12-9 Kapacita

12-1 Statická elektrina; 12-2 Ranný model štruktúry atómu ; 12-3 Vodiče a izolanty ; 12-4 Indukované náboje; 12-5 Elektroskop; 12-6 Elektrické pole; 12-7 Elektrický potenciál; 12-8 Praktické elektrické jednotky ; 12-9 Kapacita;

Úlohy

12-8 Praktické elektrické jednotky

12-9 Kapacita

Pri definícii elektrického potenciálu sme predpokladali prítomnosť elektricky nabitého telesa. Povrch nabitej vodivej gule musí mať určitý konkrétny potenciál, nakoľko na povrch gule dokážeme priviesť náboj len vykonaním určitej práce.

Keby bol náboj gule dvakrát taký, jednotkový náboj by sme dokázali priviesť na jej plochu vykonaním dvakrát tak veľkej práce. Potenciál povrchu gule by bol preto dvakrát taký. Vidíme, že elektrický náboj na telese je úmerný potenciálu telesa; koeficient úmernosti nazývame kapacitou telesa.

Jednotkou kapacity je farad (značka jednotky je F). Ak na nejaké teleso privedieme náboj veľkosti $1 coulomb$ , a v dôsledku toho sa elektrický potenciál telesa zvýši o $1 volt,$ potom kapacita telesa je $1 farad$ (jednotky znova píšúc v zátvorkách za veličinami)

C (farad) = \frac{Q (coulomb)}{V (volt)} .

Inými slovami $1 farad = 1 coulomb/volt$ ( $1 F = 1 C/V$ ). Farad je mimoriadne veľká jednotka, preto kapacitu častejšie udávame v mikrofaradoch, alebo v pikofaradoch.¹⁰

Izolované telesá, napríklad elektroskop, majú veľmi malú kapacitu. Ak napríklad záporný pól 1,5 voltovej baterky pripojíme k elektroskopu a kladný pól baterky uzemníme (obrázok 12.10a), z pôdy sa začnú pohybovať elektróny do gule elektroskopu. Budú tam prúdiť do okamihu, než potenciál gule voči pôde dosiahne $1, 5 volt .$ Listy elektroskopu sa pritom od seba skoro ani nepohnú. Náboj $Q$ prenesený na elektroskop je tak malý, že medzi listami elektroskopu nevznikne významnejšia odpudivá sila.

Prerobme teraz elektroskop tak, že namiesto gule namontujeme veľkú kovovú dosku. Na kovovú dosku dajme tenký list papiera, celofánu alebo iného izolačného materiálu. Na to celé dajme – ako v sendvičoch – ďalšiu veľkú kovovú dosku (obrázok 12.10b). Pripojme jeden pól baterky k jednej, druhý pól k druhej kovovej doske – baterka pretiahne elektróny z vrchnej dosky na dolnú tak, že nakoniec bude rozdiel potenciálu medzi doskami $1, 5 volta .$ Veľkosť preneseného náboja je podstatne väčšia, ako v predchádzajúcom prípade (obr. 12.10a). Kladný náboj vrchnej dosky napomáha v prevedení elektrónov na dolnú dosku a napomáha aj v ich udržaní na dolnej doske. Táto príťažlivosť zabráni tomu, aby sa prenesené elektróny hromadili na zlatých listoch elektroskopu, preto tie zostanú visieť. Odpojme však baterku (nabitie oboch dosiek trvá aj tak len zlomok sekundy). Ak teraz hornú kovovú dosku dáme preč, vzájomné odpudzovanie elektrónov dolnej dosky ich vypudí aj do zlatých listov elektroskopu a tie teraz už rozostúpia (obrázok 12.10c).

