18-4 Transformácia priestoru a času

18-1 Paradoxy éteru; 18-2 Éterický vietor?; 18-3 Relativistická mechanika; 18-4 Transformácia priestoru a času; 18-5 Mr. Tompkins; 18-6 Čas a astronaut; 18-7 Transformácia energie a hmotnosti ; 18-8 Zobrazovanie pohybujúcich sa predmetov; 18-9∗ Relativisitické veličiny;

Úlohy

18-3 Relativistická mechanika

18-4 Transformácia priestoru a času

Einsteinove postuláty zrejmým spôsobom protirečia klasickému (teda zdravým rozumom určenému) pojmu priestoru a času; takže pokiaľ nové zákony prijmeme ako experimentálny fakt, sme nútení k zásadnému predefinovaniu starých pojmov. Veľký Newton vo svojej Princípii napísal nasledujúce:

I.: Absolútny, skutočný matematický čas, vychádzajúc zo svojej vlastnej povahy, bez akejkoľvek vonkajšej súvislosti, plynie vždy rovnomerne.
II.: Absolútny priestor, vychádzajúc zo svojej vlastnej povahy, bez akejkoľvek vonkajšej súvislosti, je vždy sám sebe podobný a nie je s ním možné pohnúť.


	Obr. 18.6:(a, b a c) Udalosti, ktoré sa v pohybujúcom vagóne odohrajú na tom istom mieste, vidí pozorovateľ na zemi udiať sa na rôznych miestach. (d a e) Udalosti, ktoré sa vo vagóne zdajú byt súčasnými, vidí pozorovateľ, ktorý stojí na zemi, že sa odohrajú v rôznych okamihoch.

Podľa Einsteinovho chápania sú však priestor a čas v podstatne užšom spojení, než sme predtým predstavovali, a v medziach určitých hraníc pojem priestoru sa dá zameniť s pojmom času, a platí to aj naopak. Aby sme osvetlili toto naše tvrdenie, zoberme osobu, ktorá cestuje vo vlaku a obeduje v jedálnom vozni. Podľa obsluhujúceho čašníka skonzumovala naša osoba svoju polievku, biftek a dezert, na tom istom mieste, tj. pri tom istom stole jedálneho vozňa. Podľa pozorovateľa stojaceho pri trati však naša osoba skonzumovala tri chody svojho obeda na troch rôznych miestach, ktoré sú od seba vzdialené na mnohé míle (obrázky 18.6a, b, c). Na tomto základe môžeme vysloviť nasledujúce triviálne tvrdenie: Udalosti odohrávajúce sa v pohybujúcej sústave na tom istom mieste, ale v rôznom čase vidí pozorovateľ v sústave, ktorá je v pokoji, na rôznych miestach.

Nasledujúc Einsteinovu myšlienku o podobnosti priestoru a času, vymeníme vyššie uvedené tvrdenie iným tvrdením, ktoré vznikne zámenou slov „priestor“ a „čas“: Udalosti odohrávajúce sa v pohybujúcej sústave v tom istom čase, ale na rôznych miestach, vidí pozorovateľ v sústave, ktorá je v pokoji, v rôznych časoch.

Uvedené tvrdenie už zďaleka nie je také triviálne, lebo znamená napríklad to, že ak dvaja zákazníci, po ukončení obeda, si na koncoch jedálneho vozňa zapália cigára, čašník stojací uprostred vozňa vidí okamih zapálenia ako súčasné deje, kým iná osoba, ktorá stojí pri trati na zemi skonštatuje, že záblesky zapálenia sa uskutočnili v rôznych okamihoch (obrázok 18.6d a e). Na základe princípu relativity nemôžeme uprednostniť ani jednu zo vzťažných sústav (pohybuje sa vlak voči pôde, alebo pôda voči vlaku), preto nemáme žiadne odôvodnenie rozhodnúť tak, že pozorovanie čašníka je správne a pozorovanie osoby stojacej pri trati je nesprávne, alebo naopak.

