10-6 Tepelná rozťažnosť pevných telies a kvapalín

10-1 Meranie teploty; 10-2 Plynové teplomery; 10-3 Bod absolútnej nuly; 10-4 Tlak plynov; 10-5 Stavová rovnica; 10-6 Tepelná rozťažnosť pevných telies a kvapalín; 10-7 Kalorimetria ; 10-8 Hmotnostné skupenské teplo - latentné (skryté) teplo ; 10-9 Tepelná vodivosť ; 10-10 Prúdenie tepla; 10-11 Vyžarovanie tepla ; 10-12 Veľké teplo a veľký chlad;

Úlohy

10-5 Stavová rovnica

10-6 Tepelná rozťažnosť pevných telies a kvapalín

Oproti plynom, ktoré menia svoj objem pri zohrievaní úplne rovnako, pevné telesá aj kvapaliny sa chovajú rôzne v závislosti od zloženia. To, že v akej miere sa rozťahuje pevné teleso, vyjadruje koeficient lineárnej teplotnej rozťažnosti danej látky; k jeho označeniu používame grécke písmeno alfa ( $α$ ). Koeficient $α$ udá predĺženie telesa úmerné jej dĺžke, pri zvýšení teploty o $1 K .$ Celkové predĺženie ( $Δl$ ) telesa je súčinom koeficientu teplotnej rozťažnosti $α,$ pôvodnej dĺžky $l$ telesa a zmeny teploty ( $ΔT$ ) v jednotkách kelvin¹¹

Δl = αlΔT .

Koeficient lineárnej teplotnej rozťažnosti ( $α$ ) niektorých látok je

hliník		$25 \cdot 1 0^{- 6} K^{- 1}$
meď		$18 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$
ľad		$50 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$
invar-oceľ¹²		$0, 9 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$
oceľ		$11 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$
platina		$9 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$
sklo		$9 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$

Ako príklad zoberme taký 200 metrov dlhý oceľový most, ktorý v zime musí znášať teplotu $- 30 °C$ a v lete $+ 40 °C,$ možná zmena teploty je teda $70 °C = 70 K .$ Rozdiel dĺžky zimného a letného mostu je

Δl = (11 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}) (200 m) (70 K) = 0, 154 m = 15, 4 cm.

Aby takéto rozťahovanie bolo umožnené, jeden z koncov mostu je uložený na valcoch, na ktorých sa most môže voľne rozťahovať, alebo sťahovať, v závislosti od teplotných podmienok.

Z tabuľky vidíme, že sklo a platina majú rovnaký koeficient teplotnej rozťažnosti. Práve preto niekedy používajú platinu, napriek jej vysokej cene, pokiaľ sklenenou stenou nádoby treba previesť vodič. Nakoľko obidve látky sa rozťahujú a sťahujú rovnako, nemusí sa obávať pri zmene teploty toho, že praskne sklo, alebo vodič sa oddelí od skla.

Ak kus látky pri ohriatí zmení svoju dĺžku, šírku aj výšku, zmení sa aj jeho objem. Koeficient objemovej teplotnej rozťažnosti je zvykom označovať gréckym písmenom beta ( $β$ ) a hovorí o tom, o aký násobok objemu sa zvýši objem nejakej látky pri zvýšení teploty o $1 K$ (alebo $1 °C$ ). Zoberme napríklad teleso v tvare kvádra, ktorého rozmery sú $a, b, c$ , objem teda má $abc$ , a látka z ktorého sa skladá má lineárny koeficient teplotnej rozťažnosti $α .$ Ak teplotu telesa zvýšime o $1 K,$ objem sa zväčší na

\begin{array}{rcl} (a + αa) (b + αb) (c + αc) & = & a (1 + α) \cdot b (1 + α) \cdot c (1 + α) \\ = & abc {(1 + α)}^{3} = abc (1 + 3 α + 3 α^{2} + α^{3}) . \end{array}

Už samotný koeficient $α$ je skoro rovné nule, preto $α^{2}$ a $α^{3}$ sú voči $α$ zanedbateľné. Bez toho, aby sme sa dopustili znateľnej chyby ich môžeme zanedbať. Zväčšený objem je teda $abc (1 + 3 α),$ a to je o $3 α abc$ väčší, ako pôvodný objem $abc .$

Podľa uvedeného je objemový koeficient teplotnej rozťažnosti, v dobrom priblížení, trojnásobkom lineárneho koeficientu teplotnej rozťažnosti

β = 3 α .

tepelná rozťažnosť — Obr. 10.8:Tepelné rozťahovanie sa hliníkovej podložky. Rozmery sú uvedené v centimetroch.

