20-2 Brownov pohyb

20-2 Brownov pohyb

Molekuly sú síce príliš malé, aby sme ich mohli vidieť ako jednotlivé objekty v  mikroskope, ich tepelný pohyb je predsa pozorovateľný, pokiaľ budeme pozorovať pohyb drobulinkých čiastočiek dymu vo vzduchu. Tento jav nazývame Brownov pohyb, pomenovaný po anglickom botanikovi Robertovi Brownovi¹, ktorý pozoroval nepravidelný pohyb peľu kvetín vo vode. Takéto malé čiastočky hrajú úlohu sprostredkovateľov medzi našim makroskopickým svetom a svetom molekúl, lebo sú dostatočne veľké, aby sme ich videli v mikroskope, a sú dostatočne malé, aby reagovali na nepravidelný pohyb molekúl. Celá situácia sa podobá tomu, keď pilot lietadla (vysoko nad morom) pozoruje lode na rozbúrenom mori. Z tej výšky nevidí záchranné vesty nahádzané do vody, a ktoré sledujú pohyb vĺn hore-dole. Veľké lode neprezrádzajú nič z pohybu vôd, na druhej strane menšie lode, ktoré pilot je ešte schopný vidieť, sú zreteľne pohadzované mohutnými vlnami – z toho pilot jasne vie usúdiť, že more je rozbúrené. Na obrázku 20.3 vidíme po sebe nasledujúce polohy čiastočky dymu s priemerom 1μm (10−6 m), vidíme jeho Brownov pohyb vo vzduchu. Einstein a Jean Perrin² skúmali Brownov pohyb a dokázali, že tepelný pohyb molekúl je fyzikálna realita, a získali veľmi cenné poznatky o veľkosti kinetickej energie molekúl pri tepelnom pohybe.

Obr. 20.3: Poloha čiastočky dymu vo vzduchu zaznamenaná vždy po jednej minúte (podľa J.B. Perrin -a).

Obrázok 20.3 neukazuje pohyb čiastočky dymu vo všetkých detailoch, lebo zachytáva polohu čiastočky dymu vždy s časovým odstupom jednej minúty, a úsečky spájajú tieto po sebe idúce polohy len pre názornosť. Skutočná trajektória častice medzi dvomi zaznamenanými polohami je výrazne kľukatejšia, nerovnomernejšia, než kresba obrázku pozostávajúca z priamych úsečiek. Tieto drobné, nezaznamenané zmeny sú však príliš malé, než by sa dali dobre merať a spoľahlivo zaznamenať. Je veľmi podstatné, že napriek tomu je možné vypočítať priemernú rýchlosť bludného pohybu čiastočky, pokiaľ zaznamenané polohy spracujeme štatisticky. Ak poznáme hmotnosť m čiastočky, ktorá vykonáva Brownov pohyb, jej priemerná kinetická energia sa môže zadať v tvare 1 2 mv2.

Aký je však prínos tohto intelektuálneho cvičenia? Čiastočka dymu je nesmierne väčšia, než molekuly vzduchu, medzi ktorými sa vznáša, a pohyb čiastočky dymu určujú milióny zrážok s molekulami vzduchu.

Zrážka s jednou molekulou vzduchu výrazne nepohne s čiastočkou dymu. Pokiaľ však počet molekúl, ktoré narazia na čiastočku dymu (povedzme) z ľava, je výrazne väčší než počet molekúl, ktoré na ňu narazia z prava, potom už čiastočka sa pohne v takej miere, že to vieme aj pozorovať. A občas sa to stane – štatisticky vieme ako často.

Ak sa zoberú do úvahy všetky možné spôsoby zrážok, ktoré štatisticky spriemerujeme, dostaneme sa k princípu rovnomerného rozdelenia energie (ekvipartícia). Tento princíp hovorí, že pri náhodných zrážkach veľkého počtu častíc priemerná kinetická energia každej častice je rovnaká, nezávisle od hmotnosti častíc. Inými slovami priemerná kinetická energia čiastočky dymu (1 2 mdvd2) je rovnaká, ako priemerná kinetická energia ktorejkoľvek molekuly vzduchu (1 2 mmvm2).