Prečo považujeme za prirodzené, že časový interval (doba uplynulá medzi podaním polievky a dezertu) môžeme transformovať na priestorový interval (vzdialenosť medzi dvomi bodmi trate), ale považujeme za paradox a za veľmi neprirodzené, ak priestorový interval (vzdialenosť medzi cigárami spomínaných dvoch cestujúcich) transformujeme na časový interval (časový interval medzi zapáleniami cigár pozorovaný osobou stojacou vedľa trate)? Príčinou je, že naše skúsenosti (čo sa rýchlostí telies týka, ktoré v skutočnosti môžu byť od nuly až po rýchlosť svetla) sa obmedzujú v každodennom živote len na rýchlosti v samom dolnom intervale možných rýchlostí. Ani najlepší závodný kôň nedokáže cválať rýchlejšie, než rýchlosťou jednej stomilióntiny hornej hranice možnej rýchlosti, a ani najmodernejšie supersonické lietadlá nedosahujú vyššiu rýchlosť, než 0,0003 % rýchlosti svetla. K porovnaniu priestorových a časových intervalov, tj. vzdialeností a časových dôb, si zvoľme jednotky, v ktorých konečná hraničná rýchlosť bude 1. Ak základnou jednotkou času je napríklad „rok“, potom príslušná jednotka dĺžky bude „svetelný rok“, čo je približne $10 000 000 000 000 km .$ A pokiaľ si za jednotku dĺžky zvolíme napríklad „kilometer“, potom prislúchajúca jednotka času bude $0, 000 003 s,$ tj. doba, za ktorú svetlo preletí vzdialenosť $1 km .$ Vidíme, že nech si zvolíme ktorúkoľvek veličinu za rozumne veľkú (či už „rok“, alebo „kilometer“), druhá jednotka bude z pohľadu každodenných skúseností buď príliš veľká (svetelný rok), alebo príliš malá (3 mikrosekundy). Keby sa vlak pohyboval skoro s rýchlosťou svetla, za pol hodinu, ktorá by uplynula medzi podaním polievky a dezertu nášho cestujúceho, by vlak prekonal vzdialenosť $300 000 000 km,$ a časový rozdiel zistený pozorovateľom pri trati by činil 40 alebo 50 kilometrov⁵, čo by vôbec nepútalo žiadnu pozornosť. Na druhú stranu, ak vzdialenosť medzi zákazníkmi zapaľujúcimi si svoje cigára v koncoch jedálneho vozňa je $30 m,$ pre pozorovateľa pri trati by znamenal len časový rozdiel jednej stomilióntiny sekundy a niet divu, pokiaľ by sme to neboli schopní našimi zmyslami vnímať.

Transformáciu priestorového intervalu na časový a transformáciu časového intervalu na priestorový možno znázorniť geometrickými nástrojmi dosť jednoducho, tak ako to po prvýkrát urobil nemecký matematik H. Minkowski⁶, prvý zástanca Einsteinových revolučných myšlienok. Minkowski navrhol, aby sme čas, alebo časovú dobu chápali, ako doplnenie troch dimenzií priestoru o štvrtú dimenziu, a transformáciu jednej vzťažnej sústavy na druhú chápajme, ako určité pootočenie časovej a priestorových osí jednej vzťažnej sústavy voči druhej.

V základe stojí veľmi jednoduchá myšlienka s veľkým fyzikálnym obsahom – kauzalita, príčinnosť.

Einstein tvrdil, že existuje najväčšia možná rýchlosť, s ktorým sa dokáže šíriť, či pohybovať len signál (nech ho realizuje už čokoľvek). Túto rýchlosť označíme $c_{s} .$ Potom pre dvojicu udalostí, ktoré sú od seba vzdialené na vzdialenosť $r$ a odohrajú sa s časovým odstupom $t$ platí, že jedna nemôže spôsobiť druhú, pokiaľ

r > > c_{s} t,

lebo ani signál by nedokázal stihnúť prejsť za čas $t$ vzdialenosť $r .$ Môžeme to vyjadriť aj tak, že kauzálny vzťah medzi spomínanými udalosťami vyžaduje, aby platilo, že

s^{2} = {(c_{s} t)}^{2} - r^{2} \geq 0,

aby dvojica udalostí (napr. skonzumovanie hlavného chodu a skonzumovanie dezertu) mohli byť pre pozorovateľa vo vozni v kauzálnom vzťahu.

