19-4 Gravitácia a zakrivenie časopriestoru

19-4 Gravitácia a zakrivenie časopriestoru

Einsteinov druhý úspešný krok pri budovaní všeobecnej teórie relativity bol, keď gravitáciu stotožnil so zakrivením časopriestoru v blízkosti gravitujúceho telesa.³. Čo znamená, že priestor je zakrivený? Aby sme tento náročný pojem pochopili, bude najlepšie, ak začneme s analógiou zakrivených plôch, nakoľko plochy sú len dvojrozmerné, a preto sa dajú dobre znázorniť. Poznáme dobre rozdiel medzi rovnou plochou (akou je napríklad povrch stola) a zakrivenou plochou (akú má napríklad povrch futbalovej lopty, či sedlo). Matematicky rozlišujeme dva typy zakrivenia plôch, kladné zakrivenie a záporne zakrivenie.

Je jednoduché rozhodnúť, či plocha v danom bode je kladne alebo záporne zakrivená, ak k tomuto bodu povrchu priložíme dotyčnicovú rovinu. Ak celá zakrivená plocha bude na jednej strane dotyčnicovej roviny (obr. 19.5a), potom je zakrivenie plochy pozitívne. Pokiaľ však časť zakrivenej plochy bude na jednej strane dotyčnicovej roviny a ostatná časť zakrivenej plochy bude na druhej strane dotyčnicovej roviny, potom je plocha záporne zakrivená (obr. 19.5b).

Na základe tejto definície je jednoduché rozhodnúť, že celá plocha gule, či elipsoidu je kladne zakrivená, kým plocha sedla je záporne zakrivená.

Odlišnosť plôch s kladným a záporným zakrivením sa ukáže aj vo vlastnostiach geometrických útvarov, ktoré nakreslíme na ich povrch. Kým geometrické útvary nakreslené na povrch roviny spĺňajú pravidlá klasickej euklidovskej geometrie, útvary nakreslené na povrch zakrivených plôch tieto vlastnosti nespĺňajú.

Zoberme napríklad to pravidlo euklidovskej geometrie, ktoré hovorí, že súčet vnútorných uhlov ľubovoľného trojuholníka sa rovná súčtu dvoch pravých uhlov, teda 180°.

Čo ale rozumieme trojuholníkom na povrchu zakrivenej plochy a čo úsečkou spájajúcou dva body na zakrivenom povrchu? V rovine je to úsečka spájajúca tieto body, tj. najkratšia spojnica medzi týmito bodmi, a takto to chápeme aj na zakrivenej ploche – hovoríme mu geodetika. Priamkam z euklidovskej geometrie zodpovedajú na zakrivených priestoroch tiež geodetiky. Trojuholník je potom tvorený tromi bodmi, ktoré spájajú úsečky (geodetiky). V  prípade povrchu gule – bez toho, že by sme matematicky dokazovali, ale s  určitou predstavivosťou je to aj vidieť – najkratší oblúk medzi dvomi bodmi leží na priesečníku povrchu gule s rovinou, ktorá prechádza stredom gule (rovinu určuje uvažovaná dvojica bodov a stred gule). Trojuholník na povrchu gule, je mierne vypuklý (sférický trojuholník) a pre jeho vnútorné uhly už neplatí pravidlo z euklidovskej geometrie, že súčet vnútorných uhlov je 180° – je vždy väčší. Najjednoduchšie to vieme znázorniť pomocou trojuholníku A′B′C′, ktorého bod A′ je na póle gule, kým jeho body B′ a C′ sú na rovníku gule. Dve strany trojuholníku tvoria poludníky a tretia strana je časťou rovníku. Nakoľko poludníky sú vždy kolmé na rovník, súčet uhlov ∠A′B′C′ a ∠B′C′A′ je už 180° a tretí uhol ∠C′A′B′ môže byť ľubovoľný, a súčet vnútorných uhlov teda presahuje 180° o tento uhol ∠C′A′B′.

Opačný výsledok dostaneme, ak trojuholník nakreslíme na povrch sedlovito zakrivenej plochy (obr. 19.6b). Teraz je súčet vnútorných uhlov trojuholníka menší, než 180°, nakoľko plocha medzi vrcholmi „prepadá“.

Zistené jednoduché geometrické fakty zakrivených plôch teraz môžeme preniesť na trojrozmerný priestor. Nakoľko však mi sami žijeme v tomto trojrozmernom priestore, nie sme schopní zakrivenosť trojrozmerného priestoru znázorniť spôsobom, aký sme použili pre dvojrozmerné plochy – nevieme vybočiť z nášho trojrozmerného priestoru. To, čo dokážeme povedať je, že náš trojrozmerný priestor je zakrivený, pokiaľ jeho geometrické vlastnosti sa líšia od geometrických vlastností euklidovského trojrozmerného priestoru. Napríklad, ak trojuholník definovaný v priestore pomocou trojice bodov má súčet vnútorných uhlov väčší než 180°, trojrozmerný priestor je zakrivený kladne. Pokiaľ však súčet vnútorných uhlov trojuholníka je menší ako 180°, trojrozmerný priestor je zakrivený záporne. Aby sme tomuto akademickému uvažovaniu dali konkrétny fyzikálny obsah, uvažujme o troch astronómoch, v troch rôznych bodoch okolo Slnka (nech sú na planétach alebo na kozmických lodiach) – obr. 19.7. Každý z astronómov dôkladne zmeria jeden vrcholový uhol trojuholníka ABC. Pokiaľ by Slnko nebolo vo vnútri trojuholníka, svetlo by sa šírilo medzi astronómami po priamke po „klasických“ priamkach (znázornené na obr. 19.7 prerušovanou čiarou), a astronómovia by mohli potvrdiť, že pre súčet vnútorných uhlov trojuholníka ABC platí to, čo v euklidovskej geometrii. Prítomnosť Slnka, jeho gravitačného poľa, však spôsobuje, že svetelné lúče sa ohnú (lúče znázornené na obr. 19.7 plnou čiarou). Až astronómovia sčítajú veľkosť uhlov, ktoré namerali, zistia, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka ABC je väčší, než 180°. Einstein navrhol tú revolučnú myšlienku v súvislosti s opísaným výsledkom meraní trojice astronómov, že odchýlku od 180° si máme vysvetliť nie ako odchýlku lúčov v priestore s euklidovskou geometriou, ale odchýlkou samotného priestoru od euklidovského priestoru, tj. zakrivením samotného priestoru. Inými slovami, svetelné lúče sa vždy pohybujú po geodetike, a pri meraniach zistené odchýlky od vlastností euklidovského priestoru v blízkosti Slnka je spôsobené zakrivením priestoru spôsobeného veľkou hmotnosťou

Slnka. Nakoľko v tomto prípade je súčet vnútorných uhlov trojuholníka väčšie ako 180°, zakrivenie priestoru v blízkosti Slnka je kladné. Myšlienka, že namiesto ohýbania svetla pod silovými účinkami gravitácie dávame prednosť zakriveniu priestoru spôsobeného prítomnosťou hmoty, vo veľkej miere pomohla pochopiť gravitáciu a pomohla v matematickom popisu gravitácie.