2-9 Archimedov zákon

2-9 Archimedov zákon

Prejdime teraz k veľmi závažnej otázke, k pevným telesám plávajúcim v kvapaline. Každý vie, že kus dreva vo vode pláva, lebo jeho merná hustota je menšia, ako merná hustota vody (tj. jednotka jeho objemu má menšiu tiaž), a kus železa sa ponorí, lebo má väčšiu mernú hustotu. Síce pevný kovový predmet voda nedokáže udržať nad hladinou a ten sa ponorí na dno, v skutočnosti však zistíme, že ponorené telesá majú menšiu tiaž.

Na obrázku 2.18 vidíme kovový hranol zavesený na pružinové váhy najprv jednoducho vo vzduchu a potom ponorený do určitej kvapaliny s mernou hustotou γ N/cm3. Neprekvapme sa ak vidíme, že v prípade predmetu ponoreného do kvapaliny sa ukáže tiaž telesa na pružinových váhach menšou, než bola len na vzduchu. Zdá sa byť zjavným, že kvapalina musí vytvárať vztlakovú silu a preto ukazuje pružinová váha menšiu tiaž. Vypočítajme, aká veľká by táto sila mohla byť .

Podľa obrázku 2.18b pôsobí na vrchnú stenu hranola tlak hγ a vrchnú stenu tlačí smerom dole sila F = pA = hγab. Je tu však prítomný aj tlak smerujúci smerom hore, pôsobiaci na dolnú stenu hranola v hĺbke h + c pod hladinou kvapaliny. Veľkosť tohto tlaku je (h + c)γ, a z toho plynie, že sila smerujúca smerom hore je (h + c)γ ⋅ ab = hγab + cγab. Vztlaková sila, rozdiel sily smerujúcej hore a dole, je väčšia

vztlaková sila = Fhore − Fdole = hγab + cγab − hγab = cγab = γ ⋅ abc = merná hustota kvapaliny ×objem telesom vytlačenej kvapaliny = tiaž telesom vytlačenej kvapaliny.

Náš výpočet sme urobili pre hranol, výsledok je však platný pre teleso ľubovoľného tvaru a nazývame ho Archimedov zákon:

Obr. 2.4: Jednoduchá metóda pre určenie ťažiska telesa s nepravidelného tvaru.

Obr. 2.18: Hranol zavesený na pružinové váhy (a) vo vzduchu, (b) ponorený do kvapaliny s mernou hustotou γ.

Každé teleso ponorené (čiastočne, alebo úplne) do kvapaliny je nadľahčené tiažou rovnej tiaži kvapaliny telesom vytlačenej.

Tento preslávený zákon objavil Archimedes – podľa ústnej tradície – počas kúpania sa, a potom pobehoval po uliciach Alexandrie volajúc: „Heuréka“ („Našiel som“). Ľud mesta veľký objav nechal chladným; mysleli si pravdepodobne, že vo vani našiel stratený kus mydla. Či je vyprávanie pravdivé, či nie, je podstatne vierohodnejší príbeh, podľa ktorého Archimedes tento zákon použil k rozhodnutiu o pravosti zlatej koruny, o ktorej mali podozrenie, že zlatník ho vyrobil nie z rýdzeho zlata. Archimedes rozhodol o pravosti bez toho, že by z koruny ulomil čo by kus, alebo že by bol jej povrch poškriabal: korunu zavesil na pružinu a zmeral jej hmotnosť po vnorení do vody a výsledok porovnal s meraním na vzduchu. Predpokladajme, že normálna tiaž koruny na vzduchu bola 27 newtonov, ale ponorená do vody len 25,6 newtonov. Pokles tiaže je 27 − 25,6 = 1,4 N, čo je vyvolané vztlakovou silou vody a podľa Archimedovho zákona zodpovedá presne tiaži vody, ktorú koruna vytlačila. Merná hustota vody je 10 mN/cm3, preto koruna vytlačila vodu s objemom 140 cm3, čo samozrejme zodpovedá objemu koruny. Nakoľko merná hustota je pomer tiaže a objemu telesa, mernú hustotu koruny môžeme vypočítať: 27000 : 140 = 193 mN/cm3, čo je presne merná hustota rýdzeho zlata. Archimedes mohol s najväčšou istotou prehlásiť, že koruna bola zhotovená z rýdzeho zlata a zlatník je čestný človek.

Archimedov zákon môžeme aplikovať samozrejme aj pre plávajúce telesá, ponorené do kvapaliny len čiastočne. V tomto prípade je plávajúcim telesom napríklad loď – jej celková tiaž sa rovná tiaži ňou vytlačenej vody.

Môžeme sa pokúsiť aj o vyriešenie iného, zložitejšieho príkladu. Predpokladajme, že kameň s tiažou 2 N váži po ponorení do vody len 1,4 N a pri ponorení do oleja 1,5 N. Aká je merná hustota oleja? Nakoľko kameň ponorený do vody stratil zo svojej tiaže 0,6 N, jeho objem je 60 cm3. Kameň s objemom 60 cm3 stratil zo svojej tiaže 0,5 N, preto 60 cm3 oleja má tiaž 0,5 N; merná hustota oleja je 0,5∕60 = 8,3 mN/cm3.