2-6 Trenie

2-1 Rovnováha a sily; 2-2 Rovnováha a krútiaci moment sily; 2-3 Ťažisko; 2-4 Vektory; 2-5 Ľubovoľne orientované sily; 2-6 Trenie; 2-7 Tlak kvapalín; 2-8 Pascalov zákon; 2-9 Archimedov zákon

Úlohy

2-5 Ľubovoľne orientované sily

2-6 Trenie

Zatiaľ sme nechali bez povšimnutia jeden, v praxi veľmi dôležitý, druh sily, treciu silu. Všetci vieme, že pokiaľ by nebolo trenie medzi podrážkou našich topánok a povrchom chodníku, nevedeli by sme chodiť; aj autá vďačia za svoju schopnosť pohybovať sa i zastaviť sa treniu, ktoré vzniká medzi pneumatikami a povrchom vozovky. (Myslime na zimu, keď cesty bývajú zľadovatené a preto trecie sily sú veľmi malé.) Experimenty dokazujú, že trecia sila medzi dvomi plochami kĺzajúcich po sebe je priamo úmerná sile, ktorá pritláča plochy k sebe. Koeficient úmernosti nazývame koeficientom trenia a v literatúre sa väčšinou označuje² $f$ , teda

$F_{t} = f F .$

Hodnota koeficientu trenia $f$ závisí len od kvality látok stýkajúcich sa a kĺzajúcich po sebe; iné faktory, ako napríklad rýchlosť pohybu, alebo veľkosť styčných plôch ovplyvňujú veľkosť trecej sily len veľmi málo.

Zoberme jeden železný hranol s rozmermi $2 cm \times 3 cm \times 6 cm$ a ťahajme ho po vodorovnej betónovej ploche. Tiaž železného hranola je približne $3 newtony$ a koeficient trenia medzi železom a betónom je približne $0, 3 .$

Obr. 2.12:Trecia sila závisí len od kvality plôch, ktoré po sebe kĺžu a veľkosti sily, ktorá tieto plochy k sebe pritláča (tu tiež hranola), je však nezávislá od orientácie hranola, teda od veľkosti plôch, ktoré po sebe kĺžu, ako aj od rýchlostí, ktorou po sebe kĺžu.

Z týchto údajov môžeme vypočítať, že k ťahaniu železného hranolu po betóne potrebujeme silu veľkosti približne $0, 3 \times 3 newtony = 0, 9 newtona .$ Môžeme sa presvedčiť o tom, že nie je skoro žiadny rozdiel medzi tým, keď hranol na betón položíme jeho menšou, alebo väčšou plochou a sila, ktorou musíme ťahať zostane $0, 9 newtona$ aj vtedy, keď hranol ťaháme pomalšie, alebo rýchlejšie (obr. 2.12).

Jednoduchý experiment s pravítkom, alebo s golfovou pálkou dobre znázorňuje úlohu trenia. Zoberme pravítko a podoprime ho na dvoch koncoch ukazovákmi pravej a ľavej ruky. Približujme k sebe pomaly ruky a všimnime si, že pravítko najprv kĺže napríklad na pravom ukazováku, potom na ľavom, potom zase na pravom a zase na ľavom. Ak sa ukazováky nakoniec stretnú, pravítko stojí v rovnovážnej polohe a jeho stred (pokiaľ je to súčasne aj jeho ťažiskom) je medzi našimi prstami. Ak tento istý experiment zopakujeme s golfovou palicou, ktorého kovový koniec je ťažší, znova sa objaví striedavé kĺzanie a nakoniec aj v tomto prípade bude ťažisko medzi dvomi ukazovákmi. Striedavé kĺzanie pravítka, či golfovej palice sa dá vysvetliť tým, že trecia sila vystupujúca medzi dvomi predmetmi je o to väčšia, čím je väčšia sila, ktorou na seba pôsobia, ako aj tým, že prst, ktorý je bližšie k ťažisku nesie väčšiu časť tiaže pravítka alebo golfovej palice.

