20-4 Kinetická teória plynov

20-1 Molekulárna hypotéza; 20-2 Brownov pohyb;
20-3 Lúče častíc; 20-4 Kinetická teória plynov; 20-5 Povrchové napätie; 20-6 Odparovanie; 20-7 Monomolekulárne vrstvy; 20-8 Difúzia;

Úlohy

20-3 Lúče častíc

20-4 Kinetická teória plynov

Skutočnosti, ktoré sme skúmali v predchádzajúcom odseku, predstavujú základy jednej matematickej teórie, kinetickej teórie plynov. V kapitole 10 Teplota a teplo sme sa oboznámili so stavovou rovnicou $pV ∕ T = konšt.$ , ktorú môžeme písať aj v tvare $pV = cT .$ Tento zákon vyjadruje fakt, že ak držíme dané množstvo plynu v nádobe s nemenným objemom $V$ , potom tlak $p$ plynu je priamo úmerný teplote $T$ plynu. Ak umožníme zmenu vnútorného objemu nádoby, ale udržujeme teplotu $T$ plynu na stálej hodnote, potom tlak $p$ je nepriamo úmerný objemu $V$ plynu.

Pozrime sa, čo vyplýva z tých predpokladov, na ktorých je kinetická teória založená vo svojej najjednoduchšej podobe. Aby sme sa vyhli matematickým ťažkostiam, budeme predpokladať, že v danom plyne každá molekule je rovnaká, tvrdá, dokonale pružná častica, ktorej rozmery sú zanedbateľne malé, a ktoré sa vzájomne nepriťahujú ani neodpudzujú. (Pravdou je, že žiadne z týchto predpokladov nie sú splnené, ale plyn, ktorý spĺňa tieto predpoklady, tzv. ideálny plyn veľmi zjednoduší matematický popis, a umožní nám spoznať tiež správanie sa reálnych plynov. Naviac, odlišnosti uvedených predpokladov od skutočnej situácie sú v mnohých prípadoch len malé.)

molekuly a tlak — Obr. 20.8:Molekuly plynu poskakujú sem a tam, narážajú na steny nádoby, čím vyvíjajú na ne tlak. Nech nádoba tu predstavuje kocku s dĺžkou hrany $a .$

Majme uzavretú nádobu (obr. 20.8), v ktorej je určité množstvo plynu. Molekuly plynu sú v neustálom pohybe, pohybujú sa vo všetkých smeroch, narážajúc a odrážajúc sa od seba navzájom. Tlak plynu, ktorý vyvíja na steny nádoby, je dôsledkom neustáleho bombardovania steny nádoby jednotlivými molekulami plynu. Predpokladajme najprv, že teplotu plynu (teda rýchlosť molekúl) nemeníme, ale zmenšujeme objem nádoby. Je jednoduché dospieť k záveru, že počet nárazov za jednotku času na steny nádoby, konkrétnejšie na plochu veľkosti $A,$ rastie nepriamo úmerne objemu nádoby. Nakoľko tlak vyvíjaný na stenu nádoby je úmerný počtu nárazov molekúl za jednotku času, získavame jednoduchú predstavu na pôvod nepriamej úmernosti medzi tlakom a objemom.

Ak teraz nemeníme objem nádoby, ale zvýšime teplotu plynu v nádobe, zrýchlime tým pohyb molekúl, čo má dva dôsledky:

nakoľko rýchlosť molekúl sa zvýšil, počet nárazov na steny nádoby sa zvýšil,
náraz jednotlivých molekúl bude prudší, nakoľko majú väčšiu rýchlosť.

Nakoľko tlak závisí od počtu nárazov molekúl do steny nádoby, aj od sily nárazov, a obidva javy sú priamo úmerné rýchlosti molekúl, ich spoločný účinok je priamo úmerný kvadrátu rýchlosti molekúl, teda ich kinetickej energii – alebo čo je to isté – termodynamickej teplote⁸ plynu.

Naše kvalitatívne argumenty budú presvedčivé, ak ich podoprieme matematickými nástrojmi. Molekuly vo vnútri nádoby znázornenej na obr. 20.8 sa pohybujú rôznymi rýchlosťami; ich súhrnnú energiu môžeme vyjadriť ako súčet kinetických energií jednotlivých molekúl

$E_{k} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + \frac{1}{2} m v_{3}^{2} \dots .$

(Pre všetky molekuly sme písali hmotnosť $m$ , lebo sme predpokladali, že všetky molekuly sú rovnaké.) Existuje určitá rýchlosť, ktorú označíme zatiaľ bez ďalšieho vysvetľovania ako $v_{kp};$ pokiaľ by sa všetky molekuly pohybovali touto rýchlosťou $v_{kp}$ , súhrnná kinetická energia plynu by stále mala tú istú hodnotu $E_{k},$ ako sme napísali vyššie. Ak v nádobe je celkom $N$ molekúl, potom

