2-4 Vektory

2-4 Vektory

Niekoľko veličín – je to napríklad doba času, peniaze, teplota – má len veľkosť, teda nás zaujímajúce údaje sa dajú vystihnúť jednoducho číslom: 30 rokov, 27,19 doláru, 75 ℃ atď. Takéto veličiny nazývame skalárnymi veličinami. Sú však aj iné veličiny, pre ktorých je okrem ich veľkosti charakteristický aj ich smer. Napríklad silu nemôžeme popísať čisto tým, že povieme: jej hodnota je 30 newtonov. Pokiaľ chceme dostať úplný obraz, tak musíme udať aj smer sily. Takéto veličiny nazývame vektorovými veličinami. Vektory môžeme najjednoduchšie zobraziť šípkami. Dĺžka šípky – vo vhodne zvolených jednotkách – zobrazuje veľkosť veličiny, a jej smer udáva smer vektorovej veličiny.

Najjednoduchšie použitie vektorov môžeme ukázať snáď na príklade vzdialeností a posunutí. Na obrázku 2.7a vidíme graf jednej turistickej prechádzky: niekto, vyrážajúc z bodu O, šiel 6 km na východ, 7 km na sever, 4 km na východ, 2 km na juh a nakoniec 2 km na východ, čím sa dostal do bodu X. Jednotlivé úseky tejto trasy sme znázornili vektormi A→,B→,C→,D→ a E→. Všimnime si, že každý vektor vychádza zo špičky predchádzajúceho vektoru.

Toto je grafickou metódou sčítania vektorov; súčtom alebo zložením piatich vektorov A→,B→,C→,D→ a E→ je vektor R→ so začiatkom v bode O a s koncom v bode X. Jeho veľkosť (dĺžku) môžeme vypočítať jednoducho, ak zostrojíme východo-západnú úsečku OZ a severojužnú úsečku ZX. Dĺžka OZ je totiž 6 + 4 + 2 = 12 km a dĺžka ZX 7 − 2 = 5 km. Podľa Pytagorovej vety

R = |R→| = 122 + 52 = 13 km.

Veľkosť vektoru R→ sme označili R = |R→|. (Všimnime si, že táto hodnota je podstatne menšia, než 21 kilometrová dĺžka trasy prechádzky nášho turistu.)

Je dobré vedieť, že výsledok je rovnaký, ak vektory sčítame v nejakom inom poradí. Na obrázku 2.7b je poradie sčítania E→,D→,C→,B→,A→. Môžeme rýchle skontrolovať, že dĺžka úsečky OZ (teda východo-západná zložka vektoru R→) je aj v tomto prípade 12 km a dĺžka úsečky ZX (teda severo-južná zložka) je 5 km, a R je ten istý vektor ako na obrázku 2.7a.

Zatiaľ poznáme len jednu z častí údajov potrebných pre popis vektoru. Bolo by vhodné povedať, že „o koľko stupňov sa odchyľuje vektor R→ od východného smeru na sever“. Môžeme na obrázok položiť aj uhlomer a pokiaľ má vhodné delenie, môžeme odčítať, že uhol ZOX̂ je približne 23°. Väčšinou taká presnosť nepostačuje, preto k výpočtu veľkosti uhla používame trigonometrické metódy. Našťastie hotové trigonometrické tabuľky nám veľmi uľahčia našu prácu; aj na konci tejto knihy je možno nájsť jednu zjednodušenú verziu.

Obr. 2.7:  Grafické sčítanie vektorov.

Obr. 2.8:   Trigonometrické funkcie uhlov.

Obr. 2.9:  Rozloženie vektorov na komponenty.

Na obrázku 2.8 vidíme pravouhlé trojuholníky rôznej veľkosti, pomocou ktorých definujeme trojicu základných trigonometrických funkcií sínus (sin), kosínus (cos) a tangens (tg). Uhol α je rovnaký vo všetkých trojuholníkoch, čo znamená, že trojuholníky sú si podobné. Pomery a∕c,b∕c aj a∕b preto závisia výhradne od veľkosti uhla α určujúceho tvar trojuholníku.

Vrátiac sa k obrázku 2.7 vidíme, že tangens uhlu ZOX̂ je 5∕12 = 0,416, sínus uhla je 5∕13 = 0,384 a kosínus uhla je 12∕13 = 0,923. Využitím ľubovoľnej z týchto údajov môžeme z tabuľky, kalkulátoru alebo pomocou logaritmického pravítka – zistiť, že veľkosť uhla ZOX̂ je 22,6°a môžeme zadať smer R→: 22,6° severovýchodne.

Často je výhodné nejaký vektor rozdeliť na dva, či viac zložiek (komponentov) – tj. používať namiesto pôvodného vektora dva, či viac vektorov, ktorých zložením by sme získali pôvodný vektor. Najčastejšie sa robí rozklad na zložky, ktoré sú si vzájomne kolmé; obrázok 2.9 ukazuje, ako sa robí rozdelenie na komponenty. Vidíme, že x-ová zložka vektoru V → má veľkosť V cos ⁡<!--FUNCTION APPLICATION--> α, y-ová zložka (udaná úsečkou AC) má veľkosť V sin ⁡<!--FUNCTION APPLICATION--> α. Podobne, ak z nejakých dôvodov si zvolíme iné smery (napríklad smery m a n, ktoré sú na seba tiež kolmé), potom m-tá zložka V → má veľkosť V cos ⁡<!--FUNCTION APPLICATION--> φ a n-tá zložka má veľkosť V sin ⁡<!--FUNCTION APPLICATION--> φ. Na obrázku pôvodný vektor sme preškrtali, lebo na jeho mieste používame jeho zložky; tie dávajú po zložení ten istý účinok, ako samotný vektor V →. Pomocou vektorov a ich zložiek dokážeme definovať pojem rovnováhy bezpečnejšie a presnejšie. V doterajších jednoduchých príkladoch sme sa dostali až k tomu, že účinkujúce sily boli vždy vzájomne rovnobežné a tak sme mohli ľahko vidieť, že sily ukazujúce smerom „hore“ vyvažovali sily ukazujúce „dole“, a ukazujúce „doľava“ vyvažovali ukazujúce „doprava“. Aj pri pojednávaní o momente sily sme mali čo do činenia len so silami, ktoré boli kolmé na rameno sily, čo nám zjednodušilo výpočet momentu sily. Vo väčšine reálnych príkladov sa účinkujúce sily a momenty síl neobjavujú takýmto usporiadaným spôsobom.