Povedali sme, že pohyb voči pozorovateľovi stojaceho pri trati spôsobuje, že vzdialenosť $r^{'}$ medzi dvojicou spomínaných udalostí bude iná, než $r,$ a to sme ochotní prijať aj v bežnom živote. Existencia maximálnej rýchlosti $c_{s}$ však vyžaduje aj to, že doba $t^{'}$ , ktorá uplynie pre pozorovateľa pri trati medzi dvojicou spomínaných udalostí bude iná, ako $t .$

Pre danú dvojicu udalostí sa však kauzálny charakter musí zachovať, nech sa na to pozerá ktorýkoľvek pozorovateľ. Nemôže sa stať, že skonzumovanie dezertu je dôsledkom skonzumovania hlavného chodu vo vagóne, ale pre pozorovateľa pri trati nie. To znamená, že oprávnene požadujeme, aby aj pre pozorovateľa pri trati platilo

{s^{'}}^{2} = {(c_{s} t^{'})}^{2} - {r^{'}}^{2} \geq 0,

kde vystupujú veličiny pozorovateľa pri trati.

Hraničné udalosti ( $s^{2} = 0$ ) pre jedného pozorovateľa musia byť hraničnými udalosťami ( ${s^{'}}^{2} = 0$ ) aj pre druhého pozorovateľa, ktoré oddeľujú od seba udalosti, ktoré kauzálne (príčinne) súvisia od tých, ktoré kauzálne (príčinne) už nesúvisia, teda

s^{2} = 0 = {s^{'}}^{2} .

Bez toho, aby sme sa púšťali do zložitého zdôvodňovania uvedieme, že táto rovnosť pre danú dvojicu udalostí platí pre všetkých pozorovateľov, a to aj vtedy, keď $s^{2}$ nie je rovný nule, tj. pre danú dvojicu udalostí platí pre všetkých pozorovateľov

{(c_{s} t)}^{2} - r^{2} = s^{2} = {s^{'}}^{2} = {(c_{s} t^{'})}^{2} - {r^{'}}^{2} .

Veličinu $s^{2}$ nazývame invariantný interval.

Spomínané pootočenie časopriestorových osí sa dá jednoducho znázorniť⁷, ak pohyb sa deje v smere jednej z priestorových osí, napr. osi $x \equiv x^{'}$ . V smeroch kolmých na smer pohybu (osi $y, z$ ) sa vzťažné sústavy nelíšia (pre tieto vzdialenosti teda platí $y = y^{'}$ a $z = z^{'}$ ). Rovnosť invariantných intervalov $s^{2} = {s^{'}}^{2}$ potom môžeme zapísať aj takto

{(c_{s} t)}^{2} + {r^{'}}^{2} = {(c_{s} t^{'})}^{2} + r^{2} či {(c_{s} t)}^{2} + {x^{'}}^{2} = {(c_{s} t^{'})}^{2} + x^{2} .

Vysvetlíme teraz, čo rozumieme pootočením. Kým vlak stojí, teda pozorovateľ vo vlaku a pozorovateľ pri trati sa voči sebe nepohybujú, všetky ich osi sú totožné ( $t \equiv t^{'}$ a $x \equiv x^{'}$ ). Rozlíšme teraz sústavy farbami. Sústava spojená s pozorovateľom pri trati bude červená ( $x, t$ ), kým sústava spojená s vlakom bude modrá ( $x^{'}, t^{'}$ ). Keď sa voči sebe pohybujú rýchlosťou $v$ (vlak sa pohybuje na trati rýchlosťou $v$ v smere osi $x$ ), potom dvojica osí $t$ a $x^{'}$ sú na seba stále kolmé, ale pootočené o uhol $α$ voči dvojici osí $t^{'}$ a $x$ , ktoré zostávajú na seba stále kolmé.