$N \frac{1}{2} m v_{kp}^{2} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + \frac{1}{2} m v_{3}^{2} \dots \frac{1}{2} m v_{N}^{2} .$

Predeľme obidve strany rovnosti $Nm$

$v_{kp}^{2} = \frac{1}{N} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} \dots v_{N}^{2})$

$v_{kp} = \sqrt{\frac{1}{N} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} \dots v_{N}^{2})} .$

Výraz, ktorý sa nachádza pod znakom odmocnenia je aritmetickým priemerom kvadrátov rýchlostí. Samotný výraz (teda hodnota po odmocnení aritmetického priemeru kvadrátov rýchlostí) sa nazýva kvadratický priemer rýchlostí, na toto pomenovanie odkazuje index „kp“. Použitý spôsob je len jedným špeciálnym spôsobom spriemerovania.⁹ Pokiaľ by všetkých $N$ molekúl plynu pohybovalo s touto rýchlosťou $v_{kp},$ súhrnná kinetická energia plynu by bola taká istá, ako súhrnná kinetická energia plynu, v ktorej sa $N$ molekúl pohybuje pôvodnými rôznymi rýchlosťami.

Nech naša nádoba má tvar kocky s dĺžkou hrany $a$ . Pre jednoduchosť prijmime, že všetkých $N$ molekúl plynu sa pohybuje rýchlosťou $v_{kp},$ ktorá je rýchlosť molekúl prislúchajúca termodynamickej teplote plynu. Ďalším zjednodušujúcim predpokladom je, že na každú stenu nádoby (kocky) naráža rovnaký počet molekúl, tretina ( $N ∕ 3$ ) na hornú a dolnú stenu, tretina ( $N ∕ 3$ ) na pravú a ľavú stenu a tretina ( $N ∕ 3$ ) na prednú a zadnú stenu nádoby (kocky). Predpokladáme tiež, že molekuly sa medzi sebou nezrážajú. (Tento predpoklad je v skutočnosti rovnocenný s predpokladom dokonale pružných zrážok medzi molekulami. Obraz, v ktorom sa ale molekuly nezrážajú je podstatne jednoduchší pre popis a pochopenie podstatných dejov.) Všetky nami uvedené predpoklady vyzerajú ako málo pravdepodobné, násilné – môžeme však byť pokojní, výrazne realistickejšie matematické modely vedú presne k tým istým záverom, ako naše závery.

Obr. 20.9: Zmena hybnosti jednej molekuly plynu, ktorá sa odrazí od steny nádoby.

Na obr. 20.9 vidíme molekulu, ktorá naráža na pravú stenu nádoby. Jej pôvodná hybnosť je $mv$ (nech $v$ má teraz význam $v_{kp}$ ); po náraze do steny nádoby sa odrazí a bude mať hybnosť $- mv,$ a to znamená, že zmena hybnosti molekuly je $2 mv .$ Aby sme zistili, že aký veľký tlak sa vytvára nárazmi, musíme zistiť, že koľko molekúl narazí na plochu jednotkovej veľkosti za čas $t_{1}$ (jednotku času). Tejto molekule trvá preletieť vzdialenosť $a$ medzi protiľahlými stenami čas $t = a ∕ v,$ preto za čas $t_{1} = 1 s$ narazí na steny $t_{1} v ∕ a$ -krát. Počet nárazov jednej molekuly len na jednej stene bude počas $t_{1}$ rovný $t_{1} v ∕ (2 a) .$ Medzi každou dvojicou protiľahlých stien poletuje $N ∕ 3$ molekúl, preto počet nárazov na jednej stene a za čas $t_{1}$ bude $t_{1} Nv ∕ (6 a)$ .

Videli sme, že každá jedna zrážka má za následok zmenu hybnosti o $2 mv,$ čo znamená, že celková zmena hybnosti za jednotku času (teda delené $t_{1}$ ) je

$2 mv N \frac{v}{6 a} = N \frac{m v^{2}}{3 a} .$

Plocha jednej zo stien je $a^{2},$ teda, na jednotku plochy pripadá zmena hybnosti (za jednotku času)

$\frac{1}{a^{2}} \frac{Nm v^{2}}{3 a} = \frac{Nm v^{2}}{3 a^{3}} .$

Pri pojednávaní o druhom Newtonovom zákone sme videli, že sila je rovná zmene hybnosti za jednotku času, a náš posledný vzťah udáva presne túto veličinu (silu), ba dokonca, táto veličina je už sila pripadajúca na jednotku plochy nádoby, teda tlak. Výsledkom nášho odvodenia je teda

$p = \frac{Nm v^{2}}{3 a^{3}}$

Tento výraz ukazuje, že tlak je úmerný $v^{2},$ inými slovami je úmerný priemernej kinetickej energii molekuly – a podľa definície, je úmerný absolútnej (termodynamickej) teplote.

