18-3 Relativistická mechanika

18-3 Relativistická mechanika

Tak, ako zmizol éter z javiska fyziky, sním spolu sa vytratil pojem „absolútneho pohybu“, ktorý síce často len podvedome, ale vždy bol spojený s pojmom pohybu voči éteru. Pokiaľ neexistuje éter vypĺňajúci celý priestor (ktorý súčasne hrá úlohu univerzálnej vzťažnej sústavy pre pohybujúce sa hmotné telesá), potom v prípade akéhokoľvek hmotného telesa môžeme hovoriť len o jeho pohybe voči inému hmotnému telesu, a preto základné fyzikálne zákony musia byť rovnaké, nech ich skúmame v akejkoľvek vzťažnej sústave. Nakoľko tento základný princíp, postulát hovorí, že absolútny pohyb neexistuje, len relatívny pohyb jedného telesa voči druhému,
Einsteinovu teóriu, ako ju poznáme, nazývame teóriou relativity.

Z postulátu, ktorý sme uviedli, vyplýva, že ak vykonanáme ten istý fyzikálny experiment rovnakým spôsobom v dvoch rôznych vzťažných sústavách, potom dostaneme rovnaké výsledky v oboch vzťažných sústavách. Teda, porovnaním tam získaných výsledkov, je nemožné určiť pohyb jednej vzťažnej sústavy voči druhej (inými slovami neexistuje fyzikálny experiment, pomocou ktorého by bolo možné prehlásiť, že vzťažné sústavy sa voči sebe pohybujú). Kým transoceánsky parník brázdi hladké modré vody Atlantického oceánu smerujúc do New Yorku, a jeho rovnomerný pohyb nie je narušený ani búrkou, ani vlnobitím, veľké nástenné hodiny v kajute kapitána odtikávajú čas rovnakým spôsobom, akoby boli postavené v jeho obývacej izbe doma. Keď cestujúci hrajú stolný tenis, alebo biliard, z pohybu loptičky, alebo gúľ nevedia rozhodnúť, či stoja v nejakom prístave, alebo brázdia vody oceánu. Michelsonov experiment dokazuje, že toto je pravda aj pre svetelné javy. Ak niekto v kajute lode zopakuje Michelsonov experiment, z výsledkov nezistí, či loď stojí, alebo sa pohybuje (voči pevnine), kým nevyjde na palubu a neuvidí sivé budovy prístavu, alebo nekonečné vody oceánu.

Einstein, namiesto toho, aby sa pokúsil o ďalšie vysvetlenie negatívnych výsledkov Michelsonovho-Morleyho experimentu, prijal tento výsledok s nasledujúcim všeobecne platným predpokladom: rýchlosť šírenia svetla (v prázdnom priestore) je rovnaká pre každého pozorovateľa, nezávisle od toho, akou rýchlosťou sa pohybuje pozorovateľ alebo zdroj svetla.

Tento druhý postulát nie je také jednoduché prijať vo svojej všeobecnosti. Ak strelec nasadne do rýchlo sa pohybujúceho džípu, a vystrelí v smere jazdy, rýchlosť strely voči pôde bude súčtom rýchlosti strely voči ústiu zbrane a rýchlosti džípu voči pôde (obrázok 18.5a). Ak vystrelí v protismere jazdy, rýchlosť strely bude rozdielom spomínaných dvoch rýchlostí (obrázok 18.5b). Ak si svetlo predstavíme ako chvejúcu sa guľôčku vypustenú zo zdroja, očakávali by sme, že jej rýchlosť vypusteného zo zdroja pohybujúceho sa dopredu bude väčšia, než v prípade, keď zdroj ide dozadu. Z pozorovania dvojhviezd máme dostatok údajov, a tie (vylučujúc akúkoľvek pochybnosť) potvrdzujú, že svetlo sa takto nechová. Dvojhiezda (obrázok 18.5c), je sústava pozostávajúca z dvojice hviezd, ktoré obiehajú svoje spoločné ťažisko. Takéto dvojhviezdy sú častými objektmi medzi hviezdami: v skutočnosti tvorí približne polovica všetkých hviezd sústavu dvojhviezd. Nakoľko obiehanie, krúživý pohyb, sa deje okolo spoločného stredu, jedna z dvojice hviezd sa k nám vždy približuje a druhá sa vzďaľuje. Každá z dvojice po dobu polovice obehu sa k nám raz približuje a raz vzďaľuje. Keby rýchlosť zdroja svetla by mala vplyv na rýchlosť svetla, potom svetlo hviezdy, ktorá sa k nám blíži, by dorazilo skôr, ako svetlo hviezdy, ktorá sa od nás vzďaľuje, a doba medzi príchodom dvojice svetiel by bola dosť významná. Predpokladajme napríklad, že rýchlosť dvojice hviezd je rovnaká ako obežná rýchlosť Zeme, teda

