15-3 Duté a vypuklé zrkadlá

15-3 Duté a vypuklé zrkadlá

Namiesto rovinných zrkadiel sa v optických prístrojoch, od ďalekohľadov až po mikroskopy, sa často používajú duté a vypuklé zrkadlá. Najjednoduchším takým zrkadlom je vyleštený kúsok povrchu gule. Pozrime sa, že čo sa stane so svetlom, keď sa odráža od povrchu dutého zrkadla, tak ako to ukazuje aj obrázok 15.3a. Bod C, ktorý je geometrickým stredom gule nazývame stred krivosti zrkadla – zrkadlo je časťou povrchu tejto gule. Stred krivosti a stred zrkadla (toho kúsku povrchu gule) spája priamka CO, ktorú nazývame optická os. Pozrime sa teraz na lúč, ktorý postupuje rovnobežne s optickou osou, a na povrch zrkadla dopadne v bode B. Polomer CB gule je kolmý na povrch zrkadla, preto lúč AB sa odráža do smeru F tak, že uhol dopadu α sa rovná uhlu odrazu β (α = β). Odrazený lúč pretína optickú os v bode F; tento bod nazývame ohnisko zrkadla. Nakoľko AB je rovnobežný s optickou osou, uhol ∠BCF je rovný α, a preto trojuholník △BCF je rovnoramenný, teda |BF| = |CF|. Pokiaľ bod B nie je príliš ďaleko od bodu O, potom OF a BF sú si skoro rovnako veľké. To ale znamená aj to, že bod F skoro presne polí polomer krivosti CO.

Vychádzajúc z nejakého skutočného a vzdialeného predmetu môžeme nakresliť množstvo lúčov, ktoré sú vzájomne rovnobežných a súčasne sú rovnobežné s optickou osou. Všetky tieto lúče sa po odraze pretínajú v tom istom (alebo skoro v tom istom) bode F. Čím je lúč AB bližšie k optickej osi, tým skôr je splnená približná rovnosť |OF| = |BF|, teda to, že bod F polí polomer krivosti OC. Nezabúdajúc toto priblíženie, ako ohnisko zrkadla definujeme bod F, v ktorom všetky lúče (bežiace rovnobežne s optickou osou, a dostatočne blízko k nej) sa pretínajú navzájom i s optickou osou. Vzdialenosť |OF| (ktorú označujeme zvyčajne f) nazývame ohnisková vzdialenosť zrkadla.

V našom výklade budú rozmery zrkadla podstatne menšie, ako polomer krivosti zrkadla, preto naše priblíženie bude v dobrej zhode so skutočnosťou.

Na obrázku 15.3b vidíme, ako zostrojíme obraz predmetu zobrazený dutým zrkadlom. Z predmetu T by sme mohli vypustiť množstvo lúčov dopadajúcich na zrkadlo. Ku každému z nich by sme mohli zostrojiť polomer krivosti vychádzajúci z bodu C, a mohli by sme zostrojiť aktuálny uhol odrazu β rovný aktuálnemu uhlu dopadu α. Získali by sme tým všetky odrazené lúče. Pokiaľ si však vyberieme lúče s rozmyslom, môžeme sa dopracovať k výsledku aj jednoduchšie. Nech je TB rovnobežný s optickou osou; je známe, že tento lúč sa odrazí do ohniska F. Nasledujúcim vhodným lúčom môže byť TC; Tento lúč postupuje v smere stredu gule a na povrch zrkadla dopadá kolmo v bode D, preto sa odráža späť sám do seba, smerom k C. Nakoľko uhol dopadu sa rovná uhlu odrazu (α = β), každý odrazený lúč sa dá sledovať aj v opačnom smere. Na obrázku 15.3a lúč vychádzajúci z bodu F a smerujúci do bodu B sa odráža do lúča BA rovnobežného s optickou osou. Môžeme preto, vychádzajúc z bodu T, zostrojiť aj cestu tretieho vhodne zvoleného lúča, TF, ktorý po dopade na zrkadlo sa odráža – ako vidieť – rovnobežne s optickou osou. Tieto tri lúče sa vzájomne pretínajú v bode K, preto pozorovateľovi sa zdá, akoby svetlo vychádzalo z bodu K. Nie len tieto tri, ale všetky lúče vychádzajúce z  bodu T sa vzájomne pretínajú v bode K.

Ak do tohto bodu umiestnime mliečne sklo, uvidíme obraz bodu T. Takýto bod nazývame preto reálny (skutočný) obraz.

Na obrázku 15.4 sme nakreslili jeden lúč od T k bodu O, ku stredu zrkadla. Nakoľko uhol ∠TOA sa rovná uhlu ∠KOB (prečo?), pravouhlý trojuholník △TOA je podobný pravouhlému trojuholníku △KOB. Platí preto

|TA| |KB| = |AO| |BO| ,

teda

výška predmetu výška obrazu = vzdialenosť predmetu vzdialenosť obrazu = a a′ .

(„Vzdialenosť“ je vzdialenosť od zrkadla. Veličiny týkajúce sa obrazu je zvykom značiť rovnako ako príslušné veličiny predmetu, len s čiarkou, preto a označuje vzdialenosť predmetu od zrkadla, kým a′ vzdialenosť obrazu od zrkadla.)

Na obrázku je ešte dvojica podobných trojuholníkov △TAC a △KBC, preto

|AC| |BC| = |TA| |KB| = a a′ .

Aj z obrázku je vidieť, že |AC| je rozdiel vzdialenosti predmetu a polomeru

krivosti zrkadla, teda a − r. Podobne |BC| = r − a′. Dosaďme tieto rovnosti

a − r r − a′ = a a′ , aa′− ra′ = ra − aa′, ra′ + ra = 2aa′.

