2-2 Rovnováha a krútiaci moment sily

2-1 Rovnováha a sily; 2-2 Rovnováha a krútiaci moment sily; 2-3 Ťažisko; 2-4 Vektory; 2-5 Ľubovoľne orientované sily; 2-6 Trenie; 2-7 Tlak kvapalín; 2-8 Pascalov zákon; 2-9 Archimedov zákon

Úlohy

2-1 Rovnováha a sily

2-2 Rovnováha a krútiaci moment sily

Nech sme si akokoľvek istí v tom, že výslednica síl pôsobiaca na teleso je nulová. to ešte nezabezpečí, že teleso je skutočne v rovnováhe. Na obrázku 2.1 je kmeň stromu, na ktorý pôsobia dve rovnako veľké sily v opačnom smere: traktor A ťahá jeden koniec kmeňa smerom na východ silou $10 kilonewtonov$ , traktor B ťahá druhý koniec kmeňa smerom na západ silou tiež $10 kilonewtonov .$ Výslednica týchto dvoch síl je nulová, ale kmeň – vieme zo skúsenosti – nezostáva v pokoji, ale otočí sa, ako to ukazuje aj obrázok. Otočenie je dôsledkom krútiaceho účinku sily. Krútiaci účinok sily nezávisí len od veľkosti sily, ale tiež od toho, že kde táto sila pôsobí. Na obrázku 2.2a dokážeme kľúčom otočiť skrutku len ťažko. Krútiaci účinok sily: odborným výrazom moment sily je súčinom sily $F$ a vzdialenosti $d_{1}$ . Ak rukoväť kľúča predĺžime pomocou rúrky nastrčenej na rukoväť – tak, ako to ukazuje obrázok 2.2b –, rameno sily vzrástlo na $d_{2},$ a krútiaci moment $F d_{2}$ sa stal podstatne väčším, bez toho, že by sa zväčšila použitá sila.

Poznamenajme, že rameno sily meriame vždy od stredu otáčania a kolmo na smer pôsobenia sily $F .$ Je to dobre vidieť na obrázkoch 2.2a a 2.2b, v prípade $d_{1}$ a $d_{2}$ , keď smer ťahu ruky je kolmý na rukoväť náradia. Na obrázku 2.2c je situácia iná: smer ťahu nie je kolmý na rukoväť kľúča. Vzdialenosť $d_{3}$ (rameno sily) musíme nakresliť od stredu otáčania smerom k línii pôsobenia sily $F,$ teda kolmo k šípke alebo vektoru znázorňujúci smer ťahu ruky.

Na obrázku 2.3 je znázornená ľahká tyč s dvomi závažiami zavesenými na jej koncoch; tyč, podopretá úzkym klinom v bode B je v rovnováhe. Ak tyč sme zaťažili spôsobom znázornenom na obrázku, zistili sme, že pomer vzdialeností bodov BC a AB súhlasí s pomerom hmotností závaží zavesených v bodoch A a C; v danom prípade je pomer $3 : 1 .$ Uvedomme si, že v bode A zavesené závažie vyvíja na tyč krútiaci moment $(3 newtony) (1 meter) = 3 newton metre$ v smere proti chodu hodín a drží ju v rovnováhe krútiaci moment pôsobiaci v bode C, ktorého veľkosť je $(1 newton) (3 metre) = 3$ newton metre, nakoľko tento druhý krútiaci moment pôsobí v smere chodu hodín. (Krútiaci moment = vzdialenosť krát sila, jeho jednotkou je preto súčin používaných jednotiek sily a dĺžky, v našom prípade newton meter.) Sila pôsobiaca v bode B nemá krútiaci moment, nakoľko rameno sily má nulovú dĺžku.

V súvislosti s našim príkladom momentu sily nie je nutná znalosť veľkosti sily pôsobiacej v bode B smerom hore, síce ju môžeme ľahko obdržať, nakoľko v prípade rovnováhy musí byť súčet síl pôsobiacich smerom hore rovný súčtu síl pôsobiacich smerom dole: $F_{B} = 3 + 1 = 4 newtony .$ Poznajúc silu pôsobiacu v bode B, môžeme počítať moment sily vzhľadom na bod A, C alebo ľubovoľný iný bod, obdržíme presne rovnaký výsledok: súčet momentov síl otáčajúcich tyč v jednom smere sa rovná súčtu momentov síl otáčajúcich tyč v opačnom smere.

rovnováha — Obr. 2.3:V rovnovážnom stave súčet síl pôsobiacich v jednom smere sa rovná súčtu síl pôsobiacich v opačnom smere, ďalej súčet momentov síl otáčajúcich teleso v jednom smere sa rovná súčtu momentov síl otáčajúcich teleso v opačnom smere.

Použitím znamienok $+$ a $-$ pre sily pôsobiace smerom hore a dole, prípadne pre momenty síl pôsobiacich (krútiacich, otáčajúcich niečo) v smere chodu hodín ( $+$ ) a v protismere chodu hodín ( $-$ ) môžeme podmienku rovnováhy zapísať pomocou veľmi krátkych a jednoduchých vzorcov

\sum F = 0 a \sum M = 0 .

Veľké grécke písmeno sigma ( $Σ$ ) označuje v matematike vo väčšine prípadov súčet, sumu. Použitím našich jednoduchých vzorcov na obrázok 2.3 môžeme napísať nasledujúce

\begin{array}{rcl} \sum F & = & 4 N - 3 N - 1 N = 0 N \\ \sum M & = & (3 N) (1 m) - (1 N) (3 m) = 0 N \cdot m otáčanie okolo B \\ alebo \sum M & = & - (4 N) (1 m) + (1 N) (4 m) = 0 N \cdot m otáčanie okolo A \\ alebo \sum M & = & - (3 N) (4 m) + (4 N) (3 m) = 0 N \cdot m otáčanie okolo C . \end{array}

2-3 Ťažisko