25-1 de Broglieho vlny

25-1 de Broglieho vlny; 25-2 Relácia neurčitosti; 25-3 Vlny pravdepodobnosti;

25-1 de Broglieho vlny

Bohrova teória atómu síce úspešne vysvetlila známe fakty súvisiace s atómami, ako aj ich vlastnosti, trojica postulátov teórie však zostala dosť dlho nezdôvodnená. K pochopeniu záhadnej myšlienky Bohrových kvantových dráh urobil francúzsky fyziky Louis de Broglie¹, keď sa pokúsil nájsť analógiu medzi diskrétnymi energetickými hladinami charakterizujúcimi vnútorný stav atómu a medzi diskrétnymi mechanickými kmitmi strún huslí, či píšťal varhán.

Box 25-1 Louis de Broglie a jeho objav

Louis Victor Pierre Raymond de Broglie [lui dö broi] (u nás často [de brojli]) (15.08.1892 - 19.03.1987) francúzsky fyzik, nositeľ Nobelovej ceny za fyziku za rok 1929, „za objav vlnovej povahy elektrónov“. Myšlienku vlnovej povahy elektrónu rozpracoval vo svojej doktorskej práci. Jeho brata, Maurice de Broglie, poverili na prvej Solvayskej konferencii v Bruseli roku 1911 zhotovením zápisnice. Konferencia bola venovaná klasickej fyzike a kvantovej teórii za prítomností legendárnych postáv (Henry Poincaré, Madame Curie, Max Planck, Lorentz, Rutherford, Wien, Einstein, Kamerlingh Ones, Langevin a iní). Louis de Broglie zápisnicu prečítal s veľkým nadšením, a začala ho zamestnávať myšlienka, ktorú si všimli v polovici 19-ho storočia írsky matematik W.H.Hamilton aj nemecko-ruský inžinier a fyzik Moritz von Jacobi, že pohybové rovnice pre hmotné body a pre vlnenie vykazujú prekvapivé podobnosti. Vedecký svet však to bral len ako matematickú zaujímavosť. Louis de Broglie si začal klásť otázky, či táto podobnosť má hlbší fyzikálny význam, z ktorého pramenia kvantové vlastnosti atómov.
Louis de Broglie bol prvým fyzikom veľkého formátu, ktorý propagoval založenie organizácie pre výskumu jadra na európskej pôde, čo viedlo k vzniku CERN. Bolo potrebné zabrániť odlivu odborníkov z Európy do Ameriky. Pred druhou svetovou vojnou, i počas nej Európu opustilo okolo tisíc vedcov svetového formátu zo všetkých oblastí. Medzi týmito vedcami bolo aj 12 nositeľov Nobelovej ceny za rôzne oblasti, ktorí vychovali ďalších vedcov (47 získalo Nobelovu cenu). Medzi prichádzajúcim vedcami boli fyzici, matematici, astronómovia, inžinieri, biológovia, chemici, lekári, ekonómovia, psychológovia, politológovia, jednoducho z každej vedeckej oblasti. Len pár mien: (fyzici) Albert Einstein, Niels Bohr, Enrico Fermi, Eugene Wigner, Hans Bethe, James Franck, Lyman Spitzer, Otto Stern, V.F. Weisskopf, a iní, (matematici) John von Neumann, Kurt Gödel, a iní, a mnohí iní.

Obr. 25.1:de Broglieho vlny aplikované na prvé tri trajektórie Bohrovho modelu atómu vodíka.

„Bolo by možné – položil si de Broglie otázku – že vlastnosti žiarenia atómov sú dôsledkom nejakých stojatých vĺn uzavretých v atóme?“

Vychádzajúc z tejto predstavy de Broglie vyslovil hypotézu, že pohyb elektrónov v atóme sa združuje s určitou vlnovou charakteristikou, ktorú nazval pilotnou (vodiacou) vlnou.

