2-5 Ľubovoľne orientované sily

2-1 Rovnováha a sily; 2-2 Rovnováha a krútiaci moment sily; 2-3 Ťažisko; 2-4 Vektory; 2-5 Ľubovoľne orientované sily; 2-6 Trenie; 2-7 Tlak kvapalín; 2-8 Pascalov zákon; 2-9 Archimedov zákon

Úlohy

2-4 Vektory

2-5 Ľubovoľne orientované sily

Pozrime si napríklad obrázok 2.10a, na ktorom vidíme závažie zavesené na lane. Ťahová sila pôsobiaca na laná v bode P sa zrejme prejaví pozdĺž napnutých lán v podobe vektorov $\vec{A}$ a $\vec{B}$ znázornených na obrázku 2.10b. Gravitačná sila pôsobí v uzlovom bode P a predstavuje silu veľkosti $100 newtonov$ smerujúcu smerom dole.

Rozdelením vektorov $\vec{A}$ a $\vec{B}$ na vodorovné a zvislé zložky – podobne ako skôr – aj teraz môžeme uvážiť zložky síl „hore“, „dole“, „doprava“, „doľava“. Ak zvislé zložky označíme indexom h a vodorovné indexom v, potom veľkosti

Obr. 2.10:Rozloženie vektorov na zvislé a vodorovné komponenty.

$\begin{array}{rcl} A_{h} & = & A \cos 30 ° = 0, 866 A, \\ A_{v} & = & A \sin 30 ° = 0, 500 A, \\ B_{h} & = & B \cos 45 ° = 0, 707 B, \\ B_{v} & = & B \sin 45 ° = 0, 707 B . \end{array}$

Zapísaním rovnosti zložiek „hore“, „dole“ a zložiek „doprava“ a „doľava“

$\begin{array}{rcl} 0, 866 A + 0, 707 B & = & 100, \\ 0, 500 A & = & 0, 707 B . \end{array}$

Z druhej rovnice dostaneme

$A = 1, 414 B .$

(2.1)

$\begin{array}{rcl} 0, 866 \times 1, 414 B + 0, 707 B & = & 100, \\ 1, 932 B & = & 100, \\ B & = & 51, 76 newtona . \end{array}$

Získanú hodnotu $B$ dosadíme do rovnice (2.1) a dostaneme

$A = 73, 19 newtona.$

V tomto príklade pôsobila každá sila v tom istom bode, preto sme nemuseli počítať momenty sily. Často však musíme zobrať do úvahy momenty síl ľubovoľne orientovaných síl. Na obrázku 2.11a vidíme sklápateľnú policu upevnenú na dvojici otočných kĺboch. Vlastná tiaž police je $20 newtonov$ a nech na polici je predmet s tiažou $40 newtonov$ umiestnený tak, že jeho ťažisko sa nachádza $10 cm$ od vonkajšieho okraju police (smerom dovnútra). Policu drží v dvoch rohoch po jednej reťazi, čo je znázornené na obrázku z bočného pohľadu; dá sa predpokladať, že jedna reťaz a jeden otočný kĺb držia polovicu celkovej tiaže. Aby sme vedeli vypočítať pnutie v reťaziach a silu reakcie (nútiacu silu) vystupujúcu v otočných kĺboch, urobme výpočty zvlášť len pre jednu stranu police, ako to znázorňuje obrázok 2.11b (polovičné sily) a načrtnime (polovičné) sily.

Obr. 2.11:Rozloženie sily na dve vzájomne kolmé komponenty

So silami pnutia ( $\vec{T}$ ) a reakcie ( $\vec{W}$ ) môžeme počítať jednoducho, pokiaľ ich rozdelíme na pravouhlé komponenty. Z udaných rozmerov je vidieť, že pnutie vznikajúce v reťazi vzniká pozdĺž prepony trojuholníka so stranami $3 - 4 - 5,$ ktorý je pravouhlý trojuholník, a jeho menší ostrý uhol má približne 37°. Z obrázku môžeme vidieť tiež, že sínus tohto uhla je $3 ∕ 5,$ a kosínus $4 ∕ 5 .$ Ak uvážime, že v prípade rovnováhy sú sily smerujúce „hore“ sú vyrovnané silám smerujúcim „dole“ a sily smerujúce „doľava“ sa rovnajú silám smerujúcim „doprava“, potom podľa obrázku 2.11b môžeme písať

$\begin{array}{rcl} W_{h} + 0, 6 T & = & 10 N + 20 N, & (2.2) \\ W_{v} & = & 0, 8 T . & (2.3) \end{array}$

Toto však nestačí k tomu, aby sme určili tri neznáme. Ďalší vzťah dostaneme, ak uvážime aj moment sily. Polica je pevné teleso a je v pokoji, neotáča sa okolo žiadnej osi. To znamená, že nech si zvolíme akúkoľvek os otáčania, súčet momentov síl otáčajúcich jedným smerom sa musí rovnať súčtu momentov síl otáčajúcich opačným smerom. Nakoľko os môžeme zvoliť ľubovoľne, prakticky je výhodné os otáčania vybrať tak, aby sme z toho mali úžitok. Z obrázku 2.11b vidíme, že najvýhodnejšie je výpočty momentov síl robiť vzhľadom na bod O, ktorý predstavuje otočné kĺby. Vtedy tri zo štyroch komponent cez tento bod prechádzajú, majú nulové rameno a ich moment sily je nulový. Nakoľko súčet momentu síl počítaných vzhľadom na bod O otáčajúcich stôl jedným smerom sa rovná súčtu momentu síl otáčajúcich stôl na druhú stranu, môžeme písať

$\begin{array}{rcl} (10 N) (20 cm) + (20 N) (30 cm) & = & T_{h} (40 cm), \\ a takto T_{h} & = & 20 N, \\ tj. T & = & \frac{20}{0, 6} = 33, 3 N. \end{array}$

Ak túto hodnotu dosadíme do rovníc získaných z rovnováhy síl, potom dostaneme

$W_{h} = 10 N a W_{v} = 26, 7 N.$

Smer sily reakcie vznikajúcej v kĺboch vieme spočítať tiež, lebo $tg α = W_{h} ∕ W_{v} = 0, 375,$ teda

$α = 20, 55 ° .$

2-6 Trenie