16-2 Fotometria

16-1 Rýchlosť svetla; 16-2 Fotometria; 16-3 Farby; 16-4 Farba oblohy; 16-8 Dúha; 16-6 Prečo sa láme svetlo?

16-2 Fotometria

Svetelný zdroj môže byť slabý alebo silný (napríklad svetluška, či Slnko). Aj osvetlenie môže byť slabé alebo silné od mdlého osvetlenia jaskyne až po oslepujúci slnečný svit na poludnie v trópoch či na horách.

Intenzita osvetlenia zrejme súvisí s tým, aký silný je svetelný zdroj, ale závisí aj od toho, že ako ďaleko sme od svetelného zdroja. Mnohé roky, až do dnešných dní, porovnávali svietivosť svetelných zdrojov so svietivosťou sviečok. Základnou jednotkou svietivosti bola svietivosť jednej sviečky. Boli predpísané rozmery sviečky, z akých tukov a olejov sviečka musí byť zhotovená. Ani pri najvyššej dôkladnosti však nebolo možné zaručiť, že sviečky vyrábané za účelom merania budú rovnaké, že budú svietiť rovnako.

Ľudia pochopili, že viditeľné svetlo pre naše každodenné činnosti je neodpustiteľné, preto fyzici definovali fyzikálne jednotky, ktoré charakterizujú zdroje viditeľného svetla z fyzikálneho hľadiska.

Moderná fotometria, ktorá sa venuje meraniu svietivosti a osvetlenia, tiež používa pomenovania ako sviečka, či svetelná sviečka, presnejšie ich latinský názov candela (v slovenčine kandela) pre pomenovanie jednotky (značka jednotky cd). Definícia tejto jednotky je však úplne iná. Ako sme už povedali, svetlo predstavuje určitú energiu. Svietivosť zdroja charakterizujeme tým, že koľko energie produkuje v podobe svetla za jednotku času. Je zrejmé totiž, že nie je jedno, či určité množstvo energie v podobe svetla produkuje za krátky čas (vtedy „svieti“ viac), alebo za dlhšiu dobu (vtedy svieti menej). Svietivosť zdroja teda hovorí, aký je jeho výkon (meraný vo wattoch) vo forme viditeľného svetla. Definícia jednotky kandela sa viaže na zelené svetlo, ktoré fyzikálne sa dá charakterizovať ešte presnejšie frekvenciou, či vlnovou dĺžkou. Pre účeli definície jednotky kandela sa uvažuje o svetle, ktorej frekvencia je presne $540 \times 1 0^{12} Hz$ (vo vákuu také svetlo má vlnovú dĺžku približne $555 nm$ – definícia sa však odvíja od frekvencie, ktorej hodnota je dohodnutá presne).

Zdroj monochromatického svetla, ktorej frekvencia je $540 \times 1 0^{12} Hz$ , má svietivosť jeden kandela ( $1 cd$ ), ak do priestorového uhla jeden steradián ( $1 sr$ ) žiari výkonom⁴ $\frac{1}{683} W$ .

Steradián je jednotkou priestorového uhla (značka jednotky sr). Porovnajme definíciu steradiánu s definíciou radiánu. Radián je jednotkou plošného uhla, a predstavuje pomer dvoch dĺžok. Je pomerom dĺžky oblúka, ktorý uhol predstavuje, a polomeru oblúka. Priestorový uhol je zložitejší, ale nie zase o moc, je pomerom dvoch plôch. Predstavme si, že naše oko je v strede gule s polomerom $r,$ a sledujeme nejaký predmet, napríklad obraz na plátne v galérii. Predstavme si, že na priehľadnú plochu tejto gule môžeme vystretím ruky kresliť. Bez toho, že by sme sa pohli, obkreslíme obraz (okraje plátna), ktorý sledujeme. Tým na guľoploche vznikne obkreslená oblasť, ktorá pri našom pohľade ohraničuje pozorovaný obraz. Plocha na povrchu gule, ktorú ohraničuje naša kresba, má nejakú plochu – označme $S .$ Pomer tejto plochy k $r^{2},$ tj. $S ∕ r^{2}$ je plošný uhol pozorovaného obrazu v jednotke steradián. Keby sme kreslili na guľu s polomerom $1 m$ , tak plocha $S$ vyjadrená v metroch štvorcových predstavuje plošný uhol pozorovaného obrazu v jednotke steradián. Plošný uhol môže mať zložitý tvar. Napríklad na obraze, ktorý sme pozorovali, mohla byť katedrála. Aký plošný uhol predstavuje táto katedrála pre nás, ktorý pozorujeme obraz s katedrálou? Znova, obkreslíme katedrálu, ako ju vidíme, jej obrysy určia plochu $S_{kat}$ na našej guli a $S_{kat} ∕ r^{2}$ je priestorový uhol, ktorý vykrýva z nášho pohľadu katedrála. V prípade plošných uhlov pod uhlom rozumieme väčšinou uhol medzi dvomi polpriamkami. Matematici aj fyzici často hovoria aj o priestorovom uhle, ktorý sa vymedzuje dosť jednoduchým spôsobom. Napríklad pomocou kužeľa, ktorý má vrchol v bode, odkiaľ sa pozoruje (v našom prípade je tým vrcholom kužeľa naše oko v strede gule). Aj kužeľ ohraničí časť povrchu gule, čím definuje priestorový uhol veľmi jednoduchého tvaru. Pár jednoduchých príkladov na záver: ak chceme povedať, že pozorujeme polpriestor, tak môžeme povedať, že pozorujeme priestorový uhol $2 π sr$ , teda $6, 28 sr$ , lebo povrch polgule je $2 π r^{2} .$ Zase, celý priestor okolo nás predstavuje priestorový uhol $4 π sr$ , teda $12, 56 sr$ .