Podľa tejto neobvyklej predstavy každý elektrón atómu je doprevádzaný stojatými vlnami po celej dráhe obiehajúcej jadro atómu. Ak je tomu tak, potom sú možné len také dráhy, ktorých dĺžka je celočíselným násobkom de Broglieho vĺn. Na obr. 25.1 je znázornené, ako použijeme de Broglieho myšlienku na prvé tri Bohrove trajektórie. Pokiaľ chceme, aby na $n$ -tú dráha sa zmestilo $n$ vlnových dĺžok ( $λ_{n}$ ), musí platiť nasledujúca relácia

$n λ_{n} = 2 π r_{n} .$

Pri prejednávaní Bohrovho modelu atómu vodíka sme dostali, že

$r_{n} = \frac{n^{2} ℏ^{2}}{m K e^{2}}, kde K = \frac{1}{4 π 𝜀_{0}} = 8, 99 \times 1 0^{9} m/F$

Dosaďme tento výsledok do predchádzajúcej rovnice

$n λ_{n} = 2 π \frac{n^{2} ℏ^{2}}{m K e^{2}},$

alebo po zjednodušení

$λ_{n} = 2 π \frac{n ℏ^{2}}{m K e^{2}} .$

Tento výraz sa dá ešte zjednodušiť, pokiaľ si spomenieme na iný vzťah z Bohrovho modelu atómu vodíka, na vzťah pre rýchlosť elektrónu na $n$ -tej trajektórii

$v_{n} = \frac{K e^{2}}{n ℏ} .$

Dosaďme vo vzťahu pre $λ_{n}$ za $n ℏ ∕ (K e^{2})$ výraz $1 ∕ v_{n},$ a dostaneme (tu $ℏ = h ∕ (2 π)$ )

$λ_{n} = 2 π \frac{ℏ}{m v_{n}} = \frac{h}{m v_{n}} .$

Tento značne jednoduchší výraz vyjadruje tú základnú de Broglieho hypotézu, že pilotná vlna doprevádzajúca pohybujúcu sa časticu má vlnovú dĺžku rovnú podielu Planckovej konštanty a hybnosti častice.

Výsledok sme síce získali len pre elektrón v Bohrovom modeli atómu vodíka, pokiaľ však tieto záhadné pilotné vlny skutočne doprevádzajú elektróny, potom to isté by malo platiť aj pre voľné elektróny vo zväzku elektrónov, v elektrónovom lúči. Pokiaľ je pohyb elektrónu spojený v lúči elektrónov nejakou vlnovou dĺžkou, potom elektrónový lúč musí podliehať rovnako tak interferencii a ohybu, ako lúče svetla (tie sa skladajú z fotónov). Predpokladáme, že vo zväzku pohybujúcich sa elektrónov ich vlnovú dĺžku popisuje ten istý vzťah, ako vlnovú dĺžku elektrónov pohybujúcich sa v atóme

$λ = \frac{h}{m v} .$

Bragg — Obr. 25.2:Röntgenové lúče odrážajúce sa od atómov usporiadaných do kryštalickej mriežky na pvrchu kryštálu.

Laboratórne elektrónové lúče (napr. vo vákuovej trubici) majú túto vlnovú dĺžku výrazne kratšiu, než je vlnová dĺžka viditeľného svetla: sú porovnateľné skôr s vlnovou dĺžkou röntgenového žiarenia, lebo ich vlnová dĺžka je okolo $1 0^{- 10} m$ . Bolo by márne očakávať ohyb, elektrónovú difrakciu na optickej mriežke. Namiesto toho bolo nutné použiť metódu používanú pre röntgenové žiarenie. Fyzici skúmajú spektrum röntgenového žiarenia pomocou „kryštalografie“, ktorú vypracovala dvojica anglických fyzikov, W.H. Bragg² a W.L. Bragg³ (otec a syn). Susedné vrypy na najjemnejších optických mriežkach sa nachádzajú od seba vo vzdialenosti niekoľkých tisíc Å, preto sa nedajú použiť na skúmanie takých žiarení, ktorých vlnová dĺžka je okolo $1 Å$ . Príroda nám však dodala iné vhodné mriežky. Videli sme, že priemer atómov je niekoľko Å, a pravidelné kryštály kovov, solí a iných látok obsahujú atómy usporiadané do radov a vrstiev v tejto vzdialenosti (obr. 25.2).

