3-1 Veličiny popisujúce pohyb

3-1 Veličiny popisujúce pohyb

Aby sme mohli študovať správanie sa pohybujúcich sa telies, musíme preskúmať základný význam pojmu pohyb. Ktoré vlastnosti, charakteristiky pohybu vieme merať prípadne spočítať, aby nám pomohli v popise pohybujúcich sa telies? Dvojica takých činiteľov je zrejme dráha a čas potrebný na prejdenie dráhy, kým tretím je pojem priemernej rýchlosti. Zvykli sme si na to už všetci: ak do mesta, ktoré sa nachádza vo vzdialenosti 200 kilometrov dorazíme za 5 hodín, priemerná rýchlosť je 200 km∕5 h = 40 km/h. Aj keď na to nemyslíme, tak používame nasledujúci vzťah, „vzorec“

vpriem = s t ,

kde v označuje rýchlosť, s prejdenú dráhu a t čas potrebný na prejdenie dráhy s. Vynásobme obidve strany tejto rovnosti t a dostaneme

s = vpriemt.

Ak je napríklad priemerná rýchlosť 30 km/h, potom za 4 hodiny sa dostaneme do vzdialenosti (30 km/h)(4 h) = 120 km.

Je úplne zrejmé, že vpriem nám nehovorí nič o skutočnej rýchlosti v jednotlivých okamihoch. Auto spomalí, zastaví, zrýchli počas štvorhodinovej cesty mnohokrát. Potrebujeme preto nájsť nejaký iný spôsob pre popis pohybujúceho sa telesa – popis, ktorý zohľadní meniacu sa rýchlosť telesa.

Za týmto účelom zavádzame pojem zrýchlenia, ktoré definujeme ako mieru zmeny rýchlosti.

Poznamenávame, že kedykoľvek povieme „rýchlosť“, neznamená to len veľkosť rýchlosti, ale tiež jej smer: rýchlosť je vektorová veličina. Neskôr uvidíme, že v prípade telies pohybujúcich sa po kružnici existuje zrýchlenie aj vtedy, ak veľkosť rýchlosti je stále rovnaká, mení sa ale jej smer.

Nechajme však bez povšimnutia zmenu smeru a zaoberajme sa len s takými zmenami rýchlosti, pri ktorých sa mení veľkosť rýchlosti.

Ak stlačíme plynový pedál auta, rýchlosť začne rásť, napríklad z 5 km/h na 40 km/h za 10 sekúnd. Vzorec zodpovedajúci definícii zrýchlenia je

a = Δv t .

(Δ, veľké grécke písmeno delta – jedna z matematických skratiek – znamená skoro vždy „zmenu“. Táto zmena je pozitívna, ak príslušná veličina rastie, je negatívna, ak klesá.)

Dosaďme do nášho vzorca naše údaje

a = 40 km/h − 5 km/h 10 s = 35 km/h 10 s = 3,5 km/h/s,

čo znamená, že rýchlosť vzrastie každú sekundu o 3,5 km/h. Toto je dosť nešikovná (aj keď naprosto správna) veličina; zrýchlenie udávame skôr v jednotkách m∕s∕s, teda m∕s2 (prípadne v cm∕s2).

Ak sa teleso dostáva do pohybu z pokoja a pohybuje sa so stálym zrýchlením a m/s2, potom na konci druhej sekundy sa bude pohybovať rýchlosťou 2a m/s2 a tak ďalej. Úplne všeobecne môžeme písať, že na konci t−tej sekundy sa bude pohybovať rýchlosťou

v(t) = at.

Tento vzťah sa dá úspešne použiť v mnohých prípadoch, ale často potrebujeme taký vzorec, v ktorom vystupuje aj vzdialenosť telesa od východiskového bodu. Aby sme sa k tomuto vzorcu dostali, pozrime si obrázok 3.1a, na ktorom sme graficky znázornili priebeh rýchlosti v závislosti od času v prípade rovnomerného zrýchlenia – tj. v prípade, keď zrýchlenie a sa nemení, je konštantné. Keďže prírastok rýchlosti za každú sekundu je rovnaký, graf je priamka a priemerná rýchlosť (vpriem) v nejakom časovom intervale sa rovná rýchlosti uprostred tohto časového intervalu. Napríklad v časovom intervale, ktorý trvá od t = 2 do t = 4 je priemerná rýchlosť 3a, je rovná rýchlosti, ktorá patrí k časovému okamihu t = 3. Ak pohyb začína z pokoja v okamihu t = 0, potom priemerná rýchlosť pohybujúceho sa telesa za prvých t sekúnd sa rovná 1 2 at. Na obrázku 3.1b môžeme vidieť aj číselný príklad.