30 km/s (v skutočnosti sú ich rýchlosti často podstatne väčšie). Potom by sa dialo to, že svetlo z hviezd by postupovalo o 0,01 % rýchlejšie alebo pomalšie, v závislosti od toho, či bolo vyžiarené z tej hviezdy systému, ktorá sa pohybuje smerom k nám, alebo z tej, ktorá sa pohybuje smerom od nás. Pri vzdialenosti sto svetelných rokov – v prípade hviezd takáto vzdialenosť vôbec nie je zriedkavosťou – by tento zdanlivo nepatrný rozdiel spôsobil veľký rozdiel (dni aj týždne), ktorý by sme pozorovali. Tento zvláštny jav by sa musel opakovať striedavo s periódou polovičky doby obehu dvojhiezd. Astronóm pozorujúci dvojhviezdu by bol v situácii, ako športový fanúšik pozorujúci boxový zápas na obrazovke televízneho prijímača, a v dôsledku nejakej technickej chyby by videl, že v treťom kole sa na obrazovke objavuje šampión a s oneskorením niekoľkých minút jeho súper. Náš fanúšik by videl šampióna sedieť už vo svojom rohu, kým jeho súper by ešte stále dostával údery v ringu. O minútu neskôr by sa zase šampión vyhýbal úderom, kým jeho súper by odpočítaval posledné sekundy odpočinku vo svojom rohu. Do polovice štvrtého kola by sa potom zdal zápas úplne normálny, ale k jeho koncu by sa záhadná chyba znova objavila, ale časovým posunom na opačnú stranu a fanúšik by videl, že šampión knock-outuje svojho súpera v okamihu, keď rozhodca už zápas ukončil. Nakoľko astronómovia pozorujúci dvojhviezdy nikdy nič podobného nepozorovali, môžeme usúdiť, že rýchlosť zdroja neovplyvňuje rýchlosť svetla.

V zmysle Einsteinovho postulátu tiež niet rozdielu medzi tým, či sa k nám blíži hviezda, alebo mi sa blížime k hviezde. Znamená to, že ak rýchlosť svetla pripočítame k ľubovoľnej rýchlosti, výsledkom zase bude rýchlosť svetla! To protirečí zdravému rozumu! V poriadku, povedal Einstein, ale keď sa jedná o vedecky dokázaný paradox, potom ho nemôžeme len tak ignorovať, každý ho musí akceptovať. A čo sa zdravého rozumu týka, ..., veru, tento zdravý rozum raz odporoval myšlienke, že by Zem mohla byť guľatá. Ak sčítanie rýchlostí podľa zdravého rozumu nemôžeme použiť pre rýchlosť svetla a rýchlosť svetelného zdroja, potom toto sčítanie rýchlostí nie je správne. To, že sa predsa dá použiť v každodennom živote, sa dá vysvetliť jedine tým, že rýchlosti, s ktorými sa dostávame do styku, sú podstatne menšie, ako rýchlosť svetla. Práve z tohto dôvodu, preseknutím druhého gordického uzla³, Einstein zaviedol pre sčítanie dvoch rýchlostí veľmi zvláštne vypadajúce pravidlo. Ak rýchlosť džípu je v a rýchlosť strely (vystrelenej v smere jazdy) voči ústiu pušky je V, potom rýchlosť strely voči pôde nie je v + V, ale

v + V 1 + vV c2 ,

kde c je rýchlosť svetla. Ak je rýchlosť v aj V malé voči rýchlosti svetla, potom druhý člen menovateľa sa dá zanedbať, a náš vzorec dá výsledok súhlasný so „zdravým rozumom“.

Avšak ak rýchlosť v, alebo V, alebo oboch sa blíži k rýchlosti svetla, potom je situácia úplne iná.