Predeľme obidve strany poslednej rovnosti aa′r a dostaneme

1 a + 1 a′ = 2 r ,

a nakoľko r = 2f, teda 2∕r = 1∕f, náš vzťah nadobudne tvar

1 a + 1 a′ = 1 f .

Ako príklad zoberme duté zrkadlo, ktorého polomer krivosti je 24 cm. Čo vieme povedať o predmete vysokom 4 cm, ktorý stojí 48 cm pred zrkadlom? Údaje sú f = 12 cm, a = 48 cm, teda (v jednotkách cm)

1 48 + 1 a′ = 1 12 ,

teda

1 a′ = 1 12 − 1 48 = 3 48 = 1 16

a

a′ = 16 cm.

Dokážeme vypočítať aj veľkosť obrazu (znova v jednotkách cm)

rozmer obrazu 4 = 16 48 ,

odkiaľ rozmer (výška) predmetu je 4 × 16∕48 = 4∕3 cm. Obraz (čo môžeme skontrolovať geometrickou konštrukciou) je reálny a obrátený.

Je účelné, pokiaľ pri riešení úloh so zrkadlami a šošovkami, robíme náčrtky. Pokiaľ robíme tieto náčrtky, robme ich rovnakým spôsobom, napríklad, aby svetlo prichádzalo vždy zľava. Pokiaľ si budeme pamätať, že členy vo vzťahu medzi predmetovou vzdialenosťou a, obrazovou vzdialenosťou a′ a ohniskovou vzdialenosťou f (ktorý sme odvodili vyššie) sú kladné (majú znamienko +), potom so znamienkami problémy mať nikdy nebudeme. Stred krivosti dutého zrkadla spadá naľavo od zrkadla a brali sme jej hodnotu za kladnú, preto polomer krivosti vypuklého zrkadla – ktorého stred krivosti spadá napravo – budeme brať ako záporný. Predmetová vzdialenosť naľavo od zrkadla je kladná a preto hodnotu a napravo od zrkadla by sme mali brať ako zápornú. Obdobne budeme brať vzdialenosť obrazu (a′) napravo od zrkadla za zápornú.

Na obrázku 15.5 môžeme vidieť, ako zostrojíme zobrazenie vypuklého zrkadla. Lúč TA rovnobežný s optickou osou sa odráža od zrkadla tak, akoby vychádzal z bodu F. (Ohnisko F vypuklého zrkadla je samozrejme virtuálny bod, teda nie je skutočný bod, nakoľko ani jeden lúč cez neho v skutočnosti neprechádza.) Lúč TB, ktorý postupuje smerom k stredu krivosti zrkadla, sa odrazí sám do seba, nakoľko na povrch zrkadla dopadá kolmo. Vrchol tyče so zástavou môžeme zostrojiť už aj s touto dvojicou lúčov. Môžeme však ľahko narysovať aj tretí lúč: lúč TC postupujúci v smere F – z povrchu zrkadla sa odráža rovnobežne s optickou osou. Ak lúč predĺžime za zrkadlo, dostaneme sa do priesečníku priamok AF a BC : tento bod je vrcholom tyče, na ktorej vlaje zástava. Pozorovateľ vidí lúče odrazené z bodov A,B a C – ako aj všetky lúče vychádzajúce z T a odrazené na povrchu zrkadla – akoby vychádzali z bodu spoza zrkadla a tento bod K je virtuálny (neskutočný) obraz bodu T.

Vzťah medzi predmetovou vzdialenosťou, obrazovou vzdialenosťou a ohniskovou vzdialenosťou (a,a′ a f) je rovnaká ako predtým, len ich hodnoty musíme brať podľa našej dohody. Nech predmet T je 25 cm pred zrkadlom, ktorého polomer krivosti je − 20 cm. Podľa toho je ohnisková vzdialenosť − 10 cm. Kde je obraz?

1 25 + 1 a′ = −1 10 1 a′ = −1 10 − 1 25 − 7 50 a′ = −50 7 = −7,14 cm.

Záporné znamienko ukazuje, že obraz sa nachádza za zrkadlom a je preto virtuálny.

Vo všetkých našich príkladoch sme museli predpokladať, že rozmer zrkadla je podstatne menší, ako jeho ohnisková vzdialenosť. Pokiaľ by sme zobrazovali väčšou časťou zrkadla, potom by bol obraz rozmazaný a neboli by sme schopní povedať kde sa vlastne obraz nachádza. Príčinou je, že lúče odrážajúce sa od kraja zrkadla pretínajú optickú os bližšie k zrkadlu, než tie, ktoré sa odrážajú blízko stredu zrkadla (pozri obrázok 15.6a). Túto vadu zrkadla nazývame sférická vada alebo sférická aberácia. Sférická vada predstavuje vážny problém u veľkých hvezdárskych ďalekohľadoch, ktoré musia podľa možnosti pozbierať veľa svetla. Problémy možno prekonať tým, že namiesto sférických zrkadiel budeme používať parabolické zrkadlá (ktorého výroba stojí žiaľ podstatne viac, a má iný typ chyby, ktorý sa u guľových zrkadiel neobjavuje). Parabolické zrkadlá pozbierajú všetky lúče rovnobežné s optickou osou do ohniska (pozri obrázok 15.6b).

Chod lúčov znázornených na obrázku sa dá aj otočiť; umiestnime do ohniska malý zdroj svetla: od parabolického zrkadla sa odrazia rovnobežne a postupujú ďalej ako zväzok vzájomne rovnobežných lúčov. Vo svetlometoch, ktoré majú svietiť ďaleko (napríklad svetlomety protivzdušnej obrany) sa používajú parabolické zrkadlá.