2-3 Ťažisko

2-3 Ťažisko

V prípade pevných telies s daným tvarom môžeme označiť jeden význačný bod, tzv. ťažisko. Na každý bod daného telesa pôsobí gravitačná sila. Definíciou ťažiska je: predmet sa chová pod pôsobením gravitácie tak, akoby na neho pôsobila jediná sila pôsobiaca v jedinom bode a týmto bodom je práve ťažisko. Ak nejaké teleso podoprieme v jeho ťažisku, tak sa nepohne a nepootočí.

Symetrické teleso s rovnomerným rozložením hmoty má svoje ťažisko vo svojom geometrickom strede. Ak nejaký predmet má zložitejší tvar, môžeme nájsť jeho ťažisko, ak ho zavesíme na šnúru zachytený za jeden potom nejaký iný bod jeho povrchu. Teleso zostane v pokoji, ak jeho ťažisko bude visieť pod bodom závesu. Vyrežme z drevenej dosky teleso tvaru, aký ukazuje obrázok 2.4. Ak toto teleso zavesíme v bode A, zaujme pozíciu, ktorú znázorňuje vrchný z obrázkov na obr 2.4; jeho ťažisko teda bude niekde na priamke AB. Zavesme teraz teleso v nejako inom bode C; teleso zaujme polohu, ktorú ukazuje prostredný z obrázkov na obr 2.4, a jeho ťažisko sa teda nachádza niekde na priamke CD. Presnú polohu ťažiska vymedzuje priesečník priamok AB a CD. Zavesenie v nejakom treťom bode, dajme tomu v bode E je už zbytočné. Zvislá priamka EF musí prechádzať cez priesečník predchádzajúcich dvoch priamok.

Obr. 2.4:  Jednoduchá metóda pre určenie ťažiska telesa s nepravidelného tvaru.

V predchádzajúcom odseku, keď sme skúmali moment sily vyvolávaný závažiami zavesenými na koncoch ľahkej tyče, ťažiskom celej sústavy bol bod podoprenia, bod B. V úlohe sme využili výhodu skrytú v slovíčku „ľahká“ tyč, lebo tým sme nemuseli brať do úvahy, že gravitácia pôsobí aj na všetky časti tyče. Väčšina tyčí a palíc je však dostatočne hmotná k tomu, že pokiaľ očakávame presné odpovede, tak musíme zobrať do úvahy aj hmotnosť vlastnej tyče. Vráťme sa k príkladu na obr. 2.3 a predpokladajme, že tiaž tyče je 1 newton. Kam musíme bod B podopierajúcu tyč posunúť, aby tyč bola v rovnováhe, ak závažia na oboch koncoch sú nepozmenené?

Na obrázku 2.5 vidíme tú istú tyč, ale znázornenie je doplnené silou (označenou G), ktorá predstavuje vlastnú tiaž tyče. Gravitačná sila pôsobí síce pozdĺž celej tyče, predsa to môžeme brať tak, akoby výslednica gravitačných síl veľkosti 1 newton pôsobiacich na tyč pôsobila len v ťažisku. Za predpokladu, že rozloženie hmoty v tyči je rovnomerne, ťažisko sa nachádza v strede, 2 metre od oboch koncov. Sila smerom hore pôsobiaca v bode B, v ktorej sme tyč podopreli (tak, aby bola v rovnováhe), sa dá vypočítať jednoducho: 5 newtonov (nakoľko Fhore = Fdole). Nevieme však kde tento bod B je. Predpokladajme, že vo vzdialenosti x od ľavého konca tyče!

V prípade rovnováhy je súčet všetkých momentov síl pôsobiacich na tyč nulový, nezávisle od toho, že ktorý bod si zvolíme za bod otáčania.