Pri pozorovaní pohybu brownovských častíc s priemerom 1 mikrometer, pri izbovej teplote, sa pozorovala priemerná rýchlosť 0,65 cm/s, a nakoľko hmotnosť týchto čiastočiek je približne 5 × 10−16 kg, ich kinetická energia je zaokrúhlene 1 × 10−20 J. Na základe princípu ekvipartície potom bola aj priemerná kinetická energia molekúl vzduchu rovná tejto hodnote.

Spolu s rastom teploty rastie aj intenzita pohybu brownovských častíc. Priamym pozorovaním pohybu malých čiastočiek v plynoch, či v kvapaline je možné skúmať, ako závisí energia tepelného pohybu od teploty. Na obr. 20.4 je vidieť výsledok zo série meraní v teplotnom intervale 0∘C až 100∘C. Namerané hodnoty sú spojené hrubou čiarou. Jej predĺžením smerom k nižším hodnotám zisťujeme, že Brownov pohyb častíc by mal pri teplote − 273 °C úplne ustať.

Spomeňme si, že teplota − 273 °C = 0 K je začiatkom stupnice absolútnej teploty (obr. 10.4), z čoho dospievame k poznatku, že priemerná kinetická energia tepelného pohybu častíc je priamo úmerná absolútnej (termodynamickej) teplote.

Obr. 10.4: Správanie sa plynov pri nízkych teplotách.

Z pohybu dymovej čiastočky a z jej Brownovho pohybu sme vypočítali, že (pri izbovej teplote, teda 300 K) je priemerná kinetická energia molekuly vzduchu 10−20 J. Predstavme si teraz jednu molekulu vzduchu pri teplote absolútnej nuly (0 K). Zvyšujme teplotu po jednom kelvine na izbovú teplotu 300 K – zohriatie o 1 K (tj. 1 °C) zvýši energiu každej molekuly vzduchu o  (10−20 J)∕300 = 3,3 × 10−23 J.

Môžeme skúmať aj väčšie množstvo vzduchu, nestarajúc sa o to, že pozostáva z  mnoho miliárd drobných molekúl. Z takýchto makroskopických meraní vieme, že merná tepelná kapacita³ vzduchu je 670 J/(kg⋅K). To znamená, že 670 J tepla zvýši teplotu vzduchu o 1 ℃. Počet molekúl v jednom kilograme vzduchu už dostaneme jednoduchým delením (670 J)∕(3,3 × 10−23 J) = 2 × 1025. Teraz už vieme vypočítať aj hmotnosť molekuly vzduchu, lebo vieme, že koľko ich je v jednom kilograme vzduchu (1 kg)∕(2 × 1025) = 5 × 10−26 kg. (Samozrejme, jedná sa o priemernú hmotnosť molekúl, lebo vzduch sa skladá z 80 % molekúl dusíka a z 20 % molekúl kyslíka.)

Obr. 20.4: Schematický graf kinetickej energie brownovských častíc od 0 °C do 100 °C, a extrapolovanie smerom k nižším teplotám.

Zaujíma nás aj objem molekúl, k čomu potrebujeme vzduch skvapalniť (plyn vyplní vždy taký objem, aký mu dovolíme vyplniť, v kvapalnom stave sú však molekuly „na dotyk“). Jeden gram skvapalneného vzduchu je približne 1 cm3 (tu sme zaokrúhlili, hustota skvapalneného vzduchu je 0,92 g/cm−3). V jednom grame je 2 × 1022 molekúl, preto jedna molekula má objem (1 cm3)∕(2 × 1022) = 5 × 10−23 cm3, a jej priemer je približne 5 × 10−23 cm33 = 4 × 10−8 cm.

Na základe týchto údajov už vieme odhadnúť aj rýchlosť molekúl. Dostali sme, že priemerná kinetická energia molekuly pri izbovej teplote je rádovo 10−20 J, jej hmotnosť je 5 × 10−26 kg. Zapíšme tieto hodnoty do vzťahu pre kinetickú energiu Ek = 1 2 mv2

10−20 J = 0,5 × (5 × 10−26 kg)v2, v2 = 10−20 J 2.5 × 10−26 kg = 4 × 105 (m/s)2, v = 4 × 105 (m/s)2 ≈ 600 m/s.

Je veľmi zaujímavé, že o neviditeľných molekulách sme sa to dozvedeli na základe meraní na veľkých čiastočkách (dymové čiastočky, kilogram vzduchu). Zhrňme naše výsledky o molekule vzduchu do nasledujúcej tabuľky