Predchádzajúci výraz tlaku $p$ ľahko upravíme na užitočnejšiu formu. Vo výraze môžeme rozpoznať dve veci: prvá, $a^{3}$ je objem $V$ plynu a vystupuje v menovateli – potvrdzuje Boylov zákon, ktorý hovorí, že pri konštantnej teplote je tlak $p$ nepriamo úmerný objemu $V;$ druhá, $Nm$ predstavuje celkovú hmotnosť plynu, a nakoľko $Nm ∕ V = ρ$ je hustota plynu, náš výraz môžeme písať v tvare

$p = \frac{ρ v^{2}}{3}, čiže v_{kp} = \sqrt{\frac{3 p}{ρ}} .$

V príručkách môžeme nájsť údaj, že je atmosférický tlak je $1 atm = 101, 3 kPa$ a hustota vzduchu pri teplote $0 °C$ ( $273 K$ ) je $1, 293 kg \cdot m^{- 3}$ . Dosaďme tieto hodnoty do našej rovnice

$v_{kp} = \sqrt{\frac{3 \times 1, 013 \times 1 0^{5} Pa}{1, 293 kg \cdot m^{- 3}}} = 485 m/s .$

Táto hodnota rýchlosti molekúl nie náhodou je veľmi blízka rýchlosti zvuku vo vzduchu.

Thomas B. Brown vymyslel vtipné zariadenie na znázornenie pohybu molekúl v nádobe. Zariadenie vyzerá ako akvárium, ktorého predná a zadná sklenená stena je tak blízko k sebe, že medzi ne vojdú pingpongové loptičky len tak-tak. Tieto loptičky predstavujú molekuly. Na dne „akvária“ sú drevené ozubené kolesá, ktoré je možné poháňať rôznou rýchlosťou pomocou elektromotoru. Pohyb zubov ozubených kolies zamiešajú pingpongové loptičky, a tie lietajú v nádobe chaoticky sem a tam. Kým ozubené kolesá sa pohybujú pomaly, väčšina loptičiek je na dne nádoby, len občas spomedzi ne jedna-dve vyskočia vyššie – znázorňuje to situáciu, keď molekuly vytvárajú kvapalinu a len občas sa odparí z povrchu kvapaliny nejaká molekula. Keď začneme zvyšovať rýchlosť otáčok ozubených kolies, pingpongové loptičky začnú vyskakovať do vzduchu – je to znázornenie toho, že v nádobe máme pary, či plyn. Pokiaľ je nádoba hore otvorená, loptičky s najväčšou rýchlosťou z nádoby vyletia von, a už nepadnú naspäť – nádoba sa po určitom čase vyprázdni. Pokiaľ však nádobu uzavrieme zhora pohyblivým piestom, ktorý zabráni loptičkám, aby unikli z nádoby, loptičky budú narážať na piest. Od piestu sa odrazia späť do nádoby, pričom však časť svojej mechanickej energie odovzdajú piestu – piest sa úmerne tomu nadvihne. Na celý proces môžeme hľadieť, ako na znázornenie tlaku plynu pôsobiaceho na piest.

⁸teplote meranej v kelvinoch;

⁹V angličtine sa pre kvadratický priemer používa označenie rms, či RMS, čo je skratkou root mean square.
Čo rozumieme tým, že použitý spôsob je len jedným špeciálnym spôsobom spriemerovania? Pre tých, ktorí sa už sretli s inou, než druhou odmocninou ( $\sqrt[2]{}$ ) uvádzame, že

${⟨ v ⟩}_{p} = \sqrt[p]{\frac{1}{N} (v_{1}^{p} + v_{2}^{p} + v_{3}^{p} + \dots + v_{N}^{p})}$

predstavuje tzv. mocninovú strednú hodnotu, kde číslo $p$ je príslušná mocnina, a môže nadobúdať hodnoty reálnych čísiel. Pre $p = 1$ dostávame aritmetický priemer, pre $p = 2$ dostaneme tu používaný kvadratický priemer. Špicaté zátvorky tu nepoužívame pre väčšiu prehľadnosť, a namiesto $p = 2$ píšeme index „kp“.

20-5 Povrchové napätie