15-5 Hranoly

15-1 Odraz svetla; 15-2 Rovinné zrkadlá; 15-3 Duté a vypuklé zrkadlá; 15-4 Lom svetla; 15-5 Hranoly; 15-6 Šošovky; 15-7 Sústavy šošoviek; 15-8 Mikroskop; 15-9 Ďalekohlad; 15-10 Hranolové spektroskopy;

Úlohy

15-4 Lom svetla

15-5 Hranoly

Často používanou zložkou optických prístrojov je hranol, o ktorom bude reč aj neskôr pri optických prístrojoch. Na obrázku 15.8 dopadá na sklenený hranol úzky zväzok svetelného lúča. Nech toto svetlo je zmesou červeného a modrého svetla. Zistíme, že hranol vychýli svetlo, ale modré viac, ako červené. Môžeme z toho usúdiť, že index lomu skla pre modré svetlo je väčšie, ako pre červené. Ak na hranol necháme dopadnúť biele svetlo, za hranolom sa objaví celé spektrum farieb: fialová, tmavomodrá (indigo) modrá, zelená, žltá, oranžová a červená, ktoré sa radia tak, že najviac sa vychyľuje fialová a najmenej červená. Túto závislosť indexu lomu od farby svetla nazývame disperzia a je vlastnosťou všetkých priehľadných látok. Spôsobuje farebnú hru diamantov v prsteni, ale aj farebné trblietanie kvapiek rosy, a vďačíme tomuto javu aj za schopnosť spektroskopu, že je schopný rozdeliť svetlo na jeho farebné komponenty, ktoré potom môžeme analyzovať. Vo fotoaparátoch, ďalekohľadoch, mikroskopoch je ale disperzia veľmi rušivým javom, lebo v týchto prístrojoch by sme chceli všetky farby sústrediť do jediného bodu (pokiaľ vyšli z jediného bodu).

Preskúmajme, že čo sa udeje s úzkym zväzkom bieleho svetla, ak prejde hranolom. Nech hranol má tvar rovnostranného trojuholníka, teda veľkosť každého uhla je 60°. Nech je z flintového skla (sklo s veľkou hustotou), ktorého index lomu pre červené, žlté a modré svetlo je $n_{č} = 1, 600,$ $n_{ž} = 1, 605,$ $n_{m} = 1, 626 .$ Nastavme naše pomôcky tak, aby zväzok žltého lúča bežal v hranole rovnobežne so základňou $BC$ hranola (pozri obrázok 15.9). V tomto prípade je uhol lomu žltého svetla patriaci k povrchu $AB$ 30° a uhol dopadu (čo je súčasne uhlom dopadu $i$ bieleho svetla) sa dá vypočítať nasledovne

\begin{array}{rcl} \frac{\sin α}{\sin 30 °} & = & \frac{\sin α}{0, 5} = 1, 605, \\ \sin α & = & 0, 8025, \\ α & = & 53 ° 2 2^{'} . \end{array}

Pri tejto voľbe uhla dopadu postupuje žlté svetlo vzhľadom na vrchol $A$ úplne symetricky, a pri prechode cez plochu $AC$ sa dostane na vzduch tak, že jeho uhol lomu bude $β_{ž}^{'} = 53 ° 2 2^{'} .$

disperzia — Obr. 15.9:Disperzia bieleho svetla v rovnostrannom hranole z flintového skla.

Červená zložka svetla cez hranol už neprechádza symetricky, preto s touto zložkou už budeme mať trošku viac práce. Jeho uhol dopadu na plochu $AB$ je ešte rovnaký ako u žltého svetla, teda $53 ° 2 2^{'}$ a uhol lomu v skle sa dá vypočítať nasledovne

\begin{array}{rcl} \frac{\sin 53 ° 2 2^{'}}{\sin β_{č}} & = & 1, 600, \\ \sin β_{č} & = & \frac{0, 8025}{1, 600}, \\ β_{č} & = & 30 ° 0 6^{'} . \end{array}

