12-6 Elektrické pole

12-6 Elektrické pole

Pri skúmaní mechanických pôsobení medzi telesami sme si zvykli na to, že telesá sa pri tom dostávajú do priameho kontaktu. Ak chceme pohnúť nejakým predmetom, musíme sa ho dotknúť, prípadne do neho musíme strčiť nejakou tyčou, alebo potiahnuť lanom. Výnimkou z priameho kontaktu bolo len gravitačné pôsobenie: každé teleso pôsobí gravitačnou príťažlivou silou na ostatné telesá. Toto „pôsobenie na diaľku“ robilo veľa problémov aj Newtonovi, keď vyslovil svoj všeobecný gravitačný zákon. O jeho vysvetlenie sa ani nepokúsil, nepokúsil sa vysvetliť ako gravitačné sily účinkujú. Povieme, že každé teleso je obklopené gravitačným poľom, čo sa prejavuje práve v tom, že teleso pôsobí príťažlivou silou na iné telesá. Einstein v mnohom prispel k pochopeniu problému gravitačného poľa. Napriek tomu, sily pôsobiace na diaľku obklopuje ešte stále určitá záhada.

Podobným príkladom sily pôsobiacej na diaľku je príťažlivá alebo odpudivá sila medzi dvomi elektricky nabitými telesami, ktoré nie sú v kontakte a tiež sa vysvetľuje existenciou elektrického poľa obklopujúceho nabité telesá. Bez toho, že by sme sa pokúsili popísať mechanizmus fungovania elektrického poľa, dokážeme jeho pôsobenie popísať pochopiteľne a jednoducho pomocou jeho pôsobenia na tzv. „testovací“ náboj. Nech je tento testovací náboj základnou jednotkou elektrického náboja v  sústave SI, kladný náboj veľkosti 1 coulomb. Nech umiestnime tento testovací náboj v elektrickom poli kamkoľvek, sme schopní určiť veľkosť a smer sily, ktorá na ňu pôsobí.

Veľkosť a smer elektrického poľa definujeme veľkosťou a smerom sily, ktorou elektrické pole pôsobí na testovací náboj (v každom bode priestoru samostatne). Inými slovami: intenzita elektrického poľa (E→) v danom bode priestoru je sila F→, ktorou pôsobí pole na náboj + 1 coulomb. Smer elektrického poľa je smer sily F→. Dokážeme samozrejme zmerať aj silu, ktorou pole pôsobí na náboj veľkosti Q. Táto sila bude zrejme Q násobkom sily pôsobiacej na + 1 coulomb, teda

F→ = QE→,

alebo

E→ = F→ Q .

Jednotkou intenzity elektrického poľa v sústave SI je teda newton/coulomb.

Môžeme ľahko odvodiť aj všeobecný výraz elektrického poľa vytváraného nabitou guľou, alebo iným nabitým telesom (pokiaľ toto teleso je dostatočne malé, aby sme ho mohli považovať za bodový náboj). Nech je náboj malej gule Q. vypočítajme intenzitu elektrického poľa vo vzdialenosti r od nej (v bode A). Prenesme do bodu A testovací náboj veľkosť + 1 coulomb (obrázok 12.7).

Podľa Coulombovho zákona pôsobí medzi týmito telesami sila veľkosti

F = kQ ⋅ (1 C) r2 .

(Zatiaľ si konštanty k nevšímajme. Ako sme povedali, jej prítomnosť je dôsledkom voľby jednotiek v sústave SI.) Nakoľko testovací náboj je vždy veľkosti + 1 C, vyzerá to tak, akoby sme jeho písanie v čitateli „vypustili“, a potom veľkosť intenzity elektrického poľa vo vzdialenosti r od bodového náboja Q je

E = F 1 C = k Q r2 .

Môžeme elektrické pole znázorniť aj tak, že v každom bode nakreslíme smer elektrického poľa. Na obrázku 12.8 sme ukázali znázornenie elektrického poľa pomocou „siločiar“ v dvoch jednoduchých prípadoch. Na obrázku 12.8a budí elektrické pole jediná kladne nabitá guľa: je jedno, že kam umiestnime testovací náboj, sila, ktorá na ňu pôsobí, vždy ukazuje lúčovito (radiálne) smerom von.

Na obrázku 12.8b sú vedľa seba dva náboje, kladný Q1 a záporný Q2. V bode A je testovací náboj + 1 C nábojom Q1 odpudzovaný a nábojom Q2 priťahovaný. Sila, ktorá pôsobí na testovací náboj, je výslednicou síl F→1 a F→2, tj. sila F→. Siločiara prechádza bodom A: sila F→ ukazujúca smer elektrického poľa a (z definície) je dotyčnicou siločiary.