Technické prevedenie jednotky kandela sa môže meniť časom, tak, ako sa vyvíjajú technológie. Doteraz sa používala presne popísaná pec, tj. tepelne dobre izolovaná uzavretá dutina. Teplota v tejto peci má byť teplota topenia platiny (táto teplota je $2046 K = 1773 ℃$ ). Vytvorme v stene pece otvor, ktorej plocha je presne $1 cm^{2}$ . Cez otvor vidíme, že v peci nie je tma, vnútrajšok pece žiari. Svietivosť takto vytvoreného otvoru je $60 cd$ . Pred rokom 2019 takáto pec predstavovala definíciu jednotky kandela, teraz na ňu hladíme len, ako na jednu z možných prevedení, ako stanoviť prakticky jednotku kandela v laboratórnych podmienkach. Od jeho zavedenia sa však urobil na poli svetelných zdrojov obrovský pokrok, preto nami uvedená nová definícia sa neviaže na technológiu a definuje jednotku svietivosti, ako sme ju uviedli (samotná definícia je nekonečne presná).

Zariadenie s pecou je dosť nepraktické k tomu, aby sme ho porovnávali s inými zdrojmi svetla. V praxi sa dávnejšie používali presne zostavené elektrické žiarovky, ktorú pripojili na zdroj prúdu s presne definovaným elektrickým napätím.

Prejdime teraz k otázke osvetlenia. Zoberme 100 wattovú žiarovku, ktorá má svietivosť $130 cd$ . Ako by sme mohli merať osvetlenie, akým osvetľuje táto žiarovka stránku listu tejto knihy v rôznych vzdialenostiach od žiarovky?

Skôr ako zodpovieme túto otázku, zavedieme nový pojem svetelný tok. Nech svietivosť nášho zdroja je $1 kandela$ a nech svieti do všetkých strán rovnomerne a rovnako. Ak si k bodovému svetelnému zdroju predstavíme kužeľ (v jeho vrcholu je zdroj svetla), ktorý vymedzuje priestorový uhol $1 steradián$ , potom tok svetla v tomto kuželi je $1 lumen$ (značka jednotky lumen je lm). Jednotka lumen je jednotkou svetelného toku. Je ľahké pochopiť, že celkový svetelný tok produkovaný našim zdrojom, ktorý svieti do všetkých strán rovnako je $4 π lumenov$ , teda $12, 56 lumenov$ , lebo celý priestor predstavuje priestorový uhol $4 π steradiánu$ . (K svetelnému toku sa môžeme dostať aj iným spôsobom. Ak si povieme, že náš zdroj svetla, ktorý má svietivosť $1 cd$ , je v strede gule s polomerom $1 m$ , potom svetlo vyžarované zdrojom svetla sa rozloží rovnomerne na povrchu gule. Povrch gule je $4 π r^{2}$ a ak $r = 1 m,$ potom sa rozkladá na povrchu $4 π m^{2}$ . Svetlo pripadajúce na jednotkovú plochu, a svetlo, ktoré prúdi zo zdroja na túto jednotkovú plochu predstavuje svetelný tok $1 lm$ , lebo jednotkovej ploche na povrchu jednotkovej gule zodpovedá priestorový uhol $1 sr$ .)