Zariadenie vytvorené pre elektroskop – dve kovové dosky, alebo vodiče oddelené s izolačnou vrstvou – nazývame zhusťovač alebo kondenzátor. Kapacita kondenzátoru – teda pomer nahromadeného náboja na doskách a rozdielu potenciálu medzi nimi – závisí od viacerých činiteľov. Jedným z týchto činiteľov je zrejme veľkosť plochy dosiek; na dvakrát takej doske sa zmestí dvakrát toľko nábojov. Dôležitá je hrúbka izolantu medzi doskami. Ak sú kovové dosky bližšie k sebe, rastie množstvo náboja, ktoré na sebe udržia, lebo medzi platňami vzrastie intenzita elektrického poľa a vyvolajú väčšie zhustenie nábojov.

Na obrázku 12.11 vidíme dve nabité rovnobežné kovové dosky, medzi ktorými je vzdialenosť $d$ metrov. Potenciálny rozdiel medzi doskami je $V$ voltov. Nech je intenzita elektrického poľa medzi doskami $E$ newton/coulomb. Pole je – okrem okrajových oblastí – všade rovnako intenzívne a kolmé na dosky (skrátene hovoríme, že pole je homogénne). Aby sme zistili intenzitu elektrického poľa, zoberme malý náboj veľkosti $+ q coulomb$ a pohybujme s ním od záporne nabitej dosky ku kladne nabitej. Potrebná práca je $F \cdot d,$ alebo čo je to isté $E q \cdot d joule .$ Túto prácu obdržíme aj iným spôsobom.

Podľa definície rozdiel potenciálu $V$ je práca (meraná v jouloch) potrebná k preneseniu náboja 1 coulomb od jednej dosky k druhej. Preto k preneseniu náboja $q$ coulomb treba prácu $V q$ joule. Obidve množstvá sa sebe zrejme rovnajú, teda $E q d = V q,$ tj.

E newton/coulomb = \frac{V}{q} volt/meter.

img src="https://drive.google.com/uc?export=view&id=1_hKYDmw_taqkAC60-N04HHNEdeu1MbzU" alt="platne oddelené dielektrikom" width="303" height="201" />

Obr. 12.12:Nabité rovnobežné platne oddelené od seba izolujúcim materiálom (dielektrikom).

Vidíme, že intenzita elektrického poľa udaná v jednotkách volt/meter sa číselne zhoduje s hodnotou udanou podľa definície v jednotkách newton/coulomb. Ak kovové dosky k sebe priblížime, $d$ bude menšie a popri takého istého rozdielu potenciálu $V$ bude intenzita elektrického poľa väčšia – na dosku sa dostalo viac nábojov. Ďalšie preskúmanie ukáže, že $Q$ je nepriamo úmerné $d .$

Ak napríklad kondenzátor tvorený dvomi kovovými doskami $10 \times 10 cm$ má medzi doskami vzdialenosť $2 mm$ a pripojíme na jeho dosky 45 voltovú baterku, hodnota $V ∕ d$ bude $45 ∕ (2 \times 1 0^{- 3}),$ teda $22 500 volt/meter .$ Intenzita elektrického poľa medzi doskami bude $22 500 newton/coulomb .$ Kapacitu kondenzátoru ovplyvňuje vo významnej miere aj materiál izolantu medzi doskami. (Izolujúce materiály nazývame tiež dielektrikami.)

Na obrázku 12.12 je blok dielektrika. Spomeňme si, že atómy v elektrickom poli sa deformujú určitým spôsobom, polarizujú sa. Atómy dielektrika medzi vodivými doskami sme na obrázku 12.12 znázornili v takomto polarizovanom stave. Kladné znamienko predstavuje jadro atómu, ktoré sa v priestore medzi platňami snaží pohnúť smerom dole, v smere záporne nabitej dosky. Záporné znamienko nad jadrom znázorňuje stred záporného elektrónového mraku, ktorý je posunutý smerom ku kladne nabitej doske. V stredných vrstvách dielektrika sa tieto deformácie v priemere vyrovnávajú, dielektrikum je elektricky stále neutrálne. V najvrchnejšej vrstve však vytvárajú elektróny ťahané smerom hore prídavný záporný náboj. Podobne v najspodnejšej vrstve predstavujú kladné jadrá prídavný kladný náboj. Tieto elektricky nabité vrstvy na povrchu dielektrika napomáhajú udržať náboje na kovových doskách a tým zvyšujú kapacitu kondenzátoru. Relatívna permitivita (staršie pomenovanie dielektrická konštanta ) nejakého izolantu je násobné číslo, ktoré hovorí, koľkonásobne sa zvýši kapacita nejakého kondenzátoru, keď medzi jeho doskami nebude vákuum, ale príslušný izolant.¹¹ Relatívna permitivita ( $𝜀_{r}$ ) niektorých bežných materiálov:

