23-1 Bohrove trajektórie

23-1 Bohrove trajektórie

Keď Rutherford (vtedy už nositeľ Nobelovej ceny za chémiu, ale ešte len Ernest Rutherford a nie Lord Rutherford) so svojimi epochálnymi experimentami preukázal existenciu jadra atómu na Univerzite v Manchesteri, s problémom štruktúry atómu sa začal zaoberať jeden mladý dánsky fyzik, Niels Bohr¹. Na Bohra urobil Rutherfordov planetárny model atómu, v ktorom elektróny obiehali okolo jadra ako planéty okolo Slnka, veľký dojem, aj keď nevedel pochopiť, že ako je možný takýto pohyb vo vnútri atómu. Planéty Slnečnej sústavy sú elektricky neutrálne, ale elektróny majú elektrická náboj. V súvislosti s  kmitavými obvodmi sme povedali, že elektrický náboj, ktorý vykonáva zrýchlený pohyb, vyžaruje energiu v podobe elektromagnetických vĺn. Z Maxwellovej teórie elektromagnetizmu (ktorej zložitá matematika je pre nás príliš náročná, preto nerozoberáme jej detaily) vyplýva, že takéto vyžarovanie je samou podstatou elektricky nabitých častíc. Elektrón, ktorý obieha okolo jadra atómu veľmi rýchlo, má veľké dostredivé zrýchlenie. V zmysle prijatej klasickej teórie elektromagnetizmu toto zrýchlenie spôsobuje stálu stratu energie, a elektróny pohybujúce sa okolo jadra, ako tvrdí Rutherford, by sa museli pohybovať po neustále sa zužujúcich špirálovitých trajektóriách, a museli by padnúť do atómového jadra. Pri tomto páde by elektrón vyžiaril celú svoju energiu.²

Bohr vypočítal, že elektróny atómu by museli pri strate svojej energie padnúť do jadra za sto milióntinu sekundy! Vychádzajúc z klasickej mechaniky a elektrodynamiky by Rutherfordom predstavený planetárny model mohol existovať len krátky okamih. Tomu jednoznačne odporuje fakt, že atómy sú stabilné objekty, existujú milióny rokov, a nejavia ani náznak toho, že by chceli skolabovať. Ako je to možné? Bohr tento rozpor medzi závermi klasickej mechaniky a experimentálnym faktom dlhodobej existencie atómov vyriešil čisto a jasne: nakoľko príroda (experiment) sa nedá spochybniť, klasická mechanika musí byť chybná, prinajmenšom v prípade, keď ju používame pre popis pohybu elektrónov v atóme. Potom, čo Bohr dospel k tomuto revolučnému záveru, pripojil sa k Planckovmu názoru, ktorý len nedávno predtým prehlásil, že staré dobré Huygensove svetelné vlny nie sú tým, čím sa zdali byť, ale sú to zväzky samostatne kmitajúcich fotónov.

V každom prípade je jednoduchšie o niečom prehlásiť že je chybné, než nájsť spôsob, ako to opraviť. Bohrove kritické slová ohľadom klasickej mechaniky v  súvislosti s elektrónmi v atóme by neboli tak cenné, keby nebol súčasne ukázal, ako sa dostať z problémov. Ním navrhovaná cesta je tak neobvyklá, protirečiaca tradičnému uvažovaniu, že rukopis článku uchovával v zásuvke svojho pracovného stola skoro dva roky, než sa rozhodol, že ho zverejní. Keď v roku 1913 sa jeho revolučná práca opublikovala, vyvolal hlboký otras medzi súdobými fyzikmi.

Odporujúc dobre fundovaným zákonom klasickej mechaniky a elektrodynamiky, Bohr tvrdil, že pre pohyb elektrónov v atóme nasledujúce pravidlá, postuláty, musia byť prísne splnené:

1. Spomedzi všetkými mechanicky možnými kružnicovými a eliptickými trajektóriami sa elektróny môžu pohybovať len na prísne „vymedzených“ trajektóriách, a vymedzenie týchto trajektórií sa deje na základe samostatných pravidiel.
2. Elektrónom, ktoré sa pohybujú na týchto „vymedzených“ trajektóriách, je prísne zakázané vyžiarenie akejkoľvek elektromagnetickej vlny, a to aj vtedy, keby sa to na základe tradičnej elektrodynamiky požadovalo.
3. Elektróny môžu „preskočit“ z jednej trajektórie na druhú, a rozdiel energie medzi týmito pohybovými stavmi sa vyžiari v podobe jedného Planckovho energetického kvanta.