relatívnosť súčasnosti — Obr. 18.7:Rozdielnosť udalostí v priestore a čase z pohľadu pozorovateľov, ktorí sa vzájomne pohybujú. Červená sústava je sústava pozorovateľa pri trati, modrá sústava je spojená s vlakom. Na časovú os vynášame tiež vzdialenosť, a to $c t$ . Pri tejto konštrukcii majú všetky osi rovnakú mierku, a uhol „pootočenia“ $α$ je daný vzájomnou (teda relatívnou) rýchlosťou vzťažných sústav ako $\sin α = v ∕ c .$ Po „pootočení“ vidíme, že ktoré osi sú na seba stále kolmé, a tiež to, že ako odčítavame časové a priestorové súradnice (v každej vzťažnej sústave pomocou rovnobežiek). Každá udalosť v diagrame sa znázorní ako jediný bod, len ich súradnice sú pre pozorovateľov odlišné.

Tie udalosti, ktoré sa odohrajú vo vlaku na tom istom mieste (postupná konzumácia jedál), majú rovnakú súradnicu $x^{'}$ a sú na priamke, ktorá je rovnobežná s osou $t^{'}$ . Udalosti, ktoré sa vo vlaku odohrajú v tom istom okamihu (zapálenie cigár), majú rovnakú časovú súradnicu $t^{'}$ a nachádzajú sa na priamke, ktorá je rovnobežná s osou $x^{'}$ . Podobne sa určujú poloha $x$ v sústave pozorovateľa, ktorý stojí pri trati, ako aj časové okamihy – tj. pomocou rovnobežiek s osami $t$ a $x$ .

Pre uhol $α$ pootočenia osí $t, x^{'}$ platí, že pokiaľ vlak sa pohybuje v kladnom smere osi $x$ rýchlosťou $v,$ potom otáčame v kladnom smere (proti smeru hodinových ručičiek). Ak vlak ide opačným smerom (v zápornom smere osi $x$ ), potom otáčame osi $t, x^{'}$ v zápornom smere (v smere hodinových ručičiek) a platí

\sin α = \frac{v}{c_{s}} = \frac{v}{c} .

Signálna rýchlosť $c_{s}$ je rovná rýchlosti svetla vo vákuu. Prečo? Nami ukázané skladanie rýchlostí hovorí, že jedine maximálna rýchlosť má tú vlastnosť, že keď ju zložíme s inou rýchlosťou, znova dostaneme maximálnu rýchlosť. Michelsonov-Morleiho experiment ukázal, že rýchlosť svetla túto vlastnosť má, preto je maximálna možná. Ich experiment ešte nebol príliš presný, ale dnešné experimenty to už dokazujú s relatívnou presnosťou $1 0^{- 18} .$ To znamená že ak rýchlosť svetla vo vákuu nie je maximálna, tak sa líši len nepatrne od tej maximálnej možnej (maximálna rýchlosť by mohla predbehnúť svetelný signál o jediný meter len za 100 rokov).

Minkowského základnú myšlienku môžeme lepšie pochopiť pomocou diagramov znázornených na obrázku 18.7. Pozrime najprv udalosti, ktoré sa pre jedného z pozorovateľov zdajú byť súčasné. Z pohľadu (modrého) pozorovateľa stojaceho v jedálnom vozni je časový odstup medzi zapáleniami cigár nulový, a vzdialenosť medzi týmito udalosťami je dĺžka vozňa $| E F | .$ Pozorovateľ pri trati (červený) registruje medzi dvomi svetelnými zábleskmi časový odstup, časový interval $| C D |,$ a vzdialenosť medzi dvojicou udalostí zapálenia cigár je z jeho pohľadu väčšia ( $| A B |$ ), lebo najprv si zapáli zákazník v zadnej časti vagónu, vagón sa pohybuje po dobu $| C D |,$ a až potom si zapáli druhý zákazník v prednej časti vagónu. Vzdialenosť medzi udalosťami z jeho pohľadu nie je dĺžkou vagónu. Pre červeného pozorovateľa je dĺžkou vagónu rozdiel súradníc začiatku a konca vagónu, ktorú zmeral v tom istom okamihu. Zvislé prerušované modré čiary s bodmi $E$ a $F$ ukazujú polohu konca a začiatku vagóna v rôznych okamihoch. Z nich vieme odčítať ich súradnice v akomkoľvek čase aj v červenej sústave.. Pre pozorovateľa pri trati (červený) znamená odčítanie v tom istom okamihu použitie priamky rovnobežnej s osou $x .$ A vidíme, že vzdialenosť medzi zvislými prerušovanými čiarami koncov vagónu je v smere osi $x$ menšia, než vzdialenosť $| E F |$ – je to presne $| E F | \cos α = | E F | \sqrt{1 - \sin^{2} α} = | E F | \sqrt{1 - v^{2} ∕ c^{2}} .$ To presne zodpovedá kontrakcii dĺžky.

