18-9∗ Relativisitické veličiny

Box 18-1 Relativistické veličiny

Keď sme spomínali relativistickú hmotnosť, povedali sme, že jeho náležitým používaním sa nemôžeme dopustiť chyby. Predsa relativistická hmotnosť úplne nezapadá do obrazu fyzikálnych veličín špeciálnej teórie relativity. To si zaslúži bližšie vysvetlenie – čo je ten obraz, ktorý špeciálna teória relativity o fyzikálnych veličinách vytvorila?

Už v newtonovskej fyzike sme sa stretli s veličinami, ktoré chápeme ako skalárne veličiny. Sú to tie veličiny, ktoré sú úplne popísané jediným číslom (a fyzikálnym rozmerom). V newtonovskej fyzike to niektorí chápu tak, že dôraz je na jediným číslom. Preto hovoria o čase, hmotnosti, energii ako o skalárnej veličine. V skutočnosti je dôraz ale aj na tom, že tá jedna hodnota popisuje skalárnu veličinu úplne. Nie je nutná ďalšia informácia, ako napríklad „vzhľadom na tú a tú inerciálnu sústavu“. V newtonovskej fyzike je v tomto chápaní čas a hmotnosť dobrým príkladom skalárnej veličiny. Čas je absolútny a pre každého rovnaký, a aj hmotnosť telesa je rovnaká pre každého, nech ho meria v ktorejkoľvek inerciálnej sústave. Vyhovujú teda prísnejšej požiadavke, ktorú na skalárnu veličinu kladieme.

S energiou je to iné. Pohybová energia telesa v inerciálnej sústave, v ktorej je v pokoji, je Ek = 0. Kinetická energia toho istého telesa v inej inerciálnej sústave (v ktorej v pokoji nie je, ale pohybuje sa rýchlosťou v) je však Ek = 1 2 mv2. Hodnota kinetickej energie je úplnou informáciou len pokiaľ povieme voči ktorej inerciálnej sústave ju počítame. Samotné číslo nie je úplnou informáciou.

V newtonovskej fyzike si so skalárnym charakterom veličiny príliš veľký problém nerobíme, koniec koncov, energia (alebo iná veličina prehlásená za skalárnu) nie je v newtonovskej fyzike vektorovou veličinou, nemá smer, nemá ďalšie zložky – je jedinou zložkou veličiny.

V špeciálnej teórii relativity však aj v tomto smere vládne prísny poriadok. Všetky veličiny sa chovajú rovnako. Vysvetlíme, čo sa tým myslí. Daná skalárna veličina je určená jedinou hodnotou, a tá musí byť tá istá v každej inerciálnej sústave – dobrým príkladom skalárnej veličiny je už spomenutý invariantný interval. Stačí ju vypočítať v jednej inerciálnej sústave, jej hodnota je rovnaká v každej inej inerciálnej sústave (to fyzici s obľubou využívajú pri svojich výpočtoch – stačí totiž spočítať skalárnu veličinu v tej sústave, v  ktorej to ide najjednoduchšie).

Čo z toho všetkého vyplýva pre tzv. relativistickú hmotnosť m(v) = m0∕1 − v2 ∕c2?

Vyplýva to, že relativistická hmotnosť nemôže byť skalárnou veličinou. Ak v  jednej inerciálnej sústave je v pokoji, a má hmotnosť m0, v inej inerciálnej sústave sa pohybuje rýchlosťou v→ a má hmotnosť m(v) > m0.

Môže byť relativistická hmotnosť zložkou nejakého relativistického vektoru? Zástancovia relativistickej hmotnosti hovoria, že tomu tak je. Povieme si preto niečo o relativistických vektoroch, o štvorvektoroch.

Vektorové veličiny sú v newtonovskej fyzike napr. polohový vektor, rýchlosť, hybnosť, sila, zrýchlenie lebo okrem veľkosti potrebujú k svojmu úplnému popisu aj smer. Vektor môžeme charakterizovať aj ako veličinu, ktorá má tri zložky – čo súvisí s tým, že priestor má tri rozmery. Čas a priestor sú v newtonovskej fyzike oddelené od seba. Priestor má tri rozmery, čas jeden, a sú od seba nezávislé.

V relativistickej fyzike čas a priestor tvoria jeden štvorrozmerný celok, preto vektory v časopriestore sú štvorrozmerné, majú štyri zložky, sú to tzv. štvorvektory. Majú jednu časovú zložku a tri priestorové zložky. Je zvykom časovú zložku písať ako prvú zložku, či ako nultú zložku. Štvorvektor A teda vyzerá takto

Priestorové zložky Ax,Ay,Az bývajú známe ešte z newtonovskej fyziky v tom zmysle, že vieme, patria k sebe. Ich tvar býva v relativistickej fyzike pozmenený, ale pre malé rýchlosti splynú s tým, čo poznáme z newtonovskej fyziky. Časovú zložku At newtonovská fyzika väčšinou pozná tiež, ale ako samostatnú fyzikálnu veličinu.¹⁰ Úplne jednoduchým príkladom štvorvektoru je relatívna poloha x dvoch udalostí v časopriestore

kde časová zložka polohového vektoru je doba, ktorá uplynula medzi udalosťami (v tej inerciálnej sústave, v ktorej je vektor vyjadrený). Je žiadúce, aby všetky zložky štvorvektoru mali rovnaký fyzikálny rozmer, preto je v prípade polohového štvorvektoru časová zložka nie t, ale x0 = ct, kde c je rýchlosť svetla vo vákuu.

Nájsť tú príslušnú časovú zložku štvorvektoru môže byť niekedy zložitejšie. Väčšinou ich poznáme z newtonovskej fyziky, a niekedy nám pomôžu základné fyzikálne princípy, ktorý si ukážeme na príklade štvorhybnosti p.