Znelo to neuveriteľne, ale vychádzajúc z týchto postulátov, Bohr bol schopný vysvetliť zákonitosti vo farebných spektrách vyžarovaných rôznymi atómami, a vedel vytvoriť dôslednú teóriu vnútornej štruktúry atómu.

Už dlhé roky bolo známe, že chemické prvky v plynnom stave, či ako pary vyžarujú svetlo na charakteristických frekvenciách (charakteristických pre daný chemický prvok), pokiaľ ich vybudíme zahriatím, alebo pomocou elektrického výboju vedeného týmto plynom, či jeho parami. Ak sa pozrieme do spektroskopu, spektrum výboja v plyne vidíme ako sériu krásnych farebných čiar na tmavom pozadí. Každá čiara je obrazom tenkej štrbiny spektroskopu vo farbe, teda na vlnovej dĺžke, na ktorej vybudený plyn žiari. Každý chemický prvok má svoju vlastnú sériu čiar. Obzvlášť jednoduchú sériu čiar má vodík – v oblasti viditeľného svetla sú to len štyri čiary, ako to ukazuje obr. 23.1. V roku 1885, jeden švajčiarsky stredoškolský učiteľ, J.J. Balmer našiel jednoduchý popis, pomocou ktorého bolo možné zadať frekvenciu všetkých týchto čiar. Podľa jeho popisu frekvencia každej čiary je úmerná rozdielu prevrátenej hodnoty kvadrátu 2 (tj. 1 22) a prevrátenej hodnoty kvadrátu čísiel nasledujúcich po 2, menovite 3,4,5,atď., teda 1 32 , 1 42 , 1 52 ,… ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION -->. Vypočítajme tieto rozdiely

1 22 − 1 32 = 1 4 −1 9 = 0,138889, 1 22 − 1 42 = 1 4 − 1 16 = 0,187500, 1 22 − 1 52 = 1 4 − 1 25 = 0,210000, 1 22 − 1 62 = 1 4 − 1 36 = 0,222222.

Vynásobme tieto hodnoty frekvenciou³ 3,289 × 1015 Hz:

4,569 × 1014 Hz, 6,168 × 1014 Hz, 6,908 × 1014 Hz, 7,310 × 1014 Hz,

a porovnajme so skutočnými frekvenciami spektra nameranými pre vodík

4,569 × 1014 Hz, 6,168 × 1014 Hz, 6,908 × 1014 Hz, 7,310 × 1014 Hz.

(Poznamenáme, že v prípade svetla nemeriame priamo frekvenciu, ale vlnovú dĺžku pomocou optickej mriežky – meraním deviačného uhla.)

Lyman, odborník na spektroskopiu na Harvardovej univerzite zistil v roku 1906, že vodík vyžaruje aj v ultrafialovej oblasti, kde je iná séria spektrálnych čiar, ktorých frekvencia sa dá popísať vzťahom

νLyman = (3,289 × 1015 Hz) 1 12 − 1 n2 ,

kde n = 2,3,4,… ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> sú prirodzené čísla nasledujúce po sebe.

O dva roky neskôr, nemecký odborník na spektroskopiu, Paschen našiel ďalšiu sériu spektrálnych čiar vodíka v infračervenej oblasti, a tieto frekvencie boli dané vzťahom

νPaschen = (3,289 × 1015 Hz) 1 32 − 1 n2 ,

kde n = 4,5,6,… ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION --> boli tiež prirodzené čísla nasledujúce po sebe.

Tieto pozorovania už naznačovali, že by bolo možné rozpracovať úspešnú teóriu atómu, a to bola tá práca, na ktorú sa Bohr podujal.

Bohr v prípade atómu vodíka sa obmedzil na kružnicové trajektórie, a požadoval, aby moment hybnosti elektrónu bol celočíselným násobkom h∕2π, kde h je Planckova konštanta.⁴ Moment hybnosti pre tak malú časticu ako elektrón (dnes predpokladáme, že je bodová častica) je možné jej moment hybnosti napísať veľmi jednoducho. Moment hybnosti nejakého telesa je Iω, kde moment zotrvačnosti bodovej častice I = mr2 – m je hmotnosť častice a r je jej vzdialenosť od osi otáčania. Uhlová rýchlosť ω = v∕r a moment hybnosti elektrónu je potom J = mrv. Bohr požadoval, aby

mrv = nh 2π = nℏ,

kde n je ľubovoľné celé číslo.