Nikde nie je povedané, že koľko siločiar máme nakresliť, stojí však za to poznamenať, že v blízkosti nabitých telies, kde je intenzita poľa vyššia, je hustota siločiar väčšia. Vo väčšej vzdialenosti, kde intenzita elektrického poľa je nižšia, je menšia aj hustota siločiar, sú od seba vo väčšej vzdialenosti. Obrázok znázorňuje elektrické pole len v rovine. Pole je v skutočnosti trojrozmerné, je teda priestorové. Pomocou trojrozmerného (stereografického) zobrazenia by sa dalo krásne ukázať, že počet siločiar prechádzajúcich jednotkovou plôškou (kolmou k siločiaram) je úmerný intenzite elektrického poľa (jej veľkosti E). Pozrime sa na príklad štyroch malých nabitých telies, ktoré sú umiestnené vo vrcholoch štvorca, ako to ukazuje obrázok 12.9a. Aká bude intenzita elektrického poľa v strede štvorca, v bode O? K určeniu elektrického poľa umiestnime testovací náboj + 1 coulomb do bodu O. Na testovací náboj pôsobia štyri náboje umiestnené v rohoch štvorca. Nakreslime tieto silové pôsobenia vektorovo. Nakoľko sily F→1 a F→3 sú rovnako veľké ale opačne orientované, vzájomne sa vyrušia. Aby sme vedeli určiť F→2 a F→4, musíme vedieť, ako ďaleko sa nachádza bod O od rohov štvorca. Použitím Pytagorovej vety zistíme, že dĺžka uhlopriečky štvorca je (2(10 cm))2 = 14,1 cm. Bod O sa teda nachádza vo vzdialenosti 7,07 cm od bodu 2, aj od bodu 4. (Tento výsledok môžeme obdržať aj iným postupom: (10 cm)sin ⁡<!--FUNCTION APPLICATION--> 45° = 7,07 cm.) podľa Coulombovho zákona sila pôsobiaca medzi nábojom 2 a testovacím nábojom je

F2 = kQ1Q2 r2 = (9,0 × 109 N⋅m2/C2)(1 C)(1 pC) (7,07 cm2) = 9,0 × 109 × 1 × 1 × 10−12 (7,07 × 10−2)2 N = 1,8 N

a podobne

F4 = 3,6 N.

Nakoľko výsledná sila pôsobiaca na náboj + 1 C v bode O je 1,8 + 3,6 = 5,4 N, intenzita elektrického poľa v bode O je 5,4 N/C a pole ukazuje smerom k náboju 2.

Podľa definície je intenzita elektrického poľa veľkosť sily pôsobiacej na jednotkový náboj. Pokiaľ do bodu O umiestnime náboj veľkosti 7 C, potom na tento náboj pôsobí sila 7 krát väčšia, teda 37,8 N. (F = EQ = (5,4 N/C)(7 C) = 37,8 N.)

Pokračujúc v tomto myšlienkovom pochode, môžeme vypočítať, aká sila pôsobí na náboj 4. Vlastné pole náboja 4 nie je schopné pohnúť nábojom 4 zrovna tak, ako človek – ťahajúc za šnúrky vlastných bôt – nie je schopný zdvihnúť z podlahy sám seba. Ak náboj 4 odstránime (aspoň v myšlienkach), môžeme určiť elektrické pole vytvorené so zvyšnými tromi nábojmi. Potom môžeme vrátiť náboj 4 na svoje pôvodné miesto.

Na obrázku 12.9b je znázornené elektrické pole vytvorené so zvyšnými tromi nábojmi. Jeho zložky sú E→1,E→2 a E→3. Tieto zložky vieme pomocou testovacieho náboja po jednom vypočítať. E1 a E3 sú po jednom (počítajúc v základných jednotkách SI newton, coulomb a meter)
9 × 109 × 1 × 10−12∕0,12 = 0,9 N/C. Ich výslednicu získame vektorovým sčítaním a dostaneme E1+3 = 1,41 × 0,9 N/C = 1,3 N/C, ktorého smer zrejme uzatvára s vodorovným smerom uhol 45° ukazujúc vpravo hore. Posledná zložka je E2 = (9 × 109 × 1 × 10−12∕0,1412) N/C = 0,45 N/C, a ukazuje smerom vľavo dole, uzatvára s vodorovným smerom uhol 45°. Nakoľko E2 a E1+3 sa nachádzajú na jednej priamke, ich výslednica je 0,9 − 0,45 = 0,45 N/C. Vráťme teraz náboj 4 na svoje pôvodné miesto. Sila, ktorá na neho pôsobí, je (0,45 N/C)(2 pC) = 0,9 pN a ukazuje pozdĺž uhlopriečky štvorca smerom von.