Obr. 17.8:Smer, v ktorom optická mriežka zosilňuje na ňu dopadajúce svetlo, závisí od vlnovej dĺžky. Čím je vlnová dĺžka svetla väčšia, tým je väčší uhol ohybu – opačne, ako v prípade hranola.

S prísnou pravidelnosťou rozmiestnené atómy kryštálov odrážajú na nich dopadajúce svetlo, a rozptylujú do určitých smerov – rozptýlené Huygensove vlny sú totiž vo fáze len v určitých smeroch. Ich správanie sa podobá správaniu sa vĺn prechádzajúcich transmisnými mriežkami, ktoré sme znázornili na obr. 17.8 na strane §. Vznikajúci interferenčný obraz je, samozrejme, zložitejší, lebo kryštál je rovnocenný trojici optických mriežok, ktoré sú na seba približne kolmé v troch rozmeroch.

ohyb röntgenového lúča — Obr. 25.3:(a) Ohyb röntgenového lúča na pilinách hliníku. Vlnová dĺžka žiarenia $0, 71 Å$ . (b) Ohyb elektrónového zväzku na tenkej doštičke hliníka. Vlnová dĺžka elektrónov $0, 50 Å$ . (Pôvodné obrázky mali odlišné rozmery: tu sme kvôli porovnaniu upravili rozmery obrázkov.)

Vzory na obr. 25.3a vytvorilo röntgenové žiarenie prechádzajúce vrstvou tvorenou pilinami kryštalického hliníku. Röntgenový lúč rozptýlený na pravidelne rozmiestnených atómoch jediného kryštálu, vytvorí na fotocitlivej doske vzorku pozostávajúcu z bodov. Piliny predstavujú mnoho kryštálov orientovaných náhodne do všetkých možných smerov, a každý vytvára podobný obrazec, tie sú však pootočené okolo osi röntgenového lúča; body nachádzajúce sa v rovnakej vzdialenosti od stredu lúča potom vytvárajú kružnice.

Dvojica amerických fyzikov C.J. Davisson⁴ a L.H.Germer⁵ použila vo svojich elektrónových difrakčných experimentoch podobné zariadenie, rozdiel bol len v tom, že namiesto röntgenových lúčov použili elektrónové lúče. Elektróny urýchlili – podobne ako v röntgenovej trubici – elektrickým napätím medzi katódou aa anódou. Elektrónový lúč nechali dopadnúť na povrch kryštálu, a výsledok bol interferenčný obraz, dokonalý dôkaz de Broglieho hypotézy.

