkou obozretnosťou vyrobenú kópiu prakilogramu stráženého v pivnici v Sèvres) a zavesme ho na pružinové váhy bez stupnice. Uvedomme si, než by sme zaznamenali polohu ručičky, že merania budeme robiť na rôznych miestach – najprv v meste Boulder, vo výške 1500 metrov nad morom (štát Colorado), potom na hladine mora v meste San Francisco. Druhé z uvedených miest je máličko bližšie k stredu Zeme – gravitačná príťažlivosť je väčšia, vzorový kilogram je ťažší, ručička pružinových váh sa zastaví máličko nižšie, než v prvom prípade. Ak s našimi váhami vyjdeme na vrchol Mount Everestu, do výšky 4346 metrov, tiaž vzorového kilogramu bude menšia, na váhach musíme nakresliť k tiaži toho istého vzorového kilogramu tretiu rysku (obrázok 3.2).

Ktorú z trojice rysiek budeme považovať za definitívnu? Akou stupnicou vybavia váhy výrobcovia? Nakoľko väčšina ľudskej populácie žije vo výškach blízkych morskej hladine, rysku označujúcu 1 kilogram vyryjú mierne nad znak, ktorý sme namerali v San Franciscu, zdá sa, že takto to musí byť správne. V každodennom živote používané váhy nie sú precízne prístroje a ani väčšiu presnosť nevyžadujú. Ak v rôznych výškach ukazujú váhy o chlp iné hodnoty, to nie je nebezpečné, lebo tí, ktorí používajú pružinové váhy, sú spokojní ich presnosťou.

Podstatou nášho bádania je, že tiaž gramu alebo kilogramu je závislá od miesta, kde ho meriame. Existujú samozrejme aj váhy iného druhu – napríklad jednoduché rovnoramenné váhy, alebo precízne analytické váhy (pozri obrázok 3.3) – používaním takýchto váh sa zbavíme spomínaných rušivých vplyvov okamžite. Zoberme napríklad kameň, ktorý je v meste Boulder presne vyvážený na rovnoramenných váhach našim vzorovým kilogramom. Tento kameň bude na rovnoramenných váhach v presnej rovnováhe aj v San Franciscu, aj na Mount Evereste. Pôsobenie gravitácie na kameň sa síce mení z miesta na miesto, ale vždy bude rovnaké, ako pôsobenie gravitácie na vzorový kilogram. Na základe takýchto úvah môžeme prijať za fakt, že hmotnosť kameňa je rovnaká, ako hmotnosť vzorového kilogramu. Ešte kratšie: hmotnosť kameňa je 1 kilogram. Aká je skutočná tiaž kameňa? To nie sme schopní povedať ani vypočítať dovtedy, pokiaľ nejakou inou cestou nie sme schopný zmerať, alebo vypočítať silu gravitačnej príťažlivosti na tom mieste, kde sme na túto tiaž zvedaví.

Tiaž je teda sila a to je niečo iné, než hmotnosť – napriek tomu, že v bežnom živote a v obchode veľmi často hovoríme o váhe (tiaži) niečoho a pritom máme na mysli hmotnosť. Gram a kilogram sú hmotnostné jednotky, ale ich tiaž meraná na 45°zemepisnej šírky na úrovni hladiny mora bola pred sústavou SI jednotkou sily. Vyjadrujeme to aj v ich názvoch: tiaž 1 gramu je 1 pond a tiaž 1 kilogramu je 1 kilopond.²

Predstavme si, že v neznámej nadmorskej výške zoberieme kameň a položíme ho na jeden z misiek rovnoramenných váh, a prikladaním závaží (aj toto je nesprávne pomenovanie, ale nič proti nemu nedokážeme urobiť) na druhú misku kameň vyvážime. Týmto spôsobom presne určíme hmotnosť kameňa v kilogramoch, alebo v gramoch, ale jeho tiaž nie. Ak použijeme presne ociachované pružinové váhy, sme schopní povedať aká je tiaž kameňa v newtonoch, ale nevieme aká je jeho hmotnosť. Aby sme dokázali ozrejmiť súvislosť medzi hmotnosťou a tiažou telies, musíme skúmať podrobnejšie zotrvačnosť (inerciu) telies.