Predpokladajme, že rýchlosť džípu je 75 % rýchlosti svetla a rýchlosť strely voči ústiu hlavne pušky je tiež takáto. Počítajúc podľa zdravého rozumu, rýchlosť strely meranej voči pôde prekračuje rýchlosť svetla o 50 %. Dosadiac do našej formuly hodnoty v = 0,75c a V = 0,75c, výsledok bude len 0,96c, teda rýchlosť strely voči pôde bude menšia ako rýchlosť svetla. Čitateľ sa môže ľahko presvedčiť o tom, že nech je dvojica rýchlostí akokoľvek blízko k rýchlosti svetla, výsledná rýchlosť nikdy neprekročí rýchlosť svetla. V krajnom prípade, ak v = c, potom

v + c 1 + vc c2 = v + c 1 + v c = c(v + c) c + v = c.

Tento vzťah vyjadruje kvantitatívne ten fakt, že rýchlosť zdroja nikdy nepripočítame k rýchlosti svetla, ale rýchlosti skladáme tak, ako sme to urobili. Na prvý pohľad sa môže dať tento výsledok fantastický, ale Einsteinovo pravidlo sčítania rýchlostí je správne, a dá sa overiť aj bezprostrednými pokusmi. Vychádzajúc zo zdravého rozumu sa nedá pochopiť, ale nezabudnime, že zdravý rozum vychádzajúca z každodenných skúseností, ale ani džíp pohybujúci sa skoro rýchlosťou svetla, ani strela vystrelená rýchlosťou svetla nie sú medzi „každodennými skúsenosťami“! Einsteinova teória relativity nás vedie ku konštatovaniu, že sčítaním dvoch (alebo viacerých) rýchlostí je nemožné prekročiť rýchlosť svetla, nezávisle od toho ako blízko sa nachádzajú k rýchlosti svetla tieto rýchlosti zvlášť-zvlášť. Rýchlosť svetla teda hrá úlohu určitej prirodzenej hornej hranice rýchlosti, ktorú prekročiť možné nie je za žiadnych okolností.

Je pochopiteľné, že pokiaľ rýchlosť svetla (alebo iného elektromagnetického žiarenia) je rovnaká pre každého pozorovateľa, nezávisle od toho aká je rýchlosť pozorovateľa voči zdroju svetla, potom bezpodmienečne potrebujeme Einsteinovo pravidlo sčítavania rýchlostí. Pokiaľ by sa však jednalo len o sčítanie rýchlostí, slovo „relativita“ by nemalo taký veľký význam. Je totiž nemožné, že zostrojíme takýto nový zákon pre sčítanie rýchlostí, a všetky ostatné oblasti fyziky necháme netknuté. Rýchlosť je daná kombináciou vzdialenosti a času; pre každého pozorovateľa je rýchlosť (ktorú meria on) pomerom prejdenej vzdialenosti (ktorú meria on) a času (ktorú meria on).

Ak toto konštatovanie je pravdivé, potom celý rad dôsledkov je už nutnosťou. Dôsledky sa dajú overiť jednoducho aj čisto algebrickou cestou, ale nakoľko by to znamenalo dosť veľa výpočtov, rozhodli sme sa čitateľa do tohto bludiska kalkulácií nezatiahnuť.

Predstavme si pozorovateľa A. Sám seba považuje za pozorovateľa, ktorý je v pokoji, a všetko čo pozoruje, považuje za správne. Tento pozorovateľ vidí vesmírne laboratórium pohybujúce sa vo vzduchu rýchlosťou v (vzhľadom k nemu). Skrz veľké okno laboratória vidí tiež experimentátora, ktorý sedí vo vnútri a vykonáva jednoduché mechanické činnosti, vykonáva merania. Laboratórium je vybavené overenými závažiami, na ktoré je napísané „1 kg“, „100 g“ atď., metrovými tyčami a na stene sú zavesené presné hodiny. Na týchto prístrojoch je vidieť menovka výrobcu a taktiež známky potvrdzujúce ich pravosť a presnosť, takže pozorovateľ A nemá žiadne pochybnosti o tom, že sa jedná o pravé a presné prístroje. Tento pozorovateľ A, však pomocou svojich dôvtipných meracích prístrojov (zohľadňujúc rýchlosť svetla, ktorá je potrebná, aby informácie sa skrz okno laboratória k nemu dorazili) zisťuje nasledujúce:

Merania pozorovateľa A potvrdzujú, že každá pohybujúca sa tyč je kratšia, takže metrová tyč má dĺžku namiesto 1 metra len 1 − v2∕c2 metra.

Pozorovateľ A zisťuje, že pohybujúce sa hodiny tikajú pomalšie: kým na hodinách vesmírneho laboratória uplynie 1 minúta, na hodinách pozorovateľa A uplynie 1∕1 − v2 ∕c2 minút.