Box 25-2 Davissonov a Germerov experiment

Clinton Joseph Davisson [klinton džosef dejvisn] (22.10.1881 - 01.02.1958) americký fyzik, nositeľ Nobelovej ceny za fyziku za rok 1937, spolu s G.P. Thomsonom (syn J.J. Thomsona), „za experimentálny objav difrakcie elektrónov na kryštáloch“. Experimenty vykonávali spolu s Lesterom Germerom v Bellových laboratóriách.
Zaujímavosťou je, že k objavu došlo náhodou. Davisson skúmal od roku 1921 poruchy na povrchu multi kryštalického niklu (nikel z drobných kryštálov). Neskôr sa k nemu pripojil Germer, ktorého Davisson tútoroval. Predpokladali, že ak budú povrch niklu bombardovať pomalými elektrónmi, ktoré sú drobné guličky, bude možné získať informáciu o poruchách v kryštáloch. Aby vylúčili prípadné zrážky elektrónov s inými atómami, experiment vykonávali vo vákuovej trubici. Došlo však k nehode a do trubice sa dostal vzduch. Aby odstránili oxidáciu niklu, kryštál zohriali. Po zohriatí však došlo k nežiadanému vytvoreniu veľkých kryštálov niklu, a dopadajúci zväzok elektrónov sa rozptyľoval „zvláštnym“ spôsobom. V roku 1926 sa Davisson zúčastnil prednášky Maxa Borna, ktorý na jeho prekvapenie, citoval ich prácu z roku 1923, ako dôkaz de Broglieho hypotézy, že elektróny majú vlnovú dĺžku. Po návrate do Spojených štátov sa až do roku 1927 venovali vylepšeniu experimentu na merane vlnových vlastností elektrónu.

Obrázok 25.3b ukazuje interferenčný obraz elektrónového lúča prechádzajúceho hliníkovou doskou v experimente G.P.Thomsona⁶. Elektróny nevnikajú tak hlboko do látky, aby dokázali prejsť vrstvou pilín hliníka, ale tenká doštička hliníka v podstate hrá tú istú úlohu, ako piliny. Síce to nemôžeme v prípade doštičky vidieť, ale doštička sa skladá z veľkého počtu mikroskopických kryštálikov orientovaných všetkými možnými smermi (multikryštál). Difrakčný obrázok získaný lúčom elektrónov je dokonalou kópiu tej, ktorá sa zhotovila röntgenovým lúčom.

Pozrime sa na príklad, v ktorom elektróny sú urýchlené „elektrónovým delom“ napätím $200 V$ . Nakoľko $200 V = 200 J/C$ a elektrón má elektrický náboj veľkosti $1, 60 \times 1 0^{- 19} C$ , elektrické pole dodá elektrónu energiu $E = V q = (200 V) (1, 60 \times 1 0^{- 19} C) = 3, 2 \times 1 0^{- 17} J .$ Je to kinetická energia elektrónu, tj. (v základných jednotkách SI) $\frac{1}{2} m v^{2} = 3, 2 \times 1 0^{- 17},$ odkiaľ $v^{2} = 2 \times 3, 2 \times 1 0^{- 17} ∕ (9, 11 \times 1 0^{- 31}) = 7, 0 \times 1 0^{13} .$ Rýchlosť elektrónu je teda $v = \sqrt{7, 0 \times 1 0^{13}} = 8, 4 \times 1 0^{6} m/s .$ Teraz môžeme použiť de Broglieho vzťah pre výpočet vlnovej dĺžky spojenej s pohybujúcim sa elektrónom

$λ = \frac{h}{m v} = \frac{6, 63 \times 1 0^{- 34} J \cdot s}{(9, 11 \times 1 0^{- 31} kg) (8, 4 \times 1 0^{6} m/s)} = 8, 6 \times 1 0^{- 11} m = 0, 86 Å .$

Táto veľkosť vlnovej dĺžky je optimálna pre väčšinu kryštálov, aby sa dala preukázať ich pomocou difrakcia elektrónov, ktoré sa pohybujú rýchlosťou rádovo $1 0^{6} - 1 0^{7} m/s$ .

O niekoľko rokov neskôr nemecký fyzik Otto Stern⁷ použil v experimente Davisson a Germera namiesto elektrónov zväzky atómov sodíka (obr. 25.4), a zistil, že aj v tomto prípade je prítomná difrakcia (teraz sodíkového lúča). Tým sa stalo definitívne jasné, že tak malé čiastočky hmoty, ako atómy a elektrón po odhalení vlnových vlastností spojených s ich pohybom, si vynútia podstatnú modifikáciu základných pojmov klasickej, newtonovskej mechaniky.