ebonit	2,5	destilovaná voda	80
sklo	6-10	slieda	5,5-6,5
olej	2-2,3	vzduch	1,001
vákuum	1,000

Čo môže byť príčinou odlišnosti permtivity materiálov? Prečo vzrastie kapacita kondenzátoru na šesť násobok, ak priestor medzi platňami vyplníme sklom a prečo len na dvojnásobok, ak vyplníme olejom. Príčinou musí byť to, že rôzne materiály majú odlišnú schopnosť sa polarizovať. V skle sa napríklad na povrchu skleneného bloku vytvárajú hrubšie kladné a záporné vrstvy a výraznejšie sa oddelia od ostatného materiálu, než príslušné vrstvy v oleji. Ďalším činiteľom je napríklad to, čo spôsobuje mimoriadne veľký dielektrický koeficient v prípade destilovanej vody. Molekuly vody sú polarizované už aj bez prítomnosti elektrického poľa: jeden koniec molekuly vody je kladný, druhý je záporný. V elektrickom poli sa tieto molekuly len otočia (vďaka kvapalnému stavu to môžu urobiť veľmi ľahko), a reagujúc takto na elektrické sily sa ľahko vytvorí hrubšia vrstva indukovaného náboja na povrchu bloku.

Zhrnutím všetkého vidíme, že kondenzátor tvorený rovnobežnými kovovými doskami má kapacitu úmernú ploche vodivej dosky ( $S$ ), dielektrickej konštanty ( $𝜀$ ) a je nepriamo úmerná vzdialenosti medzi doskami ( $d$ )

C = 𝜀_{0} \cdot \frac{𝜀 S}{d} .

Ak kapacitu $C$ chceme vyjadriť vo faradoch, potom $S$ udávame v $m^{2},$ $d$ v metroch a koeficient úmernosti je $𝜀_{0} = 8, 85 \times 1 0^{- 12} C^{2} /(N \cdot m^{2})$ a tak

C = \frac{8, 85 \times 1 0^{- 12} 𝜀 S}{d} .

Kapacita kondenzátoru, ktorý sme študovali pred chvíľkou v rámci príkladu je teda¹² (počítajúc v základných jednotkách sústavy SI)

C = \frac{8, 85 \times 1 0^{- 12} \times 1 \times 0, 10 \times 0, 10}{2 \times 1 0^{- 3}} = 4, 42 \times 1 0^{- 11} F = 44, 2 pF

Pri potenciálnom rozdiele $45 volt$ medzi doskami sa na každej doske nahromadí elektrický náboj veľkosti

Q = C V = (4, 42 \times 1 0^{- 11} F) (45 V) = 1, 99 \times 1 0^{- 9} C .

Medzi platne kondenzátoru umiestnime ebonitovú dosku hrúbky $2 mm$ a kondenzátor zostane pripojený na baterku – hodnota $V$ sa nezmení. Kapacita však vzrastie na 2,5 násobok a zrovna tak narastie aj veľkosť nábojov nahromadených na doskách na 2,5 násobok. Predstavme si však, že než vložíme medzi dosky kondenzátoru ebonit, kondenzátor odpojíme od baterky. Nakoľko nie je žiadny vodič, pomocou ktorého by sa náboje na doskách mohli premiestniť, veľkosť náboja na doskách zostane nepozmenený aj po vložení ebonitovej dosky medzi platne kondenzátoru. Kapacita kondenzátoru však týmto úkonom vzrastie na 2,5-násobok a preto v zmysle relácie $V = Q ∕ C$ poklesne rozdiel potenciálu medzi platňami na $18 voltov.$