Existuje matematická veta famóznej matematičky Emmy Noether¹¹, ktorá hovorí, že s každou symetriou fyzikálnych zákonov je spojený zákon zachovania (príslušnej) fyzikálnej veličiny – vysvetlíme tento zákon na príklade symetrií fyzikálnych zákonov časopriestoru. Hovoríme, že čas je homogénny, alebo (čo je to isté), že má translačnú symetriu. Homogenita času znamená, že fyzikálne zákony majú rovnaký tvar teraz, ako o minútu, či zajtra, pozajtra, o rok. Prakticky to znamená, že babičkin recept na bábovku rovnako dobre funguje aj dnes – z rovnakých surovín, s rovnakým postupom prípravy získame rovnakú bábovku, takú, akú robila aj babička (biologické aj chemické procesy majú vo svojich hlbokých základoch fyzikálne zákony). Dôsledkom homogenity času je zákon zachovania energie. Keby čas nebol homogénny, energia by sa nezachovávala. Jednoduchým myšlienkovým experimentom to vieme ukázať.

O nehomogénnom čase by sme hovorili vtedy, keby napr. univerzálna konštanta, ako univerzálna gravitačná konštanta G = 6,67 × 10−11 N⋅kg−2⋅m2, menili časom svoju hodnotu. Táto konštanta určuje gravitačné zrýchlenie na povrchu Zeme nasledovne

kde M = 5,96 × 1024 kg je hmotnosť Zeme a R = 6,378 × 106 m je polomer Zeme. Takto dostávame, že gravitačné zrýchlenie má hodnotu g = 9,8 m/s2. Predstavme si teraz, že hodnota univerzálnej gravitačnej konštanty G sa mení. Od pondelka do piatku má hodnotu ako sme uviedli a vtedy je gravitačné zrýchlenie g = 9,8 m/s2, ale v sobotu a v nedeľu je jej hodnota 10-krát menšia, preto aj gravitačné zrýchlenie je 10-krát menšie a má hodnotu g′ = 0,98 m/s2. Keby tomu tak bolo, vedeli by sme energiu vyrábať. V sobotu a v nedeľu by sme vypumpovali m = 1000 kg vody do nádrže h = 10 m nad zemou, čo by nás stálo prácu

Toto isté množstvo vody by však už v pondelok mal polohovú energiu

Ak ju aj využijeme, tak sme získali energiu Ep − W = 88200 J z  ničoho vďaka rozumnému plánovaniu. Nerozumným plánovaním by sme ale energiu mohli stratiť (napr. plnením zásobníku vodou v piatok, a čerpaním jej energie cez víkend). Zákon zachovania energie je teda jasne spojená s homogenitou času.

Rovnakú symetriu má aj priestor. Priestor je tiež homogénny, má translančnú symetriu. Vracajúc sa k príkladu bábovky od babičky, recxept na bábovku funguje rovnako tu, ako o 5 metrov vedľa.¹² Dôsledkom homogenity priestoru je zákon zachovania hybnosti.

Čas a priestor tvoria jeden celok, ako celok je homogénny (má translačnú symetriu), a preto nie je prekvapivé, že energia a hybnosť tvoria spolu relativistickú vektorovú veličinu

štvorhybnosť, a tá sa vďaka homogenite časopriestoru zachováva. Časová zložka štvorhybnosti je energia, priestorové zložky sú hybnosť

Aj tu musia mať všetky zložky štvorvektoru rovnaký fyzikálny rozmer, preto je časová zložka štvorhybnosti E∕c.

Zástancovia relativistickej hmotnosti tvrdia, že časovou zložkou štvorhybnosti je relativistická hmotnosť m(v), presnejšie m(v)c, aby mala rovnaký fyzikálny rozmer, ako priestorové zložky. Ako si vykladajú títo zástancovia vetu Emmy Noether? Nepopierajú ju, ale berú ako dôkaz univerzálnej ekvivalencie hmotnosti a energie v tvare

Einstein ukázal, že teleso, ktoré je v pokoji, a má v pokoji hmotnosť m, má energiu E = mc2. Poukázal vlastne na skutočnosť, že hmotnosť, ktorá je základným kameňom newtonovskej fyziky je v skutočnosti energia. V príklade s  batériou, kde batéria dodáva energiu, batéria je v pokoji a zostáva v pokoji. Jeho energetický obsah sa zmenší, preto sa zmenší jej pokojová hmotnosť. Einsteinov vzťah sa týka pokojovej hmotnosti, preto je tak zásadný. Zástancami relativistickej hmotnosti uvádzaná rovnica m(v)c2 = E (čo má byť dôsledkom pohybu) už nič nového neprináša – aspoň do dnešného dňa sa nepodarilo nájsť žiadny fyzikálny prínos relativistickej hmotnosti. Ako sme už povedali, časová zložka štvorhybnosti je v dôsledku homogenity času energiou. Pokiaľ je teleso v  pokoji, je Einsteinova ekvivalencia E = mc2 pojítkom medzi relativistickou fyzikou a newtonovskou fyzikou, kde hmotnosť hrá takú dôležitú úlohu. Aký prínos by sme mohli očakávať od relativistickej hmotnosti, ako relativistickom zovšeobecnení hmotnosti? Mohli by sme očakávať relativistický popis gravitácie. Dosadením relativistickej hmotnosti do Newtonovho gravitačného zákona však nedostaneme správne výsledky pre pohyb planét, ani pre ostatné gravitačné efekty. To však nemení nič na skutočnosti, že v populárnej literatúre, aj v  učebniciach sa často pojem relativistická hmotnosť používa. Relativistické riešenie gravitácie vyžaduje uplatnenie nového fyzikálneho princípu, čo je predmetom nasledujúcej kapitoly.