Krátkym výpočtom môžeme zistiť, že uhol dopadu červeného svetla na plochu $AC$ je $α_{č}^{'} = 29 ° 5 4^{'} .$ Uhol lomu pri výstupe na vzduch sa dá tiež vypočítať

\begin{array}{rcl} \frac{\sin 29 ° 5 4^{'}}{\sin β_{č}^{'}} & = & \frac{1}{1, 600}, (n_{vzduch,sklo} = \frac{1}{n_{sklo,vzduch}}), \\ \sin β_{č}^{'} & = & 0, 4985 \cdot 1, 600 = 0, 7976, \\ β_{č}^{'} & = & 52 ° 5 4^{'} . \end{array}

Úplne rovnako postupujeme aj v prípade modrej zložky svetla a nakoniec dostaneme

β_{m}^{'} = 55 ° 2 7^{'} .

V tomto prípade biele svetlo bude rozložené na jeho zložky tak, že rozdiel v smere červenej a modrej zložky svetla bude $55 ° 2 7^{'} - 52 ° 5 4^{'} = 2 ° 3 3^{'} .$

Každý hranol sa dá využiť k tomu, aby sme ním odchýlili smer lúča a vyvolali tiež disperziu. Mnohé hranoly ale majú úplne odlišnú úlohu, odrážajú svetlo rovnako tak, ako zrkadlo. To, že ako je to možné, ukazuje obrázok 15.10a. Existuje veľmi veľa druhov optického skla a ich index lomu (pre žlté svetlo) spadá medzi hodnoty 1,45 a 1,92. Zoberme také sklo, ktorého index lomu vzhľadom na vzduch je napríklad 1,65. Ak svetelný lúč vystupuje z tohto skla do vzduchu, potom index lomu je $1 ∕ 1, 65 = 0, 606$ a smer lomeného lúča môžeme určiť podľa vzťahu

\frac{\sin α}{\sin β} = 0, 606,

veľmi ľahko.

Vždy, keď svetelný lúč dorazí k rozhraniu prostredí, časť svetla sa odrazí z rozhrania a časť prejde do druhého prostredia, pričom zmení svoj smer. Presne to sa deje aj s lúčom 1 na obrázku. Správanie sa lúča 2 je podobný, ale lúč 3 sa chová neobvykle. Ak jeho uhol dopadu je (v prípade uvažovaného skla) 37,3°, potom sínus uhla lomu je

\sin β = \frac{\sin 37, 3 °}{0, 606} = \frac{0, 606}{0, 606} = 1,

a tak

β = 90 ° .

Ak taký lúč (nazývame aj kritickým lúčom) dopadá na rozhranie skla a vzduchu pod takýmto kritickým alebo hraničným uhlom , potom sa láme tak, že vôbec neprejde do druhého prostredia – tu do vzduchu. Ak v našom danom prípade chceme vypočítať uhol lomu pre väčší uhol dopadu, než je 37,3°, pre $\sin β$ dostaneme hodnotu, ktorá je väčšia ako 1, čo nie je možné.

Príroda tu naráža na nemožné (alebo ako neskôr uvidíme – na skoro nemožné) a zväzok sa odráža naspäť do skla, tak ako to ukazuje lúč 4 na obrázku 15.10b.

Takýto úplný odraz môže nastať len vtedy, pokiaľ svetelný lúč prechádza z prostredia s väčším indexom lomu do prostredia s menším indexom lomu. Všetky lúče, ktoré dopadajú na rozhranie pod väčším uhlom, než je kritický, sa odrazia úplne. Hodnotu kritického alebo hraničného uhla $α_{h}$ môžeme vypočítať zo vzťahu

\sin α_{h} = \frac{1}{n} .

Na obrázku 15.10b je znázornený 45°-vý hranol, a uhol dopadu lúča je 45°, čo je väčšie ako hraničný uhol. Preto zväzok sa úplne odrazí, tj. odrazí sa sto percent lúča. Účinnosť odrazu svetla sa dá zvyšovať postriebrením, alebo nanesením hliníkovej vrstvy na povrch hranola; táto vrstva nevybledne, ani neoxiduje a preto stopercentná schopnosť odraziť svetlo hranola sa udrží po veľmi dlhú dobu.

15-6 Šošovky