Zostaňme na povrchu jednotkovej gule ( $r = 1 m$ ), a nech zdroj svetla v strede gule má znova svietivosť $1 cd$ . Z celkového svetelného toku pripadá na každý meter štvorcový svetelný tok $1 lm$ . Pre takúto plochu povieme, že osvetlenie plochy je $1 lux$ (značka jednotky lux je lx) a $1 lx = 1 lm/m^{2}$ . Obrázok 16.3 znázorňuje, že ten istý svetelný tok, ktorý sa rozkladá na ploche, ktorá je 2-krát, 3-krát ďalej od bodového zdroja svetla, sa rozkladá na ploche, ktorá je 4-krát, 9-krát väčšia, a tak bude osvetlenie 4-krát, 9-krát menšie. Zákon osvetlenia je jednoduchý: osvetlenie je nepriamo úmerné kvadrátu vzdialenosti meranej od zdroja svetla.

(Doteraz sme vždy predpokladali, že svetlo dopadá kolmo na osvetlenú plochu. V prípade lúčov, ktoré dopadajú na osvetlenú plochu pod určitým uhlom, musíme zobrať do úvahy aj tento uhol pre správny výpočet osvetlenia.)

Vráťme sa k nášmu príkladu 100 wattovej žiarovky, ktorá má svietivosť 130 kandela. Obklopíme našu lampu guľou s polomerom 1 meter – na túto plochu dopadá všetok svetla z našej lampy. Na $1 m^{2}$ plochy dopadá svetlo $(130 kandela) ∕ (12, 56 steradián) = 10, 35 kandela/steradián$ , teda svetelný tok $10, 4 lumen$ . V tejto metrovej vzdialenosti je osvetlenie plochy $10, 35 lux$ , vo vzdialenosti 2 metre $10, 35 ∕ 4 = 2, 59 lux$ , vo vzdialenosti 3 metre $10, 35 ∕ 9 = 1, 15 lux$ , pokiaľ svetlo dopadá kolmo na osvetlené plochy.

K porovnaniu svietivosti svetelných zdrojov slúži fotometer. Najjednoduchší fotometer je sú tzv. fotometre „s mastným fľakom“: biely papier s mastným fľakom (ešte lepšie s fľakom od masla) s meradlom dĺžky. Pokiaľ chceme zistiť svietivosť neznámeho zdroja porovnaním, potom musíme mať jeden zdroj so známou svietivosťou (štandardný zdroj), s ktorou ho porovnáme. Experimentálne zariadenie je znázornené na obr. 16.4.

Aby sme pochopili činnosť tohoto zariadenia, zhasnime najprv svetlo štandardnej lampy, a pozrime sa na papier zprava; papier osvetľuje len neznámi zdroj. Papier „svieti“ bielo, lebo svetlo sa odráža z jeho vlákien. Na mieste mastnej časti však vidíme tmavý fľak; Priestor medzi vláknami papiera vypĺňa masť, ktorého index lomu je skoro rovný indexu lomu papiera. Na povrchu vlákien, ktoré sú hlbšie v papieri preto nie je taký ostrá zmena indexu lomu, preto väčšina svetla prejde mastným papierom, a len menšia časť sa odrazí naspäť. Túto skutočnosť potvrdzuje aj to, čo vidíme z druhej strany papiera: mastný fľak, vďaka prechádzajúcemu svetlu sa javí svetlejším. Zapnime teraz štandardnú lampu a posúvajme papier medzi lampami, kým nenájdeme polohu, v ktorej sa zdá, že fľak zmizol – v tejto polohe obidve strany papiera sú osvetlené rovnako. Použitím zákona osvetlenia

$\frac{S}{d_{S}^{2}} = \frac{X}{d_{X}^{2}}; X = S \frac{d_{X}^{2}}{d_{S}^{2}},$

kde S je svietivosť štandardnej lampy a $X$ je svietivosť neznámej lampy. Nech je napríklad svietivosť štandardnej lampy $X = 32 cd$ a nech mastný fľak zmizne, keď $d_{S} = 41 cm$ a $d_{X} = 59 cm$ (keď aj nezmizne fľak úplne, nech z oboch strán sa zdá byť mastný fľak rovnakým). Potom

$X = \frac{5 9^{2}}{4 1^{2}} \times 32 cd = 66 cd .$

⁴Za týmto účelom sa v sústave SI definuje konštanta mernej svietivosti
$K_{cd} = 683 cd \cdot sr/W .$ Definícia jednotky kandela je vyslovená znova podobne, ako definícia metra, lebo hovorí, že zdroj svetla s frekvenciou $540 \times 1 0^{12} Hz$ má svietivosť $1 cd$ , ak konštanta merného svetelného výkonu $K_{cd} = 683 cd \cdot sr/W$ .

16-3 Farby