Centripetálnu silu, ktorá udržiava Mesiac na obežnej dráhe okolo Zeme zabezpečuje gravitačná príťažlivá sila pôsobiaca medzi nimi. V atóme vodíka centripetálna sila je príťažlivá sila medzi elektrónom a kladným jadrom atómu, ktorý je jediným protónom. Protón, aj elektrón majú rovnako veľký elektrický náboj e. Ak sú od seba vo vzdialenosti r, priťahujú sa silou veľkosti

F = Ke2 r2 kdeK = 1 4π𝜀0

Nakoľko to je súčasne aj veľkosť centripetálnej sily, môžeme napísať, že

Ke2 r2 = mv2 r ,

teda

Ke2 = mv2r = mvr⋅v

Teraz namiesto mvr dosadíme vyššie uvedenú Bohrovu „kvantovanú“ hodnotu momentu hybnosti

Ke2 = nℏv

odkiaľ rýchlosť elektrónu

v = Ke2 nℏ .

Z momentu hybnosti teraz môžeme dostať polomer trajektórie elektrónu

r = nℏ mv .

Dosaďme za rýchlosť v elektrónu hodnotu vyššie získaný výsledok

r = nℏ m nℏ Ke2 = n2 ℏ2 mKe2 .

Redukovaná Planckova konštanta ℏ = 1,054 × 10−34 J⋅s, hmotnosť elektrónu m = 9,11 × 10−31 kg, elementárny náboj e = 1.60 × 10−19 C a K = 1 4π𝜀0 = 8,99 × 109 m/F. Použitím týchto hodnôt môžeme vypočítať polomery dovolených trajektórií elektrónu v atóme vodíka. Polomer r1 trajektórie, ktorá je najbližšie k jadru dostaneme, ak dosadíme n = 1 (hodnoty uvádzame v základných jednotkách sústavy SI)

r1 = (1,054 × 10−34)2 (9,11 × 10−31)(8,99 × 109)(1,60 × 10−19)2 = 5,3×10−11 m = 0,53 Å

Polomery nasledujúcich trajektórií dostaneme tak, že za n (tzv. „kvantové číslo“) dosadíme postupne celé čísla (2,3,4,… ⁡<!-- FUNCTION APPLICATION -->)

r2 = 4r1,r3 = 9r1,r4 = 16r1,atď.

Pri najmenšej hodnote r1 je priemer atómu vodíka približne 1 Å. Táto hodnota je v porovnaní s hodnotou 4 Å, ktorú sme dostali iným prístupom pre väčšiu molekulu vzduchu, prijateľný výsledok.

Pozrime sa na energiu elektrónu na jednotlivých dovolených trajektóriách. Na ktorejkoľvek trajektórii sa skladá energia z dvoch častí: z kinetickej energie a potenciálnej energie. Ak zoberieme vyššie získaný výsledok pre rýchlosť, kinetickú energiu môžeme napísať veľmi jednoducho

Ek = 1 2 mv2 = 1 2 m Ke2 nℏ 2 = 1 n2 mK2e4 2ℏ2

Potenciálnu energiu elektrónu zoberieme svojvoľne za nulovú v nekonečnu – keď ho vzdialime od protónu na nekonečne veľkú vzdialenosť; to znamená, že ak elektrón prinesieme bližšie k protónu, jeho potenciálna energia bude záporná. Nech tento predpoklad nikoho neznepokojuje. Aj potenciálna energia závažia na stole laboratória je záporná, ak za nulovú hladinu budeme počítať strechu budovy. V skutočnosti nás zaujíma len zmena hodnoty energie, a táto zmena nezávisí od toho, kde si zvolíme nulovú hladinu. Voľba nulovej hodnoty potenciálnej energie v nekonečnu má tú výhodu, že výpočty sú jednoduchšie, a umožňuje, aby sme celkovú energiu napísali vo veľmi jednoduchom tvare.

V jednom z predchádzajúcich kapitol sme videli, že elektrický potenciál V vo vzdialenosti r od elektrického náboja Q

V = KQ r

a potenciálna energia náboja q v tomto bode je V q = KQq∕r. Potenciálna energia elektrónu vo vzdialenosti r od protónu je teda

Ep = −Ke2 r = 1 n2 − mK2e4 ℏ2 .

Celková energia elektrónu je potom E = Ek + Ep (znova počítané v  základných jednotkách sústavy SI)

E = 1 n2 mK2e4 2ℏ2 + 1 n2 − mK2e4 ℏ2 = 1 n2 mK2e4 ℏ2 1 2 − 1 = −1 n2 mK2e4 2ℏ2 = −1 n2 (9,11 × 10−31)(8,99 × 109)2(1,602 × 10−19)4 2(1,054 × 10−34)2 = −1 n2 (2,18 × 10−18 J)