Obr. 2.13:Sily a momenty síl pôsobiace na rebrík opretý o stenu

Ako ďalší príklad zoberme človeka s tiažou $900 newtonov,$ ktorý lezie hore na $130 cm$ dlhom rebríku, ktorého tiaž je $200 newtonov;$ dolný koniec rebríku, ktorý je opretý k stene bez trenia (medzi rebríkom a stenou je nulová trecia sila) je vo vzdialenosti $50 cm$ od steny, ako to ukazuje aj obrázok 2.13a. Aký veľký musí byť koeficient trenia medzi rebríkom a podlahou, aby človek mohol vyliezť až na samý vrch rebríka bez toho, že by rebrík začal kĺzať? Na obrázku 2.13b sme rebrík nakreslili aj spolu so silami, ktoré na neho pôsobia. Nakoľko medzi rebríkom a stenou nevystupuje trecia sila, sila reakcie – $\vec{W}$ – steny je kolmá na stenu. Tiaž človeka ( $900 newtonov$ ) sa objaví na vrchu rebríka a tiaž $200 newtonov$ rebríka – predpokladajúc rovnomerné rozloženie hmoty – v strede rebríka. Sila reakcie $\vec{G}$ podlahy je neznáma čo do veľkosti aj čo do smeru; v každom prípade je účelné túto silu rozdeliť do dvoch komponent ${\vec{G}}_{h}$ a ${\vec{G}}_{v} .$ Na základe obrázku 2.13b môžeme hneď napísať, že

$\begin{array}{rcl} G_{h} & = & 200 + 900 = 1100 N, \\ G_{v} & = & W . \end{array}$

Moment sily je najúčelnejšie počítať vzhľadom na bod, v ktorom sa rebrík dotýka podlahy, nakoľko moment síl pochádzajúci od ${\vec{G}}_{h}$ a ${\vec{G}}_{v}$ je rovný nule a v rovnici nevystupujú

$\begin{array}{rcl} (200 N) (25 cm) + (900 N) (50 cm) & = & W (120 N \cdot cm), a potom \\ W & = & 416, 5 N . \end{array}$

Spätným dosadením do rovníc rovnováhy síl

$G_{v} = 416, 5 N.$

Koeficient trenia na dolnom konci rebríku nie je nič iné, ako $G_{v} ∕ G_{h},$ teda 0,38; pri takomto koeficiente trenia náš človek môže kľudne vyliezť na vrch rebríka. Nech uhol, ktorý uzatvára sila reakcie podlahy so zvislým smerom je označený ako $φ;$ tangens tohto uhla je tiež $0, 38,$ teda $φ = 20, 8 ° .$ Veľkosť $G$ vektora $\vec{G}$ sa dá vypočítať rôznymi spôsobmi

$\sqrt{G_{h}^{2} + G_{v}^{2}}, alebo \frac{G_{h}}{\cos φ}, alebo \frac{G_{v}}{\sin φ} .$

Číselná hodnota pre veľkosť $G$ je v každom prípade $1175 newtonov .$

O niečo komplikovanejší je príklad, ktorý je ukázaný na obrázku 2.14, kde muž ťahá pomocou lana debnu a lano uzatvára s vodorovnou podlahou uhol 30°. Predpokladajme, že tiaž debne je $2500 N$ a koeficient trenia medzi debnou a podlahou je 0,25. Akú ťažnú silu vyvíja muž? Nakoľko gravitačná príťažlivosť, teda aj tiaž $\vec{G}$ je zvislá a sila reakcie vznikajúca medzi podlahou a debnou sa tiež dá rozložiť na zvislú zložku $\vec{R}$ a vodorovnú zložku ${\vec{F}}_{t}$ (trecia sila), zdá sa byť účelné aj ťažnú silu $\vec{F}$ rozložiť na zvislú a vodorovnú zložku. Preto

$\begin{array}{rcl} F_{h} & = & F \sin 30 ° = 0, 5 F, a \\ F_{v} & = & F \cos 30 ° = 0, 866 F . \end{array}$

Obr. 2.14:Šikmo pôsobiaca sila $F$ ťahá debnu jednak dopredu, jednak ju dvíha a tým zmenšuje silu, ktorá pritláča debnu k podlahe.

Aby debna skutočne začala kĺzať, je treba, aby $F_{v}$ bola rovná veľkosti $F_{t}$ trecej sily, ktorá bráni pohybu debne. Táto sila je $F_{t} = 0, 25 R$ (a nie $0, 25 G$ ! Sila ${\vec{F}}_{h}$ pomáha dvíhať debnu, takže $R = G - F_{h}$ ). Teraz už môžeme jednoducho zapísať, že

$\begin{array}{rcl} F_{v} & = & F_{t} \\ = & 0, 25 R \\ = & 0, 25 (G - F_{h}) odkiaľ \\ 0, 866 F & = & 0, 25 (2500 - 0, 5 F) \\ = & 625 N - 0, 125 F, teda \\ 0, 991 F & = & 625 N a \\ F & = & 630, 5 N . \end{array}$

²V staršej literatúre sa koeficient trenia označuje $μ$ (malé grécke mí);

2-7 Tlak kvapalín