Po vykonaní niekoľkých experimentov zistí pozorovateľ A, že závažia vesmírneho laboratória majú väčšiu hybnosť, než by zodpovedalo meranej rýchlosti v a hmotnosti, ktoré sú na závažiach vyrazené, lebo hybnosť kilogramového závažia laboratória je mv∕1 − v2 ∕c2 a nie len mv.⁴

Pre korektnosť uveďme aj to, čo vidí experimentátor vesmírneho laboratória v  laboratóriu pozorovateľa A. Človiečik vo vesmírnom laboratóriu zisťuje o pomôckach pozorovateľa A presne tie isté vlastnosti: metrová tyč pozorovateľa A (z pohľadu človiečika v laboratóriu) je presne v uvedenom pomere tiež kratšia, hodiny pozorovateľa A idú presne v uvedenom pomere pomalšie a kilogramové závažie pozorovateľa A má presne v uvedenom pomere väčšiu hybnosť („má väčšiu hmotnosť“).

Každý z týchto experimentujúcich osôb zistil o pomôckach toho druhého to, čo sa dalo očakávať. Zistené odchýlky u oboch boli spôsobené relatívnou rýchlosťou medzi nimi, a tá bola pre oboch rovnaká. (Pamätajme, že A predpokladal o sebe na povrchu Zeme, že je v pokoji a to napriek tomu, že Zem obieha okolo Slnka rýchlosťou rovnou 100000 km/h a slnečná sústava zase obieha okolo stredu Mliečnej dráhy rýchlosťou 1000000 km/h!)

Príbeh, ktorý sme porozprávali nevieme realizovať v každodennom živote, ale jeho jednotlivé detaily sa dajú overiť pozorovaniami. Moderná fyzika snáď nemá ďalšiu takú kapitolu, ktorá by experimentálne bola tak dokonale overená, ako Einsteinova teória špeciálnej relativity.

Viaceré z týchto dôkazov uvidíme neskôr v kapitole o jadrovej fyzike.

Čo platí pre metrovú tyč, hodiny a kilogramové závažia, platí samozrejme pre každú dĺžku pohybujúceho sa predmetu, každú časovú dobu a hmotnosť. Pri každodenných rýchlostiach sú však tieto zmeny väčšinou nemerateľne malé. Ako príklad si zoberme výpočty týkajúce sa umelej družice obiehajúcej okolo Zeme rýchlosťou 11 km/s = 1,1 × 104 m/s. Nech pokojová hmotnosť umelej družice m0 (tj. hmotnosť, ktorú zmeria pozorovateľ voči ktorému je družica v pokoji) je 1000 kg a nech pokojová dĺžka družice l0 je 5 m.

Podľa teórie relativity vidí pozorovateľ, ktorý je v pokoji na Zemi, nasledovne:

p = m0v 1 − v2 ∕c2 , l = l01 − v2 ∕c2.

Meraním hybnosti pohybujúcej sa umelej družice zisťujeme, že jej hybnosť je

p = (103 kg)(1,1 × 104 m/s) 1 − (1, 1 × 104 )2 ∕(3 × 108 )2 = 1,1 × 107 kg⋅m/s 1 − 1, 34 × 10−9 .

Tento výraz je dosť nepríjemný, aby sme ho vyčíslili bez kalkulátoru, preto použijeme nasledujúce približný vzťah

(1 + x)α ≈ 1 + αx,

ale len vtedy, ak |x| je podstatne menšie, než 1, pričom x môže byť aj záporné, ako v našom prípade (x = −1,34 × 10−9). Číslo α môže byť akékoľvek. Ak chceme použiť pre odmocninu, tak α = 1∕2, lebo 1 + x ≡ (1 + x)1∕2 ≈ 1 + 1 2 x

Nakoľko 1,34 × 10−9 je skutočne podstatne menšie ako 1, približná hodnota výsledku je

p = 1,1 × 107 1 − 0,7 × 10−9 = 1,1 × 103 1 − 7 × 10−10 kg⋅m/s.

Aj delenie je v tomto prípade nepríjemná procedúra, ale dá sa mu vyhnúť, keď znova použijeme náš vzťah, lebo 1∕(1 + x) ≡ (1 + x)−1

1 1 + x ≈ 1 − x,

ktoré platí tiež len vtedy, ak |x| je podstatne menšie ako 1.

Náš výsledok je teda

p = 1,1 × 107 × (1 + 7 × 10−10) = 1,1 × 107 kg⋅m/s + 7,7⋅10−3 kg⋅m/s.