Sternov experiment — Obr. 25.4:Preukázanie ohybu (difrakcie) atómov v Sternovom experimente. Z pece o vylietajúcich atómov diafragma D vymedzuje úzky lúč atómov Tieto atómy sa odrážajú od povrchu kryštálu a sú registrované radom detektorov (B). Výsledky merania ukázali, že najviac atómov sa odrazilo podľa zákona odrazu (uhol odrazu sa rovná uhlu dopadu), ale registrovali sa aj maximá zodpovedajúce difrakčnému rozptylu druhého rádu na mriežke.

Zdá sa, že dôrazné rozlišovanie medzi vlnou a časticou stratilo svoje opodstatnenie. Existuje veľa experimentov, v ktorých sa svetlo javí nepochybne vlnením, ale napr. vo fotoelektrickom jave sa energia sústredí na jediný elektrón, akoby svetlo bolo guľôčkou. Teraz sme však pracovali s elektrónmi, atómami, ktoré sú nepochybne častice, a predsa, v niektorých experimentoch javia vlnové vlastnosti.

Vlnový a časticový charakter konkrétneho objektu sa javí rozporuplným, pokiaľ sa v prípade jedného svetelného lúča či elektrónu opýtame „ktoré je v skutočnosti to správne chápanie“. Moderní fyzici nepovedia ani na jedno chápanie, že je „správne“. Pokúsili sme sa mikroskopický svet fotónov a atómov urobiť názorným vlnkou na vode a guličkou. Svet atómov a fotónov však nemôžeme opísať tými istými pojmami a obrazmi, akými opisujeme javy v makroskopickom svete veľkých hmotností. Nemožnosť toho dokazuje dilema vlna-častice, a pokus to urobiť nás privedie k protirečeniam. Fyzik má matematické rovnice, ktorých riešenie dá správnu odpoveď, nech sa už jedná o vlnu, či časticu – k rovniciam sa však nepridržujú názorné modely, alebo obrazy. Musíme sa naučiť nepýtať sa spôsobom „ktorý model je správny“, ani nemáme myslieť na nejaký model. Pre nás nie je schodná ani jedna klasická cesta. Erwin Schrödinger rozpracoval na skúmanie týchto otázok zložitú matematickú metódu – ktorá je predmetom veľmi dôležitej ale veľmi náročnej partie modernej fyziky – vlnovú mechaniku, dnes nazývanú kvantová mechanika.