Záverom tejto kapitoly poznamenajme, že konštanta $k$ vystupujúca v Coulombovom zákone je vo veľmi jednoduchom vzťahu s permeabilitou vákua $𝜀_{0}$ a s dielektrickou konštantou $𝜀$ , ktorú nazývame tiež relatívna permitivitia.

k = \frac{1}{4 π 𝜀_{0} 𝜀} .

V príkladoch, v ktorých sme sa stretli s Coulombovim zákonom, sme predpokladali, že náboje sú vo vákuu ( $𝜀 = 1$ ), vo vzduchu ( $𝜀 = 1, 001$ ). Coulombov zákon teda môžeme písať aj v tvare

F = k \frac{Q_{1} Q_{2}}{r^{2}} = \frac{1}{4 π 𝜀_{0} 𝜀} \frac{Q_{1} Q_{2}}{r^{2}}

a elektrický potenciál v tvare

V = k \frac{Q}{r} = \frac{1}{4 π 𝜀_{0} 𝜀} \frac{Q}{r} .

Hodnota konštanty $k$ má pre vákuum a pre vzduch veľmi praktickú hodnotu (v základných jednotkách SI) $9, 0 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} /C^{2} \approx 1 0^{10} N \cdot m^{2} /C^{2} .$

Treba ešte poznamenať, že mnohé fyzikálne konštanty sú medzi sebou spojené, ako napríklad $k$ a $𝜀_{0} 𝜀$ , a ich hodnota úzko súvisí s definíciou jednotiek v danej sústave. Preto je možné hodnotu niektorých konštánt vyslovene ukotviť, mať ich akoo nekonečne presné. Tak je tomu aj v prípade elementárneho elektrického náboja $e$ , ktorej veľkosť sa rovná elektrickému náboju elektrónu a protónu. Táto presná hodnota elementárneho elektrického náboja je

e = 1, 602 176 634 \times 1 0^{- 19} C .

Elektrický náboj $q_{p}$ protónu je potom $q_{p} = e$ , a elektrický náboj $q_{e}$ elektrónu $q_{e} = - e .$

¹⁰ $1 mikrofarad (μ F) = 1 0^{- 6} F,$ $1 pikofarad (pF) = 1 0^{- 12} F .$

¹¹Permitivita vákua je $𝜀_{0}$ , kým permitivita nejakej látky $𝜀 = 𝜀_{r} 𝜀_{0} .$ Permitivita $𝜀$ má rovnaký fyzikálny rozmer ako permitivita vákua $𝜀_{0},$ ale relatívna permitivita $𝜀_{r}$ je bezrozmerné číslo, lebo je pomerom dvoch fyzikálnych veličín rovnakého druhu. Občas sa stáva, že v literatúre sa tak často spomína táto vlastnosť látok, že namiesto relatívnej permitivity autor píše permitivita. Z textového prostredia by ale malo byť čitateľovi jasné, či sa jedná o relatívnu permitivitu ( $𝜀_{r}$ , ktoré je bezrozmerné číslo), alebo skutočne o permitivitu (tj. $𝜀 = 𝜀_{r} 𝜀_{0},$ ktorého rozmer je $C^{2} /(N \cdot m^{2}) .$ )

¹²Pokiaľ by sme číselné údaje veličín boli uviedli presnosťou na tisíciny, takouto presnosťou by sme boli museli uvažovať aj dielektrický koeficient vzduchu, teda ako hodnotu 1,001. Takáto mimoriadna presnosť sa vyžaduje len v prípade špeciálnych kondenzátorov, preto rozdiel medzi dielektrickým koeficientom vákua (1,000) a vzduchu (1,001) sme tento krát nevzali do úvahy.

Úlohy 12