Čo sa asi stane otvorom podložky šróbu, ak podložku zohrejeme? Na obrázku 10.8a vidieť hliníkovú podložku pri teplote $0 °C .$ Ak podložku zohrejeme o $200 °C,$ hrúbka podložky (či už meriame vzdialenosti $AB$ alebo $CD$ ) sa musí zväčšiť. Naša prvá myšlienka by asi bola, že toto rozťahovanie sa deje aj dovnútra: jednak sa zväčší vonkajší priemer ( $AD$ ), jednak sa zmenší vnútorný priemer (BC) podložky. Než by sme tomu aj uverili, pozrime sa na tento problém trošku lepšie. Šírka prstenca (napr. $AB$ ) sa zväčší určite o

(25 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}) (10, 00 mm) (200 K) = 0, 05 cm,

takže po zohriatí bude mať šírku $10, 05 cm$ (obrázok 10.8b). Ak sa pozrieme len na vonkajší priemer podložky, zväčšenie je

25 \times 1 0^{- 6} K^{- 1} (40 cm) (200 K) = 0, 20 cm,

zväčšený vonkajší priemer je $40, 20 cm .$ Vnútorný priemer podložky dostaneme tak, že z vonkajšieho priemeru odčítame dvojnásobok zväčšenej šírky podložky

40, 20 cm - 2 \times 10, 05 cm = 20, 10 cm.

Pomocou krátkeho výpočtu sme sa mohli presvedčiť o tom, že otvor na podložke sa zväčšil presne v takej miere, akoby bol z hliníku. (Lebo $(25 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}) (20 cm) (200 K) = 0, 10 cm,$ a tým je vnútorný priemer $20, 10 cm .$ )

Rovnakým spôsobom môžeme dokázať, že otvor vo vnútri telesa z ocele, alebo zo skla (napríklad vnútorný objem nádrže, alebo fľašky) sa rozťahuje v rovnakej miere, ako látka, ktorá ho obklopuje.

Hovoriť o koeficientu lineárnej tepelnej rozťažnosti kvapalín nemá zmysel, ale ich koeficient objemovej tepelnej rozťažnosti hovorí jednoznačne – v normálnom teplotnom rozmedzí – o koľko násobok ich objemu sa zvýši ich objem pri zvýšení teploty o $1 K$ ( $1 °C$ ). Koeficient objemovej teplotnej rozťažnosti $β$ niektorých kvapalín je

etylalkohol		$1, 12 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$
benzol		$1, 06 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$
glycerín		$0, 50 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$
ortuť		$0, 18 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$
voda		$0, 21 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$

Predpokladajme, že v úplne plnej sklenej fľaške je $200 cm^{3}$ ortuti a jej teplota je $20 °C .$ Čo sa stane, ak ju zohrejeme na $80 °C ?$ Objem fľaše sa zväčší o

Δ V_{f} = βV ΔT = (3 \times 9 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}) (200 cm^{3}) (60 K) = 0, 32 {cm}^{3} .

Zvýši sa aj objem ortuti o

Δ V_{Hg} = (0, 18 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}) (200 cm^{3}) (60 K) = 2, 16 {cm}^{3} .

Ortuť v množstve rozdielu objemov, tj. $2, 16 cm^{3} - 0, 32 cm^{3} = 1, 84 cm^{3},$ vytečie z fľašky.

¹¹Podľa toho, čo sme povedali, teplotná zmena $1 K$ je rovná $1 °C$ , preto by sme mohli používať aj jednotku °C.

¹²invar-oceľ je špeciálna zliatina niklu a ocele (približne 35 % niklu), na zhotovenie nástrojov (prístrojov), ktoré vyžadujú veľmi malú teplotnú rozťažnosť

10-7 Kalorimetria