Dráhu, ktorú teleso prejde dostaneme tak, že priemernú rýchlosť vynásobíme dobou pohybu. (Auto s priemernou rýchlosťou 40 km/h prejde za 5 hodín 200 kilometrov.) Môžeme teda písať, že

s = vpriem ⋅čas = 1 2 at ⋅ t = 1 2 at2.

Z rovníc, ktoré sme dostali doteraz, sa dostaneme k tretej vylúčením času. Je známe, že vt = at, odtiaľ t = vt∕a a takto t2 = vt2∕a2. Dosaďme tento výsledok do vzťahu s = 1 2 at2

s = 1 2 ⋅ a ⋅vt2 a2 = vt2 2a avt2 = 2as.

Pohybové rovnice, ktoré sme obdržali môžeme používať len vtedy, ak zrýchľujúce sa teleso vyrážalo z pokoja. Vzťahy však chceme zapísať aj pre také telesá, ktoré sa pred zrýchlením už pohybovali určitou rýchlosťou v0.

Vzťah vt = at hovorí, že ako sa zväčšuje rýchlosť v dôsledku zrýchlenia. K tejto veličine musíme jednoducho pridať rýchlosť v0, ktorú teleso malo na začiatku a okamžite dostávame obecnejší výraz: vt = v0 + at.

Nasledujúci vzťah s = 1 2 at2 udáva do akej vzdialenosti sa dostalo zrýchľujúce sa teleso. Keby sa pohybovalo bez zrýchlenia so začiatočnou rýchlosťou v0, za t sekúnd by prešlo dráhu v0t. Sčítajme tieto dva údaje: s = v0t + 1 2 at2.

Podobne sa dostaneme aj k našej tretej rovnici: vt2 = v02 + 2as.
Napíšme si tieto tri rovnice s krátkymi poznámkami

To, že ktorý (ktoré) zo vzťahov použijeme závisí len od toho, že čo je v danej úlohe dané a čo hľadáme. Hľadajme napríklad zrýchlenie auta, ktoré zrýchli za 15 sekúnd z rýchlosti 20 m/s na rýchlosť 80 m/s. Poznáme teda v0, vt a t; nepoznáme a. V našej prvej rovnici máme všetky tieto veličiny, preto píšeme, že

80 m/s = 20 m/s + (15 s)a 15a = 80 − 20 = 60 m/s2 a = 60 15 = 4 m/s2.

Ďalej by sme chceli vedieť, že koľko metrov auto prešlo počas zrýchľovania. Nakoľko zrýchlenie už poznáme, môžeme použiť tretiu rovnicu

(80 m/s)2 = (20 m/s)2 + 2(4 m/s2)s 8s = 6400 − 400 = 6000 m s = 6000 8 = 750 m.

(Mohli by sme sa k tomuto výsledku dopracovať aj inou cestou?)

V tomto príklade má zrýchlenie, rýchlosť a posunutie (dráha¹) všade súhlasný smer. Často je však situácia odlišná a v takých prípadoch sa musíme poriadne pozrieť kam napísať znamienko + a kam −. Nech sa pohybuje auto v severnom smere rýchlosťou 30m∕s. Šofér brzdí a znižuje rýchlosť v každú sekundu o 5 m/s. Toto zníženie rýchlosti je spomalenie, čo zo stávajúcej rýchlosti musíme odčítať, ale môžeme na neho hľadieť aj ako na zrýchlenie v južnom smere. Ak znamienko + priradíme vektoru ukazujúcemu v severnom smere, potom zrýchlenie bude: a = −5 m/s2. Za aký čas sa autu podarí zastaviť zistíme z rovnice vt = v0 + at. Nakoľko konečná rýchlosť je vt = 0,

0 = +30 m/s − (5 m/s2)tat = 6 s.