Box 25-3 Klokan a elektrón

Táto situácia nakoniec nie je pre nás tak cudzia. Keď prídeme do novej krajiny, kde dlhochvostý vysoký tvor poskakuje na dvoch nohách, a vo vaku na bruchu nosí svoje mláďa, nemáme pre neho meno, nevieme ho prirovnať k ničomu, čo sme doteraz videli a čo poznáme. Niekto ho nazve klokanom, a keď s týmto tvorom sa budeme stretávať a spoznávať jeho zvyky, postupne sa zabuduje do nášho jazyka. Po dostatočne dlhom čase už klokan je súčasťou nášho jazyka, a môžeme si s sním aj pomôcť, keď chceme byť názorný. A bude to fungovať, lebo sa zabudoval do jazyka i do našej predstavivosti. Obdobne tomu tak je aj s práve popísanými vlastnosťami elektrónu alebo iných elementárnych častíc. Dokonca sme to aj pomenovali časticovo-vlnový dualizmus. Pod týmto pojmom dnes rozumieme všetky tie vlastnosti, ktoré boli v experimentoch objavené a sú spojené s tým, že častice ako elektrón majú aj vlnové vlastnosti, a vlnenia ako svetlo majú tiež časticové vlastnosti – všetky tie interferenčné experimenty, fotoelektrické javy, Comptonove rozptyly a podobne. Rozšírili sme si svoj slovník, kde pojem časticovo-vlnový dualizmus dáva zmysel len preto, že poznáme tie experimenty s fotónmi, elektrónmi a inými časticami, ktoré mu dávajú obsah na základe tých experimentov. Ak chceme pochopiť čo ten pojem znamená, tak musíme skúmať nie etymológiu slovného spojenia časticovo-vlnový dualizmus, ale experimenty, v ktorých častice a vlnenia prejavia svoje vlastnosti, ktoré slovné spojenie časticovo-vlnový dualizmus vyjadruje.
Medzi lingvistami sa traduje anekdota, že keď prví Európania z posádky Jamesa Cooka stretli domorodých Aboriginov v Austrálii, ukázali na klokana v diaľke a spýtali sa „Čo to je?“, lebo takého živočícha ešte nevideli. Aboriginovia sa na seba pozreli, potom sa obrátili k Európanom a povedali gaNgurru – a preto sa vo väčšine jazykov nazýva klokan kangaroo, kanguru, kenguru, kengura a podobne. Aboriginovia však povedali „Nerozumiem ti.“. Dodajme, v plnej vážnosti, že sa jedná o úsmevnú anekdotu, v ktorej lingvisti skôr narážajú na paradoxy etymológie, keď skutočný pôvod slova a jeho význam vôbec nepoznáme (napríklad pôvod a pôvodný význam anglického slova pre psa dog nie je známy, ale nie je známy ani pôvod a pôvodný slova pes v slovanských jazykoch, a príkladov je nespočetne).
Podľa výskumu slovo gaNgurru znamená v jazyku Guugu Yimidhirr (jazyk Aboriginov v povodí Endeavour) „veľký čierny klokan, resp. východný šedý klokan“.[Online Etymology Dictionary, heslo: kangaroo].

¹Louis Victor Pierre Raymond de Broglie [lui dö broi] (u nás často [de brojli]) (15.08.1892 - 19.03.1987) francúzsky fyzik, nositeľ Nobelovej ceny za fyziku za rok 1929, „za objav vlnovej povahy elektrónov“.

²Sir William Henry Bragg [viliem henry bragg] (02.07.1862 - 12.03.1942), anglický fyzik, získal Nobelovu cenu za fyziku za rok 1915 spolu so synom Lawrencom, „za zásluhy pri analýze kryštálovej štruktúry pomocou röntgenového žiarenia“.

³Sir William Lawrence Bragg [viliem lorens bragg] (31.03.1890 - 01.07.1971), anglický fyzik, získal Nobelovu cenu za fyziku za rok 1915 spolu so svojim otcom Henrym, „za zásluhy pri analýze kryštálovej štruktúry pomocou röntgenového žiarenia“. Sformuloval Braggovu rovnicu.

⁴Clinton Joseph Davisson [klinton džosef dejvisn] (22.10.1881 - 01.02.1958) americký fyzik, nositeľ Nobelovej ceny za fyziku za rok 1937, spolu s G.P. Thomsonom (syn J.J. Thomsona), „za experimentálny objav difrakcie elektrónov na kryštáloch“.

⁵Lester Halbert Germer [lester žermer] (10.10.1896 - 03.10.1971), americký fyzik, spolupracoval s Davissom na experimente, ktorý je po nich pomenovaný: Davissonov-Germerov experiment. Germerovi Nobelova cena za fyziku nebola udelená.

⁶Sir George Paget Thomson [džordž padžet tomson] (03.05.1892 - 10.09.1975), syn J.J. Thomsona, nositeľ Nobelovej ceny za fyziku za rok 1937 (spolu s Davissom), „za experimentálny objav difrakcie elektrónov na kryštáloch“

⁷Otto Stern [oto štern] (17.02.1888 - 17.08.1969) nemecko-americký fyzik, nositeľ Nobelovej ceny za fyziku za rok 1943, „za jeho prínos k rozvoju metódy molekulárneho lúča, a za objav magnetického momentu protónu.“

25-2 Relácia neurčitosti