Týchto 7,7 × 10−3 kg⋅m/s = 77 g⋅cm/s nárastu hybnosti pri celkovej hybnosti družice s hmotnosťou 1 tona pohybujúcej sa rýchlosťou 11 km/s je v podstate nemerateľná. Hovorí však o tom, že pokiaľ budeme chcieť družicu ešte zrýchliť (alebo spomaliť), budeme potrebovať (aj keď nepatrne, ale predsa) väčšiu silu, než hovorí Newtonova mechanika, lebo sila je zmena hybnosti za jednotku času (F = Δp∕Δt). Pri náraze sondy do asteroidu odovzdá sonda asteroidu väčšiu hybnosť (vďaka zákonu zachovania hybnosti), než hovorí Newtonova mechanika, aj keď len o nepatrnú hodnotu.

Meraním dĺžky pohybujúcej sa družice sa tiež dostaneme k výsledku

l = l01 − v2 ∕c2 = 5(1 − 7 × 10−10) = 5 m − 3,5 × 10−9 m,

a skrátenie je 3,5 × 10−9 m = 3,5 × 10−7 cm = 35 Å, čo predstavuje 1 % vlnovej dĺžky ultrafialového svetla. Toto nepatrné skrátenie dĺžky zodpovedá priemeru približne troch atómov – v žiadnom prípade to nechápajme tak, že v skrátenej tyči je menej atómov.

Ak sú na tejto družici presné hodiny, ktoré boli pred štartom presne nastavené, o koľko budú meškať, až sa družica vráti na Zem, napríklad po 10 dňovom obiehaní okolo Zeme? Chod hodín obiehajúcej družice, na ktoré sa pozeráme zo Zeme, sú spomalené. Kým na družici uplynie jedna sekunda, na Zemi namerajú dlhšiu dobu o faktor

1 1 − v2 ∕c2 = 1 + 7 × 10−10.

Doba 10 dní predstavuje 10 × 24 × 60 × 60 s = 8,64 × 105 s. Kým na družici hodiny odmerajú tento čas (teda jeden deň), hodiny na Zemi namerajú čas

t = (8,64 × 105 s)(1 + 7 × 10−10) = 8,64 × 105 s + 6 × 10−4 s.

Inými slovami, hodiny na Zemi budú ukazovať viac o 6 × 10−4 s. Mohli sme sa pýtať aj tak, že aké bude oneskorenie hodín družice voči Zemi. Odpoveď je samozrejme, že hodiny družice meškajú voči pozemským hodinám o 6 × 10−4 s.

Nakoľko sme spomenuli relativistickú hmotnosť, aj keď máme voči tomuto pojmu výhrady, uvedieme čo sa tým rozumie. Obdobným spôsobom, ako sa hovorí o dĺžke, čase a hybnosti, sa vo väčšine učebníc hovorí aj o zmene hmotnosti telesa pohybujúceho sa veľkou rýchlosťou. Uvádzajú, že hmotnosť telesa v pokoji je m0, ale pokiaľ sa pohybuje rýchlosťou v, potom jej hmotnosť vzrastie na hodnotu

m(v) = m0 1 − v2 ∕c2 .

Túto hmotnosť m(v) potom nazývajú relativistická hmotnosť. V prípade našej umelej družice s  hmotnosťou m0 = 1000 kg dostaneme, že relativistická hmotnosť sondy (pri rýchlosti 11 km/s) bude

m(v) = 1×103×(1+7×10−10) = 1000 kg+7×10−7 kg = 1000 kg+0,7 mg.

Tento nárast hmotnosti o 0,7 mg si v žiadnom prípade nepredstavujme tak, že vzrástol počet atómov v hmote umelej družice. Počet atómov v družici sa nemzenil.

Relativistická hmotnosť m(v) je veľmi populárnou veličinou, žiaľ nezapadá úplne do systému relativistickej fyziky (aj keď ju používajú 2/3 učebníc na celom svete). Relativistická hmotnosť totiž nie je relativistickým zovšeobecnením klasickej hmotnosti z Newtonovskej fyziky. Sám Einstein, o  desaťročia po zostrojení špeciálnej teórie relativity, ľutoval, že tento pojem zaviedol, a neskôr už odporúčal pojem relativistickej hmotnosti nezavádzať. Pri náležitom používaní pojmu relativistická hmotnosť sa človek chyby nedopustí. Problém je však v tom, že slovo náležité znamená trošku iné pravidlá, než aké platia pre ostatné veličiny v relativistickej fyzike. K tomu povieme podrobnosti v závere kapitoly.