Teraz pozrime udalosti, ktoré sa pre modrého pozorovateľa odohrajú na tom istom mieste. Pozorovateľ cestujúci vo vagóne (modrý) pozoruje, že zákazník skonzumuje polievku a dezert na tom istom mieste, a nameria medzi začatím a ukončením obeda dobu $| G H | .$ Pozorovateľ pri trati (červený) však tieto výsledky nepotvrdí, lebo vidí, že začiatok a koniec obeda sa odohrá v rôznych bodoch ( $I, J$ ), doba trvania obeda (tj. časový interval $| K L |$ ) je však dlhší, než akou ho meral cestujúci (modrý) pozorovateľ – je presne $| G H | ∕ \cos α = | G H | ∕ \sqrt{1 - \sin^{2} α} = | G H | ∕ \sqrt{1 - v^{2} ∕ c^{2}} | .$ To presne zodpovedá dilatácia času.

Z týchto diagramov vidíme, že časový odstup vznikajúci medzi dejmi, ktoré v jednej sústave (v modrej) boli súčasné, je doprevádzaný predĺžením vzdialenosti medzi týmito dejmi, a súčasne vznikne aj časový rozdiel (v červenej sústave) a naopak: udalosti odohrávajúce sa v jednej (v modrej) sústave na tom istom mieste, už nie sú na tom istom mieste v druhej (v červenej) sústave, a súvisí to s predĺžením časového odstupu medzi udalosťami pozorovanými v tejto druhej (červenej) sústave. Prvý z popisov ilustruje nemennosť invariantného intervalu tým, že zväčšená vzdialenosť úseku $| A B |$ (oproti $| E F |$ ) vyžaduje nenulovosť časového odstupu $| C D |$ . Prvý ukazuje aj to, ako meriame vzdialenosti, a vidíme pôvod kontrakcie dĺžky pohybujúceho sa predmetu. Druhý prípad ukazuje, že čas „plynúci“ v pohybujúcej sa sústave – pozorovaný z nepohybujúcej sústavy – plynie pomalšie, dokazuje teda priamo dilatáciu času.

Tieto dva vplyvy sú v každom prípade relatívne. Čo tým rozumieme? Pohyb je relatívny. Vagón sa pohybuje voči trati, ale platí aj opak, trať sa pohybuje voči vagónu. Každý pozorovateľ konštatuje o tom druhom, že sa skracujú rozmery toho pohybujúceho sa, a idú pomalšie hodiny toho pohybujúceho sa (deje pohybujúceho sa trvajú dlhšie). Nakoľko však pokoj a pohyb sú relatívne tvrdia to obidvaja o tom druhom. To môže pôsobiť na prvý pohľad mätúco.

⁵hovoríme vlastne o dobe – dobe potrebnej, k preleteniu vzsialenosti 40 alebo 50 kilometrov;

⁶Hermann Minkowski (1864-1909) nemecký matematik.

⁷Popisujeme tu tzv. symetrické Minkowského diagramy, ktoré sú známe ako Loedelove diagramy. Enrique Loedel Palumbo [enrik lődel palumbó] (1901-0962) uruguajský fyzik. Tieto diagramy majú výrazné výhody voči pôvodným Minkowského diagramom. Všetky osi majú rovnakú mierku, a dajú sa ich pomocou riešiť jednoduché prípady použitím elementárnej trigonometrie. Loedel ich znovu objavil (1948) po švajčiarskom fyzikovi Paulovi Grunerovi (Paul Gruner 1921).

18-5 Mr. Tompkins