Bod A na ľavom konci je zrovna tak dobrý, ako každý iný bod. Počítajúc vzhľadom na tento bod A (zohľadnením toho, že súčet momentov síl otáčajúcich tyč v smere chodu hodinových ručičiek = súčtu momentov síl otáčajúcich tyč v smere proti chodu hodín)

(3 N)(0 m) + (1 N)(2 m) + (1 N)(4 m) = (5 N)x 5x = 6 m x = 6 5 = 1,2 metra.

Skúmajme teraz nasledujúci problém spojený s ťažiskom. Predpokladajme, že máme viac kníh rovnakých rozmerov a chceme ich položiť na seba tak, aby okraj vrchnej knihy vyčnieval čo najviac za okraj stola. Ako to môžeme urobiť? Ak prvú knihu položíme tak, aby polovička jej dĺžky prečnievala cez okraj stola, tak druhú, ale ani ďalšie knihy nedokážeme položiť tak, aby prečnievali cez okraj prvej knihy. Začnime však skladanie opačne, a predstavme si, že kniha, ktorá bola úplne na spodku bude teraz úplne na vrchu. Od každej knihy požadujeme, aby nespadla zo stĺpca kníh, ktoré má pod sebou, preto knihu treba umiestniť tak, aby jej okraj prečnieval máličko menej, než polovičku jej dĺžky. Z obrázku 2.6 vidíme, že spoločné ťažisko prvej a druhej knihy sa nachádza napravo od okraja druhej knihy na vzdialenosť jednej štvrtiny dĺžky knihy. Z toho plynie, že ak prvú dvojicu kníh umiestnime na tretiu tak, aby druhá prečnievala cez okraj tretej knihy len o jednu štvrtinu (vlastne o máličko menej), potom sa knihy neprevrátia.

Poďme takto ďalej a nájdime ťažisko sústavy z troch kníh. Ak zohľadníme, že ako sme trojicu kníh na seba položili, potom spoločné ťažisko prvých dvoch kníh je v strede medzi ich ťažiskami, kým ťažisko samotnej tretej knihy je samozrejme v strede tejto tretej knihy. Nakoľko tiaž prvej dvojice kníh spolu je dvakrát tak veľká, ako tiaž samotnej tretej knihy, spoločné ťažisko celej trojice kníh sa nachádza dvakrát bližšie k ťažisku prvej dvojice kníh (vzdialenosť je dvakrát menšia), než k ťažisku samotnej tretej knihy. Pohľadom na obrázok 2.6 môžeme ľahko stanoviť, že tretia kniha môže prečnievať o jednu šestinu svojej celej dĺžky. Pokračujúc v zostavovaní stĺpca popísaným spôsobom dostaneme, že nasledujúce knihy môžu prečnievať o jednu osminu, jednu desatinu svojej celej dĺžky. V prípade piatich kníh okraj vrchnej knihy a okraj stola sú od seba vo vzdialenosti

1 2 + 1 4 + 1 6 + 1 8 + 1 10 = 1,14násobku celej dĺžky knihy

Usporiadajúc stĺpec kníh takýmto rozumným spôsobom, môžeme sa s okrajom vrchnej knihy dostať od okraja stola na viac než len polovičnú výšku celej knihy, dokonca na vzdialenosť presahujúcu celú výšku knihy. Ak použijeme viac ako päť kníh, členy v zátvorke sa rozšíria o členy 1 12 , 1 14 , 1 16 atď.; matematicky sa dá ukázať, že hodnota takého súčtu – ak sčítame dostatočný počet členov – môže byť väčšia, ako akékoľvek číslo. V prípade veľmi veľkého počtu kníh okraj vrchnej knihy môže prečnievať cez okraj stolu na ľubovoľnú vzdialenosť. Nakoľko každá nová kniha k tejto vzdialenosti prispieva len zlomkom, a táto zlomková veľkosť rýchlo klesá, na dosiahnutie vzdialenosti troch či štyroch dĺžok knihy by sme potrebovali všetky knihy Knižnice Kongresu.