24-1 Kvantové čísla

24-1 Kvantové čísla

Už sme sa zoznámili s možnými dráhami elektrónov v atóme vodíka, ktoré vyhovujú kritériám Bohra a Sommerfelda, a môžeme prejsť k otázke štruktúry atómov s  väčším počtom elektrónov.

Bohr zaviedol hlavné kvantové číslo n. V jeho modeli kvantoval hodnotu momentu hybnosti, inými slovami, vyznačil pre moment hybnosti len určité (dovolené) hodnoty. Toto sa však zmenilo. Naďalej zachováme n, ako hlavné kvantové číslo, ale vzťahuje sa odteraz na energetickú hladinu elektrónu, ktorá je kvantovaná tiež, môže teda nadobudnúť len určité hodnoty (n = 1,2,3,… ⁡<!--FUNCTION APPLICATION-->), ako sme to už zaviedli.

Druhé kvantové číslo je vedľajšie kvantové číslo l (je zvykom nazývať tiež dráhové, či orbitálne kvantové číslo), ktoré sa objavilo po zavedení eliptických trajektórií Sommerfeldom. Toto kvantové číslo lepšie charakterizuje moment hybnosti elektrónu, ktorý závisí od eliptičnosti dráhy. Kružnicová trajektória má maximálny moment hybnosti; trajektória, ktorá prechádza jadrom atómu má nulový.Skúmaním spektier rôznych atómov sa zistilo, že vedľajšie kvantové číslo môže nadobúdať len celočíselné hodnoty medzi 0 a n − 1. Napríklad, ak n = 1, potom hodnota vedľajšieho kvantového čísla môže byť len l = 0; ak n = 3, potom l = 0,1 alebo 2. V prípade atómu vodíka, kde je len jeden elektrón, pretiahnutý tvar (eliptičnosť) trajektórie moc nezaváži (až na malú relativistickú korekciu), pri danej hodnote n je energia v podstate stále tá istá. V prípade väčších atómov (presnejšie, kde je viac elektrónov), je závislosť od tvaru trajektórie už významnejšia. Na obr. 24.1 je schematický náčrt štruktúry atómu sodíka; tento atóm má 11 elektrónov, lebo elektrický náboj jadra atómu je + 11e. Ak 11-tý elektrón sa pohybuje na kružnicovej trajektórii, 10-ty elektrón svojim elektrickým nábojom čiastočne tieni náboj jadra atómu. Pokiaľ sa však pohybuje po eliptickej trajektórii, potom prenikne do tieniacej oblasti, a časť svojho obehu strávi pod pôsobením silnej elektrostatickej príťažlivosti jadra. Preto energia elektrónov na dráhach s rôznymi hodnotami l sa môže významne líšiť aj vtedy, keď ich hlavné kvantové číslo n je rovnaké.

V spektroskope pozorované jednoduché spektrálne čiary sa rozštiepili na viac čiar, pokiaľ žiariaci plyn bol pod vplyvom silného magnetického poľa – tento jav sa podarilo interpretovať na základe Bohrovho modelu atómu. Elektróny obiehajúce na svojich trajektóriách môžeme chápať, ako malé elektrické slučky, v  ktorých obiehajúci elektrón predstavuje elektrický prúd – ten vytvára magnetické pole kolmé na rovinu obiehania elektrónu (rovinu slučky). Zistili, že za prítomnosti vonkajšieho magnetického poľa magnetické pole slučky (a tým aj orientácia roviny obiehania elektrónu) nemôže ukazovať v ľubovoľnom smere, ale aj tento smer je kvantovaný. Magnetické pole slučky (meraná v určitých jednotkách, s čím sa tu nezaoberáme) sa vo vonkajšom magnetickom poli môže orientovať len tak, že jeho zložka v smere vonkajšieho poľa je celé číslo m, ktoré nazývame magnetické kvantové číslo. Nakoľko magnetické pole (prakticky jeho magnetický moment) je úmerný l, dovolené smery sa dajú určiť tak, ako to ukazuje obrázok 24.2. Ak l = 1, možné hodnoty m sú − 1,0,1; ak l = 2, možné hodnoty m sú − 2,−1,0,1,2 a obdobne je to aj pre väčšie hodnoty vedľajšieho kvantového čísla l. Vo všeobecnom prípade, pre dané l, počet možných hodnôt m je 2l + 1 (celé čísla od − l po l). Samozrejme, ak l = 0, potom jediná možná hodnota je m = 0.

V súvislosti s jemným rozštiepením spektrálnych čiar musíme spomenúť ešte pojem spinu elektrónu. Spomenuli sme už v súvislosti s Bohrovým modelom atómu, že na elektrón môžeme hľadieť, ako na rotujúcu guľu so záporným elektrickým nábojom – čo dodáva elektrónu vlastné magnetické pole. Aby sa dali vysvetliť niektoré detaily spektra atómov, bolo potrebné konštatovať, že aj spin (rotácia) elektrónu je kvantovaný. Rotácia elektrónu vyvoláva magnetické pole, ktorého vektor magnetického momentu je rovnobežný s osou rotácie elektrónu – tento magnetický moment pod vplyvom vonkajšieho magnetického poľa sa orientuje buď v  smere vonkajšieho magnetického poľa, alebo v opačnom smere než ukazuje vonkajšie magnetické pole. Tým sme sa dostali ku štvrtému (a tým poslednému) kvantovému číslu, ktoré nazývame spinové kvantové číslo, ktorej hodnota s môže byť + 1 2 alebo −1 2 . (Dve veci: za prvé, líšia sa o 1 zrovna tak, ako sa líšia susedné možné hodnoty v prípade všetkých ostatných kvantových čísiel; za druhé, preto musíme brať 1 2, lebo magnetický moment pochádzajúci zo spinu je presne polovica magnetického momentu pochádzajúceho z  m = 1.)

Vidíme, že elektrón v atóme vodíka zaujme ten stav (zo všetkých možných), v  ktorom má najmenšiu možnú energiu (n = 1). Ak ho vybudíme, dostane sa do energeticky vyššieho stavu, odkiaľ sa môže dostať naspäť buď jediným skokom, alebo medziskokmi (zase do stavu s n = 1), pričom nadbytočnú energiu vyžiari pri každom samostatnom skoku jediným fotónom. Ak teda zoskočí naspäť v dvoch skokoch, vyžiari dva fotóny. Deje sa to rovnako aj v prípade atómov s viacerými elektrónmi?

Pokiaľ by tomu tak bolo, v nevybudenom stave by sa všetky elektróny atómu (v prípade napr. lawrencia 103 elektrónov) nasúkali na prvú Bohrovu trajektóriu. Čím by bolo atómové číslo väčšie, tým viac nahustená by bola táto trajektória, pričom by sa zmenšil aj polomer trajektórie, lebo rastom atómového (tj. protónového) čísla rastie príťažlivá sila jadra.

Keby to bola pravda, rozmer atómov by sa prudko zmenšoval rastom atómového čísla, a napríklad, atóm olova by bol výrazne menší, než atóm hliníka. Experimenty však ukazujú, že tomu tak nie je; objem atómov, v závislosti na atómovom čísle, sa síce periodicky mení, ale v podstate zostáva skoro rovnaký v  celej periodickej tabuľke prvkov. Aby sa vysvetlilo, že nedochádza k  prehusteniu elektrónov na najnižších trajektóriách, rakúsky fyzik W Pauli¹ vyslovil ďalší obmedzujúci princíp pre elektróny.
Pauliho vylučovací princíp hovorí: v atóme sa nemôžu nachádzať dva elektróny, ktoré by mali všetky štyri kvantové čísla rovnaké