Newtonov druhý pohybový zákon hovorí, že (v prípade rovnakých hmotností) zrýchlenie je priamo úmerné sile a (v prípade rovnakých síl) zrýchlenie je nepriamo úmerné hmotnosti. Pomocou vzorca to môžeme zapísať nasledovne

a = kF m .

Jednotku vzdialenosti a času sme už definovali, tie sú potrebné k meraniu zrýchlenia a, definovali sme aj jednotku hmotnosti (v sústave CGS gram, v MKS a SI kilogram). Ak chceme určiť jednotku sily, je účelné koeficient k vystupujúci v rovnici považovať za 1 (aj vedci 19-ho storočia to tak robili). V tomto prípade a = F∕m, čo máme vo zvyku zapisovať vo forme

F = ma.

Táto jednotka sily v sústave CGS sa nazýva dyn, v sústave MKS newton.

Jednotka sily kilopond je jednotkou sily v tzv. technickej sústave. V tejto sústave je jednotka sily základná veličina, inými slovami: neodvádza sa od jednotiek hmotnosti a zrýchlenia. V technickej sústave z jednotky sily a zrýchlenia dostávame jednotku hmotnosti, ktorého názov je technická jednotka hmotnosti (Tjh). Poznamenáme, že 1 Tjh = 9,81 kg.

Zhrňme doteraz známe jednotky do tabuľky

teda

1 dyn = 1 g cm/sec2 1 newton = 1 kg m/sec2 = 105 dyn 1 kilopond = 9,81 kg m/sec2 = 9,81 newton = 9,81 ⋅ 105 dyn.

Vypočítajme v rámci cvičenia, že akou veľkou silou musíme brzdiť vlakovú súpravu s hmotnosťou 200 ton a pohybujúcu sa rýchlosťou 24 m/s, aby sa zastavila za 2 minúty. Ak smer pohybu považujeme za kladný smer, potom potrebná zmena rýchlosti je

Δv = 0 − 24 = −24 m/sec,

zrýchlenie je teda

Δv∕t = −24∕120 = −0,20 m/sec2.

Hmotnosť sústavy v sústave SI je

m = 200000 = 2 × 105 kg,

a hľadaná sila je

F = ma = (2 × 105 kg)(−0,20 m/s2) = −4 × 104 N.

Záporné znamienko výsledku ukazuje, že smer sily je opačný, ako smer pohybu. K zastaveniu vlakovej súpravy je potrebná brzdiaca sila.

V druhom príklade uvažujme vozidlo, ktorého hmotnosť je 1500 kg a rýchlosť 20 m/s. Koľko metrov prejde vozidlo, než sa zastaví ak brzdiaca sila bude 12000 newtonov? Túto vzdialenosť vieme ľahko vypočítať, ak poznáme zrýchlenie; na základe Newtonovho druhého pohybového zákona ho vieme vypočítať z hmotnosti vozidla a z brzdiacej sily

F = ma;a = F m = 12000 N 1500 kg = 8 m/s2.

Ďalej

vt2 = v 02 + 2as 0 = (20 m/s)2 + 2(8 m/s2)s,s = − 400 (m/s)2 16 m/s2 = −25 m.

(V tomto príklade sme za kladný zobrali smer brzdiacej sily, teda aj zrýchlenie bola kladná veličina. Tento smer je opačný, ako smer pohybu vozidla. Znamienko vo výsledku − 25 m ukazuje, že vozidlo postupovalo pri brzdení v opačnom smere, než pôsobila brzdiaca sila a než sa zastavilo, postúpilo dopredu 25 metrov.)

Pozrime sa v rámci tretieho príkladu na to, že aké bude zrýchlenie elektrónu, ak elektrické pole pôsobí na elektrón s hmotnosťou 9 × 10−28 gram silou 1,8 × 10−10 dyn.

F = ma;a = F m = 1,8 × 10−10 dyn 9 × 10−28 g